第節(jié)時間序列分析預(yù)測

1、第14章 時間序列分析預(yù)測 2007-12-311【開篇案例】美國內(nèi)華達(dá)職業(yè)健康診所保險理賠 經(jīng)營超過15年，具有歷史資料，如何估計未知狀態(tài)？增長規(guī)律、季節(jié)波動規(guī)律如何描述？時間數(shù)列分析，能否反映客觀事物的發(fā)展變化，能否揭示客觀事物隨時間演變的趨勢和規(guī)律？2007-12-312141 時序分析法概述 時間序列概念及研究目的時間序列的構(gòu)成要素主要有兩個：一是現(xiàn)象所屬的時間。二是現(xiàn)象在一定時間條件下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，即發(fā)展水平。進(jìn)行時間序列分析目的有三個：一是描述事物在過去時間的狀態(tài)；二是分析事物發(fā)展變化的規(guī)律；三是對事物的發(fā)展變化趨勢進(jìn)行預(yù)測。2007-12-313時間序列的分類總量指標(biāo)時間序列是指由

2、一系列同類的總量指標(biāo)數(shù)值所構(gòu)成的時間序列。它反映事物在不同時間上的規(guī)模、水平等總量特征。 相對數(shù)時間序列是指由一系列同類的相對指標(biāo)數(shù)值所構(gòu)成的時間序列。它可以反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象數(shù)量對比關(guān)系的發(fā)展過程。 平均數(shù)時間序列是指由一系列同類的平均數(shù)指標(biāo)數(shù)值所構(gòu)成的時間序列。它可以反映客觀現(xiàn)象一般水平的發(fā)展變化過程。2007-12-314編制時序數(shù)據(jù)的原則(1)時間方面的可比性(2)空間的可比性(即總體范圍大小應(yīng)該一致)(3)各指標(biāo)數(shù)值的內(nèi)容、計算計量應(yīng)具有可比性2007-12-315時間序列的基本變動趨勢 時間序列的基本變動趨勢長期趨勢（T）季節(jié)變動（S）循環(huán)變動（C）不規(guī)則變動（I）事物的發(fā)展變化是上

3、述四因素的全部或部分變動影響的結(jié)果。在統(tǒng)計分析中，將這種關(guān)系概括為兩種假設(shè)：第一種假設(shè)：各個組成部分所具有的變動數(shù)值是各自獨立，彼此相加的，可建立加法模型： 第二種假設(shè)：各個組成部分所具有的變動數(shù)值是相互依存，彼此相乘的，可建立乘法模型：加法模型乘法模型2007-12-316142 簡單的平均值預(yù)測 由于平均值代表了一組數(shù)據(jù)的一般水平，特別如果一組數(shù)據(jù)沒有趨勢變化，只是在某一水平上下波動，則其平均值可作為預(yù)測值進(jìn)行簡單的預(yù)測。可供選擇的時序平均值的計算方法區(qū)分為兩類：指標(biāo)平均值的計算平均發(fā)展速度計算2007-12-317簡單的平均值預(yù)測算術(shù)平均 預(yù)測值首末折半平均值法加權(quán)平均 預(yù)測值 其中,

4、各時點間隔長度指標(biāo)平均值的計算算術(shù)平均預(yù)測值 首末折半平均值 加權(quán)平均預(yù)測值2007-12-318簡單的平均值預(yù)測間隔加權(quán)平均值法 其中, 各時點間隔長度指標(biāo)平均值的計算“間隔加權(quán)”平均值 幾何平均法幾何平均 預(yù)測值2007-12-319平均發(fā)展速度的計算 平均發(fā)展速度計算 定基發(fā)展速度及 定基增減速度 環(huán)比發(fā)展速度及 環(huán)比增減速度平均發(fā)展速度定基發(fā)展 速度環(huán)比發(fā)展 速度平均發(fā)展 速度(幾何法)基于平均發(fā)展速度的預(yù)測模型 式中，r為平均增長速度， 2007-12-3110143 移動平均法移動平均法(和指數(shù)平滑法)是在平均值預(yù)測基礎(chǔ)上的改進(jìn)，其特點是重視近期數(shù)據(jù)，盡管不能很好的描述過去，但追逐

