幾何模型（中點(diǎn)、角平分線、手拉手、對(duì)角互補(bǔ)）

1、中點(diǎn)模型知識(shí)回顧：已知中點(diǎn)類問(wèn)題處理方法：中線倍長(zhǎng)； 作平行線； 作垂直 中線倍長(zhǎng) 作平行 作垂直求證中點(diǎn)類問(wèn)題處理方法:作平行線；作垂直. 作平行 作垂直問(wèn)題提出:【例1】如圖，AD是ABC的中線. （1）求證：ABAC2AD；（2）若AB=6，AC=4，求AD的取值范圍.探究: 如何轉(zhuǎn)化2倍線段(即2AD)? 如何將分散的線段AB,AC,2AD聚集在同一三角形中?歸納: 倍長(zhǎng)AD可將2AD轉(zhuǎn)化為一條線段；對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等關(guān)系，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，故可設(shè)法將其置于同一個(gè)三角形中證明.中線倍長(zhǎng)可起到把分散元素轉(zhuǎn)移集中的作用.通過(guò)將中線（或類似于

2、中線）的線段向中點(diǎn)方向延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)的部分線段與中線相等， 思維模式是全等變換中的“中心對(duì)稱”或“旋轉(zhuǎn)”.模型探究1:【例2】如圖，已知AD是ABC的中線，且CD=AB，AE是ABD的中線，求證：AC=2AE.【分析】倍長(zhǎng)AE得AF，證AC=2AE即證AC=AF，再證ABEFDE即可.模型探究2:【例3】如圖，在ABC中，AD平分BAC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求證：EFAB.（請(qǐng)嘗試用多種方法證明） 方法1:倍長(zhǎng)FD 方法2:倍長(zhǎng)AD 方法3:過(guò)點(diǎn)C作CGEF 方法4:過(guò)點(diǎn)E作EGAC 方法5:過(guò)點(diǎn)C作CHAD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EGAD于點(diǎn)G .模型應(yīng)用1: 如圖

3、，在ABC中，AD平分BAC，點(diǎn)E、F分別在BD、AD上，且EF=AC，EFAB. 求證：DE=CD.模型應(yīng)用2: 如圖，在ABC中，AD平分BAC，點(diǎn)E、F分別在BD、AD上，且DE=CD，EFAB. 求證：EF=AC.模型探究3:【例4】如圖，已知ABAD，ACAE，BADCAE90，AHBC于H，延長(zhǎng)HA交DE于F求證：（1）F為DE中點(diǎn)； (2)BC2AF【分析】要證F為DE中點(diǎn),此時(shí)倍長(zhǎng)AF無(wú)效，過(guò)D作DGAE交AF延長(zhǎng)線于G，先得DAGABC，再得GFDAFE，從得DFEF.HHHH 模型探究4:【例5】 如圖，已知BD、CE分別是ABC的AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE

4、的中點(diǎn)求證：GFDE【分析】連接EG、DG,依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明EG=DG,再由等腰三角形三線合一可證GFDE.模型探究5:【例6】 如圖，在ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N求證：MQQN【分析】連接CE、BG,先證BAGEAC,再依據(jù)三角形中位線定理可證MQQN模型應(yīng)用3:如圖，在ACE中，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形求證：FMH是等腰直角三角形角平分線模型知識(shí)回顧：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等構(gòu)造模型，為證明邊相等、角

5、相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。 如圖：點(diǎn)P 是MON 的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PAOM 于點(diǎn) A，PBON 于點(diǎn) B。 結(jié)論：PB=PA 問(wèn)題提出：題中若出現(xiàn)角平分線已知條件，常見(jiàn)輔助線作法如下模型探究1：【例1】（1）如圖，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=6，BD=4，那么點(diǎn) D到直線 AB 的距離是_； （2）如圖，1=2，3=4。 求證：AP 平分BAC。 【分析】（1）由角平分線模型可知，D到AB的距離等于DC=2.如圖過(guò)點(diǎn)P分別作AB、BC、AC三邊的垂線，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)P到AB、BC、AC三邊的距離相等, 可證AP 平分

