混沌理論及應(yīng)用

1、混沌理論及應(yīng)用第1頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌的概念：混沌（chaos）又稱渾沌，人們通常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)，在這個意義上它與無序的概念是相同的。 一、混沌的基本概念及特征第2頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五1確定性 在混沌系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)演化的動力學方程的確定性，是指方程(常微分方程、差分方程、時滯微分方程)是非隨機的，不含任何隨機項。系統(tǒng)的未來(或過去)狀態(tài)只與初始條件及確定的演化規(guī)則有關(guān)，即系統(tǒng)的演化完全是由內(nèi)因決定的，與外在因素無關(guān)。這是至關(guān)重要的一條限制，所以我們現(xiàn)在講的混沌也叫“確定性混沌”。正因為確定性

2、的系統(tǒng)出現(xiàn)了復雜行為，也叫內(nèi)隨機性，人們才興奮起來，才一往傾心地鉆研混沌。當然，從長遠的觀點來看，人們肯定會研究帶有隨機項的更復雜系統(tǒng)的非周期運動。然而，目前由于公眾對混沌還有相當?shù)恼`解，所以我們嚴格區(qū)分是否為確定性至關(guān)重要，還不能籠統(tǒng)地從現(xiàn)象的層次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌?？傊煦绺拍畹莫M義化總比泛化好些?，F(xiàn)在我們考慮的混沌主要是一種時間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮偏微分方程。第3頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五例：Lorenz系統(tǒng)Logistic 映射第4頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五2非線性 產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)一定

3、含有非線性因素，有了非線性未必產(chǎn)生混沌，但沒有非線性是肯定產(chǎn)生不了混沌的。也就是說，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性來定義的，設(shè)G1和G2是任意兩個(向量)函數(shù)，a和b是任意兩個常數(shù)，若算子乙滿足如下疊加原理: L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)，則稱L是線性算子，否則L是非線性算子。包含非線性算子的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。應(yīng)當注意的是線性與非線性也不是絕對分明的。對于某些復雜現(xiàn)象，在一定條件下，既可以把它視為非線性現(xiàn)象也可以把它視為線性現(xiàn)象，這與人們看問題的角度和所關(guān)心的變量的時空尺度不同有關(guān)?，F(xiàn)在看來，非線性是普遍存在的，多數(shù)問題不能通過線性的辦法或線

4、性化的辦法來解決，因而直接面對非線性是不可避免的。第5頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五3對初始條件的敏感依賴性 1963年，洛倫茲發(fā)表了關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究，并提出了形象的“蝴蝶效應(yīng)”。被冷落了12年之后，1975年數(shù)學家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發(fā)生機制，認為向湍流的轉(zhuǎn)變是由少數(shù)自由度決定的，經(jīng)過兩三次突變，運動就到了維數(shù)不高的“奇怪吸引子”上。這里所謂“吸引子”是指運動軌跡經(jīng)過長時間之后所采取的終極形態(tài)：它可能是穩(wěn)定的平衡點，或周期性的軌道；但也可能是繼續(xù)不斷變化、沒有明顯規(guī)則或次序的許多回轉(zhuǎn)曲線，這時它就稱為“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的運動軌道，對軌道初始

5、位置的細小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻是相當穩(wěn)定的。 第6頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五真實球虛擬球第7頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五今天，“蝴蝶效應(yīng)”幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞。1961年美國氣象學家洛倫茲利用他的一臺老爺計算機，根據(jù)他導出的描述氣象演變的非線性動力學方程進行長期氣象預報的模擬數(shù)值計算，探討準確進行長期天氣預報的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗上一次的計算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計算時的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗算，而是以一個中間結(jié)果作為驗算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復過程后，計算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。

6、就好比一個計算結(jié)果預報幾個月后的某天是晴空萬里，另一個計算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！第8頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識到，因為他的方程是非線性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對初值的依賴不敏感，而非線性方程對初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導致了計算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準確地作出長期天氣預報是不可能的。對此，洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風，這就是蝴蝶效應(yīng)。第9頁，共84頁，2022