5、趨勢變化的能力很強(qiáng)，有較好的預(yù)測效果。 移動平均值的計算設(shè)有n個觀察值組成的時序：X1，X2，Xn，其中Xt為第t期的數(shù)據(jù)(tl，2，n)，選擇連續(xù)的N個觀察期(Nn，稱跨越期)數(shù)據(jù)計算移動算術(shù)平均數(shù), M1(t)稱為移動平均值(一次)： M1(t) (Xt+Xt-1+Xt-N+1)/N2007-12-3111一次移動平均值的滯后規(guī)律一次移動平均值序列 M1(t)滯后規(guī)律：(1)M1(t)可以追蹤Xt的趨勢,且具有修勻效果;(2)當(dāng)Xt增長趨勢時M1(t)縱向值小于Xt,當(dāng)Xt遞減趨勢時 M1(t)縱向值大于Xt;(3)M1(t)與Xt有水平偏差,統(tǒng)計學(xué)上稱平均役令,可以證明其平均役令：考慮滯

6、后規(guī)律，Mt可作為t-時刻的估算值。平均役令XtM1(t)圖14-1 M1(t)的滯后規(guī)律Mt可作為t-時刻的估算值2007-12-3112一次移動平均法利用一次移動平均值的滯后規(guī)律，可以對有趨勢的時間序列進(jìn)行預(yù)測。假如選取移動跨越期為N，一次移動平均值序列須前移(N-1)/2個位置才能追蹤到實際趨勢。一次移動平均值序列的前移 奇數(shù)項移動平均值數(shù)據(jù)，列表時應(yīng)對準(zhǔn)所平均時期的中間時期，一次前移即可得到長期趨勢值；偶數(shù)項移動平均平均值，應(yīng)置于所平均時期的中間兩個時期之間，可先把移動均值前移(N/2-1)行(少移動0.5行)，為移正長期趨勢值，還需要一次兩項移動平均并前移一行，即可追蹤到長期趨勢。

7、2007-12-3113跨越期N的選擇如果現(xiàn)象變動有一定的周期，擴(kuò)大跨越期時應(yīng)注意與現(xiàn)象周期變動的時距一致。如在分月(或季)的時間序列中，必須消除季節(jié)因素變動的影響，就需要采用12項(或4項)移動平均；一般在3-20之間選取N值,但要注意下列影響： 選取N值大，可避免隨機(jī)干擾，但追蹤新趨勢的能力稍差；N值較小，追蹤新趨勢能力強(qiáng)，但易受隨機(jī)干擾。2007-12-3114一次移動平均預(yù)測若時序數(shù)據(jù)無長期趨勢變動，則其t+1期預(yù)測值Xt+1，即可直接用第t期一次移動平均數(shù)Mt 表示。如果時序數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性趨勢變動，應(yīng)用一次移動平均數(shù)的變動趨勢法進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測模型：Xt+TM1(t)+bT式中：Xt+T

8、未來t+T期的預(yù)測值； M1(t)時序中最后一個移動算術(shù)平均值； b趨勢變動值(或最后三個趨勢變動值的均值)； T未來觀察期t與預(yù)測期的間隔期數(shù)。一次移動平均預(yù)測應(yīng)用參見例14.4 2007-12-3115二次移動平均法二次移動平均法是對時間序列的一次移動平均值再進(jìn)行第二次移動平均，利用一次移動平均值和二次移動平均值，求出線性預(yù)測模型的平滑系數(shù)并修正滯后偏差，建立線性預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測。可見，二次移動平均法適用于時間序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性趨勢變化的預(yù)測。二次移動 均值2007-12-3116二次移動平均法原理 二次移動平均法，是利用移動平均值具有滯后規(guī)律來進(jìn)行預(yù)測的，特別當(dāng)原始時間序列X1，X2，Xt

9、呈現(xiàn)出線性趨勢時，可以證明下列規(guī)律(見圖14-2)：(1) M1(t)也呈現(xiàn)出線性變化趨勢，其斜率與原始序列相同；(2) 從縱向看M1(t) 滯后于Xt，M2(t)滯后于M1(t)，且兩個落差相同；(3) 平均役令只與N值選取有關(guān)。平均役令XtM1(t)M2(t)圖14-2 二次移動平均法原理2007-12-3117二次移動平均預(yù)測例14.5表14-5第2列給出了產(chǎn)品實際銷售情況，試預(yù)測第16期和第17期銷售值。取N=3，首先逐步計算出M1(15)=53，M2(15)=50.11，二次移動平均 預(yù)測模型 式中, 然后求出： at25350.1155.89 bt2(5350.11)/(3-1)2

10、.89可建立預(yù)測模型及求出預(yù)測值： X15+T55.89+2.89T X1655.89+2.891=58.78 X1755.89+2.892=61.67 2007-12-3118144 指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是一種特殊的加權(quán)移動平均法。因具有連續(xù)運用所需資料少、計算極方便、更新預(yù)測模型非常簡易等優(yōu)點，所以是市場預(yù)測中經(jīng)常使用的一種方法。特別適用于觀察值有長期趨勢和季節(jié)變動，必須經(jīng)常預(yù)測的那些情況。2007-12-3119一次指數(shù)平滑法 給出平滑系數(shù)和初始值S1(0)，就可以推導(dǎo)一次指數(shù)平滑值的上述公式。一次指數(shù)平滑式中，Xt-為第t期的觀察值(tl，2，n)； S1(t)-是第t期的一次指數(shù)平滑

