極點配置與觀測器設(shè)計

1、極點配置與觀測器設(shè)計第1頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第一節(jié) 概述一、問題的提出 系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等； 系統(tǒng)的分析，則主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等)。 綜合與設(shè)計問題則與此相反，即在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。第2頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四 一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式，因為無論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環(huán)系統(tǒng)的

2、性能都遠(yuǎn)優(yōu)于非反饋或開環(huán)系統(tǒng)。在本章中，我們將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，仍然在時域中討論線性反饋控制規(guī)律的綜合與設(shè)計方法。由于系統(tǒng)的極點決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以通過構(gòu)造狀態(tài)反饋來調(diào)整系統(tǒng)的極點。第3頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四ACB二、狀態(tài)反饋與輸出反饋的形式K1.狀態(tài)反饋反饋規(guī)律開環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)：開環(huán)極點：閉環(huán)極點：第4頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四ACBH2.輸出反饋第5頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四問題：1. 狀態(tài)反饋會不會改變系統(tǒng)的能控性？ 狀

3、態(tài)反饋會不會改變系統(tǒng)的能觀性？2. 是否所有的系統(tǒng)都可以通過狀態(tài)反饋任意配置極點？ 若不可以，什么條件下，可任意配置極點？ 什么條件下，不可任意配置極點？ 不能任意配置極點時，能否部分配置極點使閉環(huán)穩(wěn)定？3. 如何選擇K？4. 如何實現(xiàn)狀態(tài)反饋？第6頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四定理5-1：開環(huán)系統(tǒng)完全能控 經(jīng)過狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)完全能控。即：因為： 開環(huán)系統(tǒng)完全能控 閉環(huán)系統(tǒng)完全能控即，狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性 但狀態(tài)反饋改變系統(tǒng)的能觀性第7頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四舉例：能控,能觀系統(tǒng)取狀態(tài)反饋:能控不能觀第8頁，共115

4、頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四系統(tǒng)開環(huán)極點：狀態(tài)反饋律：第9頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四系統(tǒng)閉環(huán)極點：其中：開環(huán)能控極點可任意配置開環(huán)不能控極點無法改變從而有如下結(jié)論：1. 狀態(tài)反饋只改變能控性極點；2. 只有開環(huán)系統(tǒng)完全能控時，所有的極點都可改變，即開環(huán)系統(tǒng)完全能控時，可任意配置極點；3. 不能控極點不穩(wěn)定時（不能控極點有實部0），無論如何選擇K，閉環(huán)系統(tǒng)都不會穩(wěn)定；第10頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四4. 只有不能控部分都具有負(fù)實部（此時稱能穩(wěn)系統(tǒng)），反饋才有意義。定理5-2：能任意配置極點 開環(huán)系統(tǒng)完全能控。

5、推理5-1：當(dāng)開環(huán)不完全能控，能通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)穩(wěn)定 不能控極點具有負(fù)實部。第11頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第二節(jié) 單輸入系統(tǒng)的極點配置開環(huán)系統(tǒng)：（完全能控）狀態(tài)反饋：閉環(huán)系統(tǒng)：若希望(給定)閉環(huán)極點多項式為：第12頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四進(jìn)行狀態(tài)反饋后， 應(yīng)該有：即：第13頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：分析：第14頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第15頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四一、能控標(biāo)準(zhǔn)形的極點配置設(shè)n階系統(tǒng)為：開環(huán)極點多項

6、式：希望閉環(huán)極點多項式：第16頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四設(shè)反饋增益矩陣：閉環(huán)系統(tǒng)為：仍為底友陣第17頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四閉環(huán)極點多項式：應(yīng)有：即：用開環(huán)極點多項式系數(shù)閉環(huán)極點多項式系數(shù)，從常數(shù)項開始第18頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四歸納步驟：第19頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：由勞斯判據(jù)，顯然開環(huán)不穩(wěn)定。第20頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：能控標(biāo)準(zhǔn)形要求閉環(huán)滿足：根據(jù)閉環(huán)指標(biāo)，選閉環(huán)系統(tǒng)極點設(shè)閉環(huán)極點多項式：超調(diào)量：峰

