線性代數(shù)(理)綜合

1、 線性代數(shù)（理）綜合復(fù)習(xí)資料、選擇填空題6 01行列式132 45中，元素4的代數(shù)余子式為3-1 11-們2、設(shè) A =1 -11-3，則A的秩r（ A）=。1 -1-23 一-310713、如果矩陣A與三角矩陣02-3相似，則A的全部特征值為004 一4、齊次線性代數(shù)方程組 Ax二0（A Rn n）有非零解解的充要條件是5、二次型 f(%, x2,x3)= 4xf 2X2 -6x2x3 的矩陣為 A =6、 設(shè)向量組 宀，：2八3線性無關(guān)，如果向量組：-2 V- 1， :-3-2，:r 乜3線性相關(guān)，則 t的值為（）。（1） 1；（ 2）2；（ 3）-1 ；（ 4）-2。7、 對(duì)于矩陣 A

2、Rn n，下列說法不正確的是（）（1 ）如果矩陣A中有一行元素全為零，則|A=0 ；（2） 如果矩陣 A中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則A =0 ；（3）如果交換矩陣 A的任意兩行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變；（4）如果將矩陣 A的某一行加到另外一行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變。8、設(shè)A,B Rn n，則下面說法不正確的是（）（1）如果A = P ：BP，則A與B相似；（2）如果A二PBQ，則A與B等價(jià)；（3）如果AAE，則A為正交矩陣，其中 E為單位矩陣；(4)如果A = A，則A為對(duì)稱矩陣。9、設(shè)A和B皆為n階方陣，則下面論斷正確的是 ()(1)(AB)t=AtBt ；( 2)AA 二 AE，其中

3、A 為 A 的伴隨矩陣;10、設(shè)矩陣a Rm n的秩為r(4)如果 AB 10、設(shè)矩陣a Rm n的秩為r(r蘭min( m, n), r式0)，則下列說法不正確的是(矩陣A所有r階子式均不等于零；矩陣A的所有r 1階子式全等于零； 矩陣A的行向量構(gòu)成的向量組的秩為r ； 矩陣A的列向量構(gòu)成的向量組的秩為r。2121-211、行列式114中，兀素2-31-3的代數(shù)余子式為13、設(shè)三階方陣A13、設(shè)三階方陣A與上三角矩陣 020 000相似，則A的全部特征值為-111 1-1-1-112、設(shè) A =，貝U A的秩r( A)-11-21-3314、二次型 f(Xr, x2, x3) = x：-3x

4、：-4% x2的矩陣為 A =15、設(shè)15、設(shè)A.B均為3階方陣，且A =2, B = 4，則 B2 I A B16、設(shè)行列式 a16、設(shè)行列式 a21a22 a23 = 3，則a31a32 a332a31a32a332a21a22a23 二。2a11a12a1317、設(shè)矩陣Rmn的秩為r ( r蘭min( m, n), r0 )，則下列說法不正確的是()矩陣A所有r階子式均不等于零；矩陣A的所有r 1階子式全等于零；矩陣A的行向量構(gòu)成的向量組的秩為 r ；矩陣A的列向量構(gòu)成的向量組的秩為 r。18、對(duì)于矩陣 A Rn n，下列說法不正確的是()（1 ）如果矩陣 A中有一行元素全為零，則（2）

5、 如果矩陣 A中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則A = 0;（3）如果交換矩陣 A的任意兩行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變；（4）如果將矩陣 A的某一行加到另外一行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變。19、下列說法不正確的是（）（1 ）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）不含有零向量的向量組一定線性無關(guān)；（3 ）如果一個(gè)向量組的部分向量線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)；（4）如果一個(gè)向量組線性無關(guān)， 則該向量組中任意部分向量構(gòu)成的向量組一定線性無關(guān)。為（a11 a12 鬲811a12 + a13a13821 a為（a11 a12 鬲811a12 + a13a13821 a22a?3,B =821822 + 82

6、3823貝1a32aJ3La31832 + 833833 _20、設(shè) A =)，如果AP二B，則初等矩陣P1(1) P = 0010；(2)0100121、行列式-1中,-2-3；(3) P = 0元素5的代數(shù)余子式為0-122、_12322、_123、已知三階方陣A的特征值為-3,2,4，矩陣B與A相似，則B的全部特征值-11，貝U A的秩r（A）二2 224、二次型 f(%,x2,x3) = 2x-i x2 4x1 x310 x2x3 的矩陣為 A =811881181281328314832283325、設(shè)行列式821822823=1，則8212822823831832833811281

7、281326、設(shè)A,B Rn n滿足關(guān)系式AB二E，其中E為單位矩陣，則下列說法不正確的是（1） （1） A,B的行列式均不為零;（2） A為可逆矩陣，B為不可逆矩陣; TOC o 1-5 h z AB一（3）B ；（4） A 。（其中符號(hào)*表示伴隨矩陣）IA冋27、下列向量組中線性無關(guān)的向量組是（）。(1) (000）、（121)、 (2 2-1)；(2)(01-1）、（1-12)、(11 0)、(-1 2 1)；(3)(100 0)、(10 1 0)、(1111)；(4)(112）、（100)、(2 24)。28、設(shè)A,B Rn n，則下面說法不正確的是 （）（1）如果A =PBP，則A與

8、B相似；（2）如果A二PBQ，則A與B等價(jià)；（3）如果AAE，則A為正交矩陣，其中 E為單位矩陣;（4）如果A = AT，則A為對(duì)稱矩陣。29、下列說法不正確的是（）（1）一個(gè)向量組的最大無關(guān)組是不唯一的；（2）向量組與其最大無關(guān)組是等價(jià)的；（3）如果向量組所含向量的個(gè)數(shù)大于它的秩，則該向量組線性相關(guān);（4 ）秩相同的向量組一定是等價(jià)向量組。-an-ana12a13-a11a12a1330、設(shè) A =a21a22a23，B =a21a22a23a31a32a33 -a31+ 2%a32 + 2a12a33 + 2a13 -則初等矩陣P為（）如果PA = B，1 0(1) P 1 0(1) P