7、年，5月20日，2點13分，星期五邏輯斯蒂映射的形式為第10頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x0=0.6 green: x0=0.6001第11頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)brown: x0=0.37 green: x0=0.3701第12頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)i) 系統(tǒng)的變化看似毫無規(guī)則，但實際上是有跡可尋的。ii)系統(tǒng)的演化對初始條

8、件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別（就例如0.6和0.6001僅僅相差六千分之一）， 在一段時間的演化后可帶來南轅北轍的結(jié)果。第13頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Chen系統(tǒng)第14頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)第15頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Rssler系統(tǒng)第16頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五典型連續(xù)混沌系統(tǒng)Chua系統(tǒng)第17頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五典型離散混沌映射第18頁，共84頁，20

9、22年，5月20日，2點13分，星期五典型離散混沌映射第19頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五4非周期性 在數(shù)學和物理學中，周期性的定義是很明確的。對于函數(shù)f(x)，若能找到一個最小正數(shù)t滿足關(guān)系f(x+t)=f(x)，則稱f(x)是周期函數(shù)，t為其周期；否則f(x)就是非周期的, 非周期性意味著構(gòu)成奇怪吸引子的積分曲線從不重復原曲線而封閉。這樣，向著奇怪吸引子演化的系統(tǒng)，從來不以同樣的狀態(tài)重新經(jīng)過。非周期性說明，混沌運動的每一瞬間都是“不可預見的創(chuàng)新”的發(fā)生器。應(yīng)當注意的是“非周期性”這個概念比“混沌要廣、要大的多。比如，準周期是非周期的，但不是混沌；遍歷運動是非周期的

10、，但單純遍歷還不是混沌?；煦邕\動要求有“混合”的性質(zhì)，即“對初始條件的敏感依賴性”。但這并不能因此說混沌運動就是雜亂而無用的，相反，混沌不是無序和紊亂。一提到有序，人們往往會想到周期排列或?qū)ΨQ形狀。第20頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五但是，混沌更像是沒有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含著無窮的內(nèi)在層次，層次之間存在著“自相似性”或“不盡相似”。在觀察手段的分辨率不高時，只能看到某一個層次的結(jié)構(gòu)；提高分辨率之后，在原來不能識別之處又會出現(xiàn)更小尺度上的結(jié)構(gòu)。第21頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五 分叉(bifurcation)是有序演化理論的

11、基本概念，這是混沌出現(xiàn)的先兆。在動態(tài)系統(tǒng)演化過程中的某些關(guān)節(jié)點上，系統(tǒng)的定態(tài)行為(穩(wěn)定行為)可能發(fā)生定性的突然改變，即原來的穩(wěn)定定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時出現(xiàn)新的定態(tài)，這種現(xiàn)象就是分叉。發(fā)生分叉現(xiàn)象的關(guān)節(jié)點叫做分叉點，在分叉點系統(tǒng)演化發(fā)生質(zhì)的變化。動態(tài)系統(tǒng)演化中的分叉現(xiàn)象充分說明了量變引起質(zhì)變的規(guī)律。分叉又是一種閾值行為，只要系統(tǒng)的非線性作用強到一定程度，就可能出現(xiàn)分叉。所以，凡是產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)，總可以觀察到分叉序列。5分叉第22頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第23頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第24頁，共84頁，2022年，5月20日，2點1

12、3分，星期五以參數(shù)a為橫坐標、以x的穩(wěn)定定態(tài)(stable steady states)為縱坐標作圖， 得到1、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區(qū)中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結(jié)構(gòu)的一套東西。此 所謂無窮自相似結(jié)構(gòu)。第25頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形性是指奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)具有自相似性和不可微性。它不是傳統(tǒng)歐幾里得幾何中描述的直線、平面等整形幾何形狀所具有的可微性，而是分維的“分形”物，具有結(jié)構(gòu)自相似性和不可微性(不連續(xù)性)。目前所發(fā)現(xiàn)的奇怪吸引子，如馬蹄鐵吸引子、洛倫茲吸引子、埃農(nóng)(Michel

