平穩(wěn)時間序列模型預測

1、平穩(wěn)時間序列模型預測第1頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 27.1 最小均方誤差預測考慮預測問題首先要確定衡量預測效果的標準，一個很自然的思想就是預測值 與真值 的均方誤差達到最小，即設 預測值 與真值 的均方誤差 我們的工作就是尋找 ，使上式達到最小。下面我們證明最小均方誤差預測就是 第2頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 3條件無偏均方誤差最小預測 設隨機序列 ，滿足 ，則 如果隨機變量 使得 達到最小值，則如果隨機變量 使得 達到最小值，則 第3頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經

2、大學統計學系 4因為 可以看作為當前樣本和歷史樣本 的函數，根據上述結論，我們得到，當 時， 使得 達到最小。對于ARMA模型，下列等式成立： 第4頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 5ARMA模型的預測方差和預測區(qū)間 如果ARMA模型滿足因果性，則有 所以，預測誤差為 第5頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 6由此，我們可以看到在預測方差最小的原則下， 是 當前樣本 和歷史樣本 已知條件下得到的條件最小方差預測值。其預測方差只與預測步長 有關，而與預測起始點t無關。當預測步長 的值越大時，預測值的方差也越大，因此

3、為了預測精度，ARMA模型的預測步長 不宜過大，也就是說使用ARMA模型進行時間序列分析只適合做短期預測。 第6頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 7進一步地，在正態(tài)分布假定下，有 由此可以得到 預測值的95%的置信區(qū)間為 或者 第7頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 87.2 對AR模型的預測首先考慮AR(1)模型 當 時，即當前時刻為t的一步預測為 當 ，當前時刻為t的 步預測 第8頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 9對于AR(p)模型 當 時，當前時刻為t的一步預測為

4、 當 ，當前時刻為t的 步預測 第9頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 10例7.1 設平穩(wěn)時間序列 來自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信區(qū)間。 解： 第10頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 11根據第三章，可以計算模型的格林函數為 所以 的95%的置信區(qū)間為（1.076，3.236） 的95%的置信區(qū)間為 （2.296，3.952）第11頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 12例7.2 已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月) 2006年第一

5、季度該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。 第12頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 13求第二季度的四月、五月、六月的預測值分別為 第13頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 14計算模型的格林函數為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）第14頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 15

6、7.3 MA模型的預測對于MA(q)模型 我們有 當預測步長 ， 可以分解為當預測步長 ， 可以分解為第15頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 16MA(q)模型預測方差為 第16頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 17例7.3 已知某地區(qū)每年常住人口數量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人） 2002年2004年的常住人口數量及1步預測數量見表年份人口數量預測人口數量200220032004104108105110100109第17頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 18預

7、測未來5年該地區(qū)常住人口數量的95%的置信區(qū)間。第18頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 19預測年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第19頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 207.4 ARMA模型的預測關于ARMA模型 有 第20頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 21第21頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 22 例7.4 已知

8、ARMA(1, 1)模型為 且 ，預測未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。第22頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 23首先計算未來3期預測值 計算模型的格林函數為第23頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 24計算預測方差 計算 得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間 預測時期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第24頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 257.5 預測值的適時修正 對于平穩(wěn)時間序列的預

9、測，實際就是利用已有的當前信息和歷史信息對于序列未來某個時期 進行預測。預測的步長值越大，預測精度越差。 隨著時間的向前推移，在原有時間序列觀測值的基礎上，我們會不斷獲得新的觀測值。顯然，如果把新的觀測值加入歷史數據，就能夠提高對的預測精度。所謂預測值的修正就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預測值。 第25頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 26例7.2續(xù) 假設一個月后已知四月份的真實銷售額為100萬元，求第二季度后兩個月銷售額的修正預測值及95%的置信區(qū)間。 因為 根據上述公式可以計算五月、六月的修正預測值如下： 第26頁，共27頁，2022年，5月20日，7點2分，星期三上海財經大學統計學系 27修正預測方差為 步預測銷