9、= 01-2 00 1 00 ；(2) P= 0 1衛(wèi)00 21 110 ;(4) P= 00 1 2、計(jì)算題1計(jì)算n階行列式ab0III000abIII000h0+0卜III+a+bb00III0a(ab = 0 )的值。D 二0，求矩陣AJ。I2、設(shè)矩陣A=413、計(jì)算行列式D二14、設(shè)矩陣A二5、計(jì)算n階行列式6、設(shè)矩陣A二7、計(jì)算行列式8、設(shè)矩陣A =3-5(a +3)2(a+ 2)2(a+1)(b + 3)2(b+ 2)2(b+1)(c + 3)2(c+ 2)2(c+1)(d卜3)2(d+ 2)2(d+1)-10 -0-1，求矩陣A。0211 22.22 22.2D =2 23.2的

10、值。2 22.n-30110求矩陣A。2223 4532 54的值。45 23543210 =23，求矩陣a。3-51132222112D =2 ab22 cd2的值。9、已知向量組，- I -1 1 11,-21 1 01, : 3-丨-2 4 31 , : 4 -0 4 2 ,求該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。10、問為何值時(shí)，非齊次線性方程組x1+ x3 = X4 x1 x22 x3 = 2有解？并寫出通解。6 x1 x 2 4 x 3 = 2.；” 311、求矩陣_3A = 1-1 030的特征值和相應(yīng)的特征向量。0 2參考答案第一題選擇填空題1、-10 ；2、2；3、1，2,-1 ；-1-

11、20 14、-200-00-3J5、-16 ；6、-6 ； TOC o 1-5 h z 7、（ 1）；8、（ 3）；9、（ 2）；10、（ 2 ）。11、-10 ；12、2；13、1，2,-1 ；-1-2014、-20000-315、-16 ；16、-6 ；17、（1）；18（3）；19、（2）；20、（2 ）。 TOC o 1-5 h z 21、-14 ;22、2;23、-3,2,4 ;0224、01_5 ;2一5Oj25、-4 ;26、(2);27、(3);28、(2);29、(4);30、(4 )。第二題計(jì)算題ab0III0b00III00abIII0ab0III01. D n = a0

12、0+ b(-1)n+0aii4fabiir rb000III0a00IIIab（其中兩個(gè)行列式分別為上三角和下三角行列式）利用特殊行列式即得Dn =an +(-1)n 卅 bn。-11 0 ；100110；10012.（A：E戶423 ：010、0-23：-410-13 -5001 一04-5：101 一-5131-51_311 00：222222*71317130 10：_A_ 亠2222220 01:101101-113.提示：禾U用初等列變換（第4列乘以-1加到前3 列)2 2 2 2(a +3) (a +2) (a +1) a26a + 9 4a + 4 2a +1 an -2 2 2

13、 2(b + 3) (b + 2) (b + 1) b6b + 9 4b + 4 2b + 1 b2 2 2 2(c+3) (c+2) (c+1) c26c+9 4c+4 2c+1 c2 2 2 2(d+3) (d+2) (d+1) d26d+9 4d+4 2d+1 d（第3列分別乘以-2和-3加到前2列）4.2a 12b 12c 12d 12ab22cd2（兩行元素對(duì)應(yīng)成比例）j-101001j-10100110-101001-1-110102001 一012-10A；E 二彳2211100：333321- 121010力,A =03333001:11110031 :33 一將第2行乘以-1

14、分別加到3至n行得:122 .21222. 2222 .22222. 2D =223 .20010.0222 .n0000.n 25.再將第120 .0220 .010 .0001 .01 202 .0000 .02 2. 00 .n -2000 .n 22列乘以-1分別加到n列得:3至-_2(n_2)!D =010106.AE 二_12_103017.-2-2-130】1130113777721轟-121010：一0,A =0* 7777001:1d0-1101121 ;2 一41220002利用行列式的性質(zhì)簡化行列式即得1514r1514r,1511114=1532543452325432

15、15 15255243 TOC o 1-5 h z 342 5 D =5243=15-1-0(兩行對(duì)應(yīng)成比例)一110 ：100j10；1001& (A：E )=423；0100-23：-4101-13-5001 一04-5：101J0-13-513100 222十713010： 一+ 22200r “+ 101一A519將給定的向量按行排列成矩陣，利用初等行變換將其化為階梯形矩陣即可:-1110-11102120003000，所以2是該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。-11 11【-1 1 11 1 020 2 1-2 4 330 2 13042j1】042,01九f1 0 1札1412入十20 1

16、-2-3丸 + 26142+3一L0 0 0_丸 +1 _提示：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)方程組有解的充要條件是系數(shù)矩(Ab)二10.解:陣的秩和增廣矩陣的秩相等即得因此，當(dāng)九=1時(shí)，rank(A) = rank(Ab) = 2，方程組有解;此時(shí)，等價(jià)方程組為 x 亠 X 113，相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為:X22X3 = -1i-1、(1 匕=2，非齊次方程組的一個(gè)特解為X* =-1J丿丿故此時(shí)方程組的解的一般形式為5、k2+5、k2+-1x（k為任意實(shí)數(shù)）00 =a 4)(丸一2)2=0九-2特征值為.：，1 = 4，；23 二 2 （重）；_1 1 0叮求= 4對(duì)應(yīng)的特征向量：解方程組(4E