11、值； -稱為平滑系數(shù) (1稱為阻尼系數(shù))； S1(t-1)-是第t-1期的一次指數(shù)平滑值。 一次指數(shù)平滑的實質(zhì) 上述公式經(jīng)過迭代可以得到下式： 可以證明公式右邊的系數(shù)之和為1。所以，一次指數(shù)平滑值的實質(zhì)是X1，X2，Xt，S1(0)的一個加權(quán)平均值，而且越是近期數(shù)據(jù)所給權(quán)重越大，體現(xiàn)了重視近期數(shù)據(jù)的思想。 2007-12-3120二次指數(shù)平滑預(yù)測法 二次指數(shù)平滑值S2(t)是一次指數(shù)平滑值的再次指數(shù)平滑。由于指數(shù)平滑值是歷史數(shù)據(jù)的一個加權(quán)平均，其相對于原始序列具有滯后偏差，可以證明一次指數(shù)平滑值的平均役令只和平滑系數(shù)有關(guān)，計算公式：二次指數(shù)平滑式中，S2(t)-是第t期的二次指數(shù)平滑值； S1

12、(t)-是第t期的一次指數(shù)平滑值； -稱為平滑系數(shù) (1稱為阻尼系數(shù))； S2(t-1)-是第t-1期的二次指數(shù)平滑值。 平均役令XtS1(t)圖14-3 二次指數(shù)平滑法原理S2(t)2007-12-3121關(guān)于初始值的選取計算一次、二次指數(shù)平滑值，首先要選取初始值S1(0)和S2(0)，如果原始時序數(shù)據(jù)較多，一般取它們?yōu)閄1即可。因為計算到最后一個指數(shù)平滑值時，初始值的權(quán)值已變得非常小，作用可以忽略；如果原始時序數(shù)據(jù)不多，初始值的選取將影響到計算結(jié)果，須謹(jǐn)慎選取。比如取最初幾個數(shù)據(jù)的平均值，利用滯后規(guī)律推算初始值等。2007-12-3122平滑系數(shù)的選取前面已指出，一次指數(shù)平滑值的平均役令只

13、和平滑系數(shù)有關(guān)。因此，選取需要慎重。 參考移動平均中N值的選取，N值一般在3-20之間選取，一般在0.10.6之間選取(阻尼系數(shù)應(yīng)在0.40.9)。選取較大時，表明重視近期數(shù)據(jù)，追蹤新變化的能力強(qiáng)，但易受隨機(jī)干擾；選取較小時，抗干擾能力強(qiáng)，但追蹤新變化的能力較差。故當(dāng)線性趨勢較強(qiáng)時，可選取稍??；當(dāng)非線性趨勢較穩(wěn)定時選取較大，以追蹤實際變化。由 可得：2007-12-3123二次指數(shù)平滑法預(yù)測 例14.6表14-6第2列給出了產(chǎn)品實際銷售情況，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測第16期和第17期的銷售值。 二次指數(shù)平滑 預(yù)測模型 式中, 2007-12-3124145 季節(jié)指數(shù)法 季節(jié)指數(shù)法，是以市場季節(jié)性

14、周期為特征，計算反映在時間序列資料上呈現(xiàn)明顯的有規(guī)律的季節(jié)變動系數(shù)，達(dá)到預(yù)測目的的一種方法。測定季節(jié)變動大致有兩種方法：一是不考慮長期趨勢的影響，直接根據(jù)原數(shù)列計算，常用的方法是按季(或月)平均法；二是將原序列中的長期趨勢及循環(huán)變動剔除后，再進(jìn)行測定，常用方法是移動平均趨勢剔除法。不管采用哪種方法，都需具備至少連續(xù)五年分季(或月)的資料，才能比較客觀地描述和認(rèn)識現(xiàn)象的季節(jié)變動。 2007-12-3125按季(或月)平均法 預(yù)測步驟：(1) 計算歷年同季/月的平均水平；(2) 根據(jù)歷年各季/月的數(shù)值總和，計算總的季（或月）的平均水平；(3) 將歷年同季/月的平均水平與總的季/月的平均水平對比，得