7、值時間：阻尼振蕩頻率：第21頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四則由自控知識：?。簼M足要求第22頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四開環(huán)系統(tǒng)：第23頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四二、非能控標(biāo)準(zhǔn)形的極點配置開環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋：閉環(huán)系統(tǒng)：希望極點：化能控標(biāo)準(zhǔn)形第24頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四歸納步驟：第25頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四P的求法：方法一：方法二：第三章方法MATLAB中采用第26頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：

8、解：容易驗證系統(tǒng)是能控的，但不是能控標(biāo)準(zhǔn)形（4）求變換矩陣P第27頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第28頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第三節(jié) 多輸入系統(tǒng)的極點配置一、(A, B)能控極點配置是找適當(dāng)K，使：第29頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四若(A, b1)能控，即：對(A, b1)完全能控，找 行向量，使為希望的極點。其余不妨取：第30頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四則：但存在問題: (A, B)能控時，不能得證(A, b1) 能控。第31頁，共115頁，2022年，5月20日

9、，22點39分，星期四解決辦法:第32頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四定理5-3給出了證明。（略）能控重排Qc：順序選n個線性無關(guān)列向量構(gòu)成Q：滿足：Q：nn階滿秩陣第33頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四構(gòu)造：第34頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四練習(xí)Q, S的取法：例:第35頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四取4個線性無關(guān)的列向量構(gòu)成Q,有：第36頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例:第37頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四取4個線

10、性無關(guān)的列向量構(gòu)成Q,有：第38頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例:第39頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四不用反饋，對第一輸入就是能控。第40頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四設(shè)計步驟:判斷(A,b1)是否完全能控，是則直接反饋求k1；否則:第41頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四定理5-4m-1注意：第42頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：顯然(A, B)能控，(A, b1)不完全能控。第43頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四

11、第44頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第45頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：顯然(A, B)能控，(A, b1)不完全能控。第46頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第47頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第48頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第49頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第50頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：第51頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第52頁

12、，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四二、(A, B)不完全能控第53頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四說明只能對能控部分配置極點第54頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四歸納：第55頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：例：(1) 能控性分解第56頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第57頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第58頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四返回原坐標(biāo)系，可得所求狀態(tài)反饋為：第59頁，共115頁，202

13、2年，5月20日，22點39分，星期四第四節(jié) 觀測器及其設(shè)計方法 狀態(tài)觀測器實質(zhì)狀態(tài)估計器(或動態(tài)補(bǔ)償器)。利用被控對象的輸入和輸出對狀態(tài)進(jìn)行估計，從而解決某些狀態(tài)變量不能直接測量的難題。一、開環(huán)觀測器 最簡單、直觀的想法是用仿真技術(shù)構(gòu)造一個和上述系統(tǒng)一樣的系統(tǒng)，為：第60頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四 構(gòu)造狀態(tài)觀測器的目的是 z 可以逼近 x ，則最終兩者誤差應(yīng)趨于零。估計器的初始狀態(tài)(任意)要與系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致。所以，開環(huán)觀測器在實際應(yīng)用上無意義。原因：沒有反饋第61頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四二、閉環(huán)觀測器 開環(huán)系統(tǒng):

14、只利用了系統(tǒng)的輸入信息，沒有考慮輸出信息； 閉環(huán)系統(tǒng): 利用輸出估計誤差作反饋，構(gòu)成一閉環(huán)系統(tǒng)。整理：第62頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四定理5-6：系統(tǒng)存在觀測器，且觀測器極點可任意配置的充要條件是系統(tǒng)完全能觀。推理5-2：若系統(tǒng)是不完全能觀的，則其存在觀測器的充要條件是不能觀部分的極點具有負(fù)實部，稱其為能檢的。第63頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四開環(huán)觀測器結(jié)構(gòu)圖-狀態(tài)估計值第64頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四+-閉環(huán)觀測器結(jié)構(gòu)圖第65頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四三、狀態(tài)