13、Henon)吸引子、若斯勒(Otto ROssler)吸引子等都具有分形性。所以分形并非純數(shù)學抽象的產(chǎn)物，而是對普遍存在的復雜幾何形態(tài)的科學概括。自然界中分形體無處不在，如起伏蜿蜒的山脈、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸線等等。它與混沌的內(nèi)隨機性、對初始條件的敏感依賴性有本質(zhì)聯(lián)系。所以我們說： “混沌本質(zhì)上是非線性動力系統(tǒng)在一定控制參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的對初始條件具有極度敏感依賴性的回復性的非周期性行為狀態(tài)”。6.分形第26頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形(fractal)混沌世界的秩序結(jié)構(gòu)：由不斷的圖形迭代而成利用簡單的規(guī)則讓系統(tǒng)復雜；從復雜不可解的系統(tǒng)中找到簡單美妙的秩

14、序。第27頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形(fractal)混沌世界的秩序古典歐式幾何：重視實際可測的量值 例如：長度、深度、厚度 分形：無法單純用整數(shù)維度來描述第28頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形(fractal)混沌世界的秩序七十年代的數(shù)學家畢諾特曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)提出一個問題：毛線團的維度是多少？Answer：看你的觀點而異 第29頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形(fractal)混沌世界的秩序遠距離來看，線團凝聚成點，維度為零；再近一點，看出來毛線團點據(jù)球形的空間，維度擴

15、展成三；再走近一些，看出毛線團是由一根根毛線所構(gòu)成，他的維度為一，And then ?數(shù)據(jù)結(jié)果視觀測者與其對象而改變。這種概念也正是這個世紀物理學的中心思想。毛線的維度?第30頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五分形幾何的基本思想第31頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五歐幾里得幾何學的研究對象是具有特征長度的幾何物體：一維空間：線段，有長度，沒有寬度；二維空間：平行四邊形，有周長、面積；三維空間：球，表面積、體積；自然界中很多的物體具有特征長度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。第32頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五有一類問題卻比

16、較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？第33頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五英國的海岸線地圖第34頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五當你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。 第35頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分

17、，星期五得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。第36頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五Koch 曲線第37頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五天空中的云朵植物的葉子第38頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五自然界中的分形山星 云第39頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五星 云第40頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五二、混沌在通信中的應(yīng)

18、用第41頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌同步混沌系統(tǒng)的同步是指一個系統(tǒng)的混沌軌道收斂于另一個混沌系統(tǒng)的軌道，它們之間步調(diào)一致。第42頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第43頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第44頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第45頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第46頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第47頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第48頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第49頁，共

19、84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五第50頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五Shannon“好的混合變換通常是兩個簡單的非可交換運算的乘積。比如Hopf已經(jīng)證明，如做餡皮的生面團可以通過下面的一系列操作進行混合：面團首先被揉搓成一個扁面皮，然后將它折疊，再搓揉，再折疊，如此往復。一個混合變換中的函數(shù)應(yīng)該是復雜的，它的所有變量都應(yīng)敏感，對任何一個變量來說，一個很小的變化都應(yīng)引起輸出的顯著不同?！钡?1頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌與密碼學的關(guān)系隨機密鑰流產(chǎn)生器混沌與流密碼學流密碼的核心產(chǎn)生不可預測的混沌序列 混沌第52頁，共84頁