15、到用百分?jǐn)?shù)表示的季節(jié)比率(或季節(jié)指數(shù))。它表明季節(jié)變動的一般規(guī)律性。(4) 歷年同季/月的平均水平可作為預(yù)測值。 表14-7 某企業(yè)近五年分季度的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)年份一季二季三季四季合計1571318432581418453610162254381219256431517202880季平均7.810.816.422.214.3季節(jié)比率（）54.5575.52114.69155.24400例14.7某商場某種商品的銷售量資料如表14-7所示，用按季（或月）平均法計算各季的季節(jié)比率。2007-12-3126剔除長期趨勢的季節(jié)指數(shù)法剔除長期趨勢的季節(jié)指數(shù)法中最常用的方法是移動平均趨勢剔除法。移動平均季節(jié)

16、指數(shù)法是利用移動平均法分解時間序列四類變動因子，計算出既消除長期趨勢變動又消除循環(huán)變動和不規(guī)則變動的、比較精確地反映季節(jié)變動情況的季節(jié)指數(shù)，并據(jù)此修正沒有考慮季節(jié)影響的預(yù)測值，更好地進(jìn)行預(yù)測。移動平均季節(jié)指數(shù)法的核心是分解，找到季節(jié)指數(shù)St。2007-12-3127移動平均季節(jié)指數(shù)法預(yù)測步驟 1）選擇跨越期(N=4或12)，計算移動平均數(shù)(MtTC) 。2）中心化處理。目的是使其與原時序的時間周期一致。3）將原時序(XtTSCI)除以中心化移動均值(MtTC)，構(gòu)成新時序。4）求同季度的季節(jié)指數(shù)，即消除不規(guī)則因子。5）調(diào)整季節(jié)指數(shù)值。調(diào)整方法是以調(diào)整系數(shù)乘以各季節(jié)指數(shù)。調(diào)整系數(shù)理論季節(jié)指數(shù)總和

17、/實際季度指數(shù)之和 6）確定預(yù)測期的趨勢值。利用最小二乘法、移動平均法等方法，建立趨勢模型，計算預(yù)測期的趨勢值。7）通過季節(jié)指數(shù)對趨勢值(Tt)修正進(jìn)行預(yù)測。剔出長期趨勢的季節(jié)指數(shù)法預(yù)測模型：2007-12-3128146 趨勢延伸法趨勢延伸法是遵循慣性原理,分析預(yù)測目標(biāo)時間序列呈現(xiàn)的長期趨勢變動軌跡的規(guī)律性,用數(shù)學(xué)方法找出擬合趨勢變動軌跡的數(shù)學(xué)模型,據(jù)此進(jìn)行預(yù)測的方法就是趨勢延伸法,又稱為趨勢外推法.應(yīng)用趨勢延伸法有兩個假設(shè)前提:決定預(yù)測目標(biāo)過去發(fā)展的因素, 仍將決定其未來的發(fā)展；預(yù)測目標(biāo)發(fā)展過程一般是漸進(jìn)變化，而不是跳躍式變化。常見的趨勢延伸模型包括直線、二次曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線和生長

18、曲線等。2007-12-3129直線趨勢的擬合 如果一個多年的數(shù)據(jù)序列，其相鄰兩年數(shù)據(jù)的一階差分近似為一個常數(shù)，就可以擬合一條直線： ，然后，用最小平方法來求解參數(shù)a、b。 2007-12-3130對數(shù)曲線的擬合 對數(shù)曲線方程為： (b0)。對數(shù)曲線的一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)減少，散點圖應(yīng)表現(xiàn)為上凸的趨勢(增長趨勢時)。確定對數(shù)曲線方程的參數(shù)時，可以把y可作是x的線性函數(shù)，進(jìn)行回歸分析。也可利用下列標(biāo)準(zhǔn)方程組求解： 2007-12-3131指數(shù)曲線的擬合 指數(shù)曲線方程： (a，b0)，曲線具有如下特性：由于增長速度越來越大，其散點圖顯示為上凹形狀。所以，當(dāng)時間序列的各期數(shù)值大致按某一相同比率增長時，可以考慮擬合指數(shù)方程。對指數(shù)曲線方程兩邊取對數(shù)，得：y = a + bx 令Y=y, 可由最小二乘法推出求解參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組： 2007-12-3132拋物線曲線的擬合 拋物線函數(shù) 可以描述幾乎所有的階段性趨勢，常用來描述增長趨勢。確定其參數(shù)時，可以把y看作是x和x2的線性函數(shù)，利用回歸分析求得參數(shù)。參數(shù)可用下列標(biāo)準(zhǔn)方程組求得： 2007-12-3133生長曲線的擬合 修正指數(shù)曲線 在指數(shù)方程右邊增加一個常數(shù)k，即可得到修正指數(shù)方程：取a0，0b0)，用于描述生物體的增長