15、觀測器設(shè)計1. 全階觀測器定義: 如果系統(tǒng)的全部狀態(tài)x都用觀測器的輸出z接近，則由于系統(tǒng)是n階的，那么 也是的方陣。觀測器即為n維全階觀測器。設(shè)計思路：利用對偶系統(tǒng)來考慮第66頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第67頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四總結(jié)：求其對偶系統(tǒng)第68頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：第69頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第70頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第71頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：

16、對偶系統(tǒng)：第72頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第73頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第74頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第75頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第76頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第77頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四2. 降階觀測器考慮系統(tǒng)C陣為如下形式：第78頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四那么利用已知的，不通過反饋，比估計值更精確。即：只由觀測器估計x中其它n-p個未知的狀態(tài)

17、。為此設(shè)計的觀測器即為降階觀測器。第79頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四設(shè)計思路：對于單輸出系統(tǒng)，降階觀測器為n-1維。第80頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四展開：(a)(b)(c)第81頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四(d)(c)(b)為：降階觀測器方程為：第82頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第83頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第84頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第85頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分

18、，星期四多輸出系統(tǒng)降維觀測器設(shè)計步驟：第86頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第87頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第88頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：直接利用步驟(4)-(7)計算，無需進(jìn)行線性變換第89頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第90頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四例：解：單輸出 p=1C1C2第91頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第92頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第93頁，共1

19、15頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第94頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四第五節(jié) 用狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)一、用狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)性能討論 在系統(tǒng)實際執(zhí)行狀態(tài)反饋時，并不是由被控系統(tǒng)的狀態(tài)x作狀態(tài)反饋，而是由其估計值z作反饋。這樣的反饋比直接反饋要復(fù)雜。狀態(tài)觀測器為：第95頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四問題：1. 當(dāng)初配置極點時，只考慮系統(tǒng)本身，并沒有考慮帶有觀測器的系統(tǒng)。原來配置的閉環(huán)極點會不會受觀測器影響而發(fā)生變化？2. 設(shè)計觀測器時也是單獨進(jìn)行，這樣將兩者放在一起，會不會改變觀測器性能？ 下面以全階觀測器為例分析這

20、樣的系統(tǒng)，對用最低階觀測器分析結(jié)果一樣。第96頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四(1)(2)(3)(4)(4)代入(1)，(3)；(2)代入(3)得：矩陣形式：(*)(6)(5)第97頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四(6)(5)得：調(diào)整(5)式得：寫成矩陣形式：第98頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四圖形說明：第99頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)的維數(shù)是被控系統(tǒng)的維數(shù)+觀測器維數(shù)。 （用降階觀測器，結(jié)論一樣）閉環(huán)極點設(shè)計分離性3. 帶觀測器反饋系統(tǒng)的傳函與不帶觀測器反饋系

21、統(tǒng)傳函一樣。（傳函不變性）4. 帶觀測器反饋系統(tǒng)的極點具有分離性，可分開獨立設(shè)計。5. 觀測器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性。第100頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四這樣，設(shè)計時分兩部分獨立設(shè)計，為設(shè)計帶來方便。帶觀測器反饋系統(tǒng)的魯棒性較直接反饋差。魯棒性：當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)有變動時，仍有良好性能（抗干擾能力）。通常，取觀測器的極點比閉環(huán)極點遠(yuǎn)23倍。即：如：則：第101頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四二、動態(tài)補(bǔ)償器的設(shè)計穩(wěn)定動態(tài)補(bǔ)償器問題：當(dāng)x不能直接反饋時，可用x的估計值z代替，則補(bǔ)償器為：第102頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四帶觀測器的動態(tài)補(bǔ)償系統(tǒng)這樣設(shè)計的系統(tǒng)可以獲得穩(wěn)定的極點，使系統(tǒng)還穩(wěn)定。設(shè)計時，閉環(huán)極點與觀測器極點具有分離性，分開來設(shè)計，最后只不過只用 即可。( )第103頁，共115頁，2022年，5月20日，22點39分，星期四動態(tài)補(bǔ)償器：第104頁，共115頁，2022年，5月20