20、，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌與密碼學的關(guān)系混沌與分組密碼學混淆和擴散 分組密碼 混沌對密鑰敏感 對明文敏感增加信源的熵反復壓縮和拉伸的混沌變換混沌對初始條件和參數(shù)的敏感 混沌具有遍歷性的性質(zhì) 混沌具有拓撲傳遞性 第53頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌與密碼學的關(guān)系單向函數(shù)混沌與公鑰密碼學 公鑰密碼已知部分結(jié)構(gòu)重構(gòu)出全部高維混沌系統(tǒng)；未知部分參數(shù)同步兩個超混沌系統(tǒng)或時空混沌系統(tǒng)； 混沌第54頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五3.混沌掩蓋第55頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌掩蓋第56頁，共84頁，2

21、022年，5月20日，2點13分，星期五4.混沌開關(guān)第57頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌開關(guān)第58頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五5.混沌調(diào)制第59頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌調(diào)制第60頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌在圖像加密中的應(yīng)用原圖像加密后圖像第61頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五混沌在圖像加密中的應(yīng)用正確解密圖像錯誤解密圖像第62頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五信息偽裝：第63頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分

22、，星期五作業(yè)第64頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五一、函數(shù)迭代 給定一函數(shù) 以及初始點 ，定義數(shù)列 稱為函數(shù) 的迭代序列。 滿足 的點 稱為 的不動點，記之為 。如果所有附近的點在迭代過程中都趨向于某一不動點，則該不動點稱為吸引點。如果所有附近的第65頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五點都遠離它，則它是排斥點。例如，0 與 1 是 的不動點。0 是吸引點，1是排斥點。如果則點集 形成一個 k 循環(huán)。 稱為 k 周期點。k稱為周期。第66頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五類似地，周期點也可以分吸引點與排斥點。如果點 最終歸宿于某

23、個循環(huán)中，則稱它為預周期點。如 1 是 的預周期點。迭代序列 的收斂與發(fā)散性質(zhì)不僅與函數(shù) 有關(guān)， 而且與初值的選擇有關(guān)。 例如，對于迭代第67頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五 當初值 時， 迭代序列收斂，否則發(fā)散。第68頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五二、二次函數(shù)的迭代對二次函數(shù) 做迭代: 迭代的幾何直觀圖第69頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五練習 1 對幾組不同的參數(shù)值 （如 )以及不同的初值 ，觀察迭代是否收斂。練習 2 取參數(shù) ，用不同的初值做迭代。你能找到一個吸引的不動點嗎？一個排斥的不動點嗎？哪些初值收斂到吸引的

24、不動點？哪些初值使序列發(fā)散？取不動的參數(shù) 回答同樣的問題。第70頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五練習 3 找出一個參數(shù) 使它對應(yīng)的迭代具有2周期點。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？練習 4 對任意的整數(shù) ，你能找到一個 值使得它對應(yīng)的迭代具有 周期點嗎？對哪些 值能給出 周期點？在每種情況下，結(jié)果是否依賴于初值？（對 和 的值進行驗證）第71頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五練習 5 如果某個值能給出周期點，它是否一定是吸引的周期點？你能否找到排斥的周期點？練習 6 根據(jù)前面的練習，試著從理論上分析：如何求不動點？對哪些值對應(yīng)吸引的不動點？哪些值對應(yīng)排斥的不

25、動點？初值對結(jié)果有什么影響？對周期點做類似的分析。第72頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五不動點的計算 從 得到 及第73頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五 吸引的不動點與排斥的不動點 定理設(shè) 是 的不動點，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動點；否則， 是 的排斥的不動點。由于 故當 0a1時，為吸引點，(a-1)/a為排斥點。當1a3, 為排斥點，(a-1)/ a為吸引點。第74頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五 2 周期點 得第75頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五三、Feigenbaum圖將區(qū)間（0, 4 以某個步長 （如 ）離散化。對每個離散的 值做迭代。忽略前50個迭代值，而把點 顯示在坐標平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。第76頁，共84頁，2022年，5月20日，2點13分，星期五練習 7 觀察Feigenbaum圖。（1）它的左部有一條曲線，這表示什么意義？（2） 從某一點 開始，這條曲線分成兩支，這說明了迭代的什么