6、BAC模型探究2：【例2】如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB， BC=CD，求證:ADC+B=180.【分析】以角平分線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，其原理是軸對(duì)稱性質(zhì)，實(shí)際操作中可以通過(guò)截取或作垂直實(shí)現(xiàn)元素轉(zhuǎn)移聚集.模型應(yīng)用1：【例3】（1）如圖所示，在ABC中，AD是ABC 的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn) A 的任意一點(diǎn)，試比較 PB+PC 與 AB+AC 的大小，并說(shuō)明理由； （2）如圖所示， AD 是ABC 的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較 PC-PB 與 AC-AB 的大小，并說(shuō)明理由。模型應(yīng)用2：【例4】如圖：已知在ABC 中，A=2B，CD 是ACB 的平分線，AC=16，AD=8。

7、求線段 BC 的長(zhǎng)。 模型探究3： 【例5】如圖，P 是MON 的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQON，交 OM 于點(diǎn) Q。 結(jié)論：POQ 是等腰三角形。 【分析】有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。 模型應(yīng)用3：【例6】解答下列問(wèn)題： （1）如圖所示，在ABC 中，EFBC，點(diǎn) D 在 EF 上，BD、CD 分別平分 ABC、ACB，寫(xiě)出線段 EF 與 BE、CF 有什么數(shù)量關(guān)系； （2）如圖所示，BD 平分ABC、CD 平分ACG，DEBC 交 AB 于點(diǎn) E，交 AC 于點(diǎn) F，線段 EF

8、 與 BE、CF 有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由。 （3）如圖所示，BD、CD 分別為外角CBM、BCN 的平分線，DEBC 交AB延長(zhǎng)線 于點(diǎn) E，交 AC 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，直接寫(xiě)出線段 EF 與 BE、CF 之間的數(shù)量關(guān)系？ 【分析】由模型可知ED=BE,DF=CF，分別得出圖中線段EF與BE、CF數(shù)量關(guān)系.模型探究4: 【例7】如圖，P 是MON 的平分線上一點(diǎn)，APOP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn) B。 結(jié)論：AOB 是等腰三角形?！痉治觥繕?gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等 的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和等腰三角形“三線合一”

9、聯(lián)系了起來(lái)。 模型應(yīng)用4:【例8】如圖，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足為 E。求證：BD=2CE。【分析】如圖延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F,則有RtBEFRtBEC：RtBADRtCAF ,BD=CF=2CE模型應(yīng)用5:【例9】如圖，在ABC 中，BE 是角平分線，ADBE，垂足為 D。 求證：2=1+C。手拉手模型知識(shí)回顧： 手拉手模型即指共頂點(diǎn)模型，是指兩個(gè)頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點(diǎn)重合，兩個(gè)三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等或者相似。 兩等邊三角形 兩等腰直角三角形 兩任意等腰三角形問(wèn)題提出：在上述圖形中，如何尋找手拉手模型

10、？圖中有哪些相等的邊和角？有哪些全等或相似的三角形？尋找共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點(diǎn);（2）列出兩組相等的邊或?qū)?yīng)成比例的邊;（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個(gè)三角形中去，證明全等或相似即可.模型探究1:【例1】如圖，分別以ABC的邊AB、AC向外作等邊三角形ABD和ACE，連接BE，CD相交于點(diǎn)P，連接AP求證：BECD；求BPD得度數(shù)；求證：AP平分DPE；【分析】ABD和ACE是共頂點(diǎn)的兩個(gè)等邊三角形,構(gòu)成手拉手模型.(1)易證ABEADC（SAS）可得BECD；(2)由ABEADC得ABEADC，BPDBAD60；(3)作AMBE于M，ANCD于N，ABEADC，AM

11、AN，AP平分DPE；【例2】(變式):在例1的條件下，將圖形旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上三個(gè)結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】（1）（2）兩個(gè)結(jié)論依然成立 （3）AP平分DPE的鄰補(bǔ)角，推理方法類比例1模型拓展:在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，證明：（1）ABEDBC （2）AE=DC（3）AE與DC的夾角為60（4）AGBDFB（5）EGBCFB （6）BH平分AHC（7）GFAC（8）AH=DH+BH , CH=BH+HE（9）BGF等邊三角形（10）四點(diǎn)共圓: A、B、H、D四點(diǎn)共圓, B、F、H、G四點(diǎn)共圓，C、B、H、E四點(diǎn)共圓模型探究2:【例3】如圖

12、1所示:在等腰RtABC和等腰RtADE中,BACDAE90，A、D、C三點(diǎn)在同一直線上，連接BD、CE（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，試求BFC的度數(shù)；（3）將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】ABC和ADE是共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形,構(gòu)成手拉手模型.(1)易證ABDACE（SAS），可得BDCE；(2)由ABDACE得ABDACE，BFCBAD90；(3)同理可證（1）、（2）中的結(jié)論仍然成立.模型應(yīng)用1:【例4】已知：如圖，ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90（1）試探究BD與AE的

13、關(guān)系(數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系),并說(shuō)明理由.（2）若ABDDAE，AB8，AD6，求四邊形ABED的面積模型探究3：【例5】已知ABC，分別以AB，AC為邊作等腰ABD和等腰ACE，且ADAB，ACAE，DAB=EAC，G，F(xiàn)分別為DC與BE的中點(diǎn). 圖1 圖2 圖3如圖1，若DAB ，則GAF ，AGF ；如圖2，若DAB45，求AGF的度數(shù)；如圖3，若DAB，試探究AGF與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】ABD和ACE是共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形,構(gòu)成手拉手模型.第(3)問(wèn)先證DACBAE，得ADGABF，DCBE由G，F(xiàn)為DC，BE中點(diǎn)，DGBF證DAGBAF，得AGAF，DAGBAF，GAFD

14、AB，AGF=模型拓展:【例6】如圖，AOB和ACD都是等邊三角形，其中ABx軸于E點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上.（1）若OC5，求BD的長(zhǎng)度；（2）設(shè)BD交x軸于點(diǎn)F，求證：OFADFA；（3）若正AOB的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊在直線AC下方作正ACD，連接ED，求ED的最小值.圖1 圖2 圖3對(duì)角互補(bǔ)模型知識(shí)回顧:對(duì)角互補(bǔ)模型：在四邊形ABCD中，AC180（或ABCADC180），BD平分ABC，則ADCD（以上條件和結(jié)論可逆） 問(wèn)題提出：解決對(duì)角互補(bǔ)模型問(wèn)題常用方法有哪些？ 對(duì)角互補(bǔ)模型中常見(jiàn)輔助線作法：軸對(duì)稱、作垂直、旋轉(zhuǎn)常見(jiàn)類型：1.全等型一90 2.全等型一120 3.全等

15、型一任意角模型探究1：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ABCADC90，BD平分ABC.求證：（1）ADCD （2）ABBCBD （3）S四邊形ABCDBD2【例2】（變式）如圖，ABCADC90，BD是ABC的鄰補(bǔ)角MBC的平分線.求證：（1）ADCD （2）BCABBD （3）SBDCSABDBD2 模型應(yīng)用1：【例3】如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長(zhǎng)均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】當(dāng)OP在如圖位置時(shí)，過(guò)O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，如圖

16、在RtOEG與RtOFH中，EOGHOF，OEOF5，OEGOFH，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，即25，模型探究2：【例4】如圖，在四邊形ABCD中，ACBACD=BAD=60，求證:AB=AD【分析】從軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、作垂直三個(gè)方面入手，通過(guò)如下幾種輔助線都可以進(jìn)行推理。模型探究3：【例5】已知，點(diǎn)P是MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)A，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B，且使APB+MON180（1）利用圖1，求證：PAPB；（2）如圖2，若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，當(dāng)SPOB3SPCB時(shí)，求PB與PC的比值；（3）若MON60，OB2，射線AP交ON于點(diǎn)D，且滿足且PBDABO，請(qǐng)借助圖3補(bǔ)全圖形，并求OP的長(zhǎng)【分析】（1）作PEOM，PFON，垂足為E、F，易證EPAFPB，即PAPB；（2）S