定積分的幾何應用面積和弧長

1、定積分的幾何應用面積和弧長第1頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三定積分的元素法 一、什么問題可以用定積分解決 ? 二 、如何應用定積分解決問題 ? 第2頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三表示為一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過“分割, 近似代替, 求和, 取極限”定積分定義一個整體量 ;第3頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三二 、如何應用定積分解決問題 ?第一步 利用“分割 , 近似代替” 求出局部量的微分表達式

2、第二步 利用“ 求和 , 取極限 ” 求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節(jié) 第4頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三一、 平面圖形的面積二、 平面曲線的弧長 定積分在幾何學上的應用第5頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形設曲線與直線及 x 軸所圍曲則邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 OO第6頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例1. 計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積 . 解:

3、 由得交點O第7頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例2. 計算拋物線與直線的面積 . 解: 由得交點所圍圖形為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有O第8頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例3. 求橢圓解: 利用對稱性 , 所圍圖形的面積 . 有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當 a = b 時得圓面積公式第9頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數方程 給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數值則曲邊梯形面積O第10頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例4. 求由擺線的一拱與

4、 x 軸所圍平面圖形的面積 .解:O第11頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三2. 極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為O第12頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三對應 從 0 變例5. 計算阿基米德螺線解:到 2 所圍圖形面積 . O第13頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三心形線 例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解:(利用對稱性)心形線O第14頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開

5、始或暫停 尖點: 面積: 弧長:參數的幾何意義第15頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例7. 計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解: 利用對稱性 ,所求面積第16頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例8. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解: 利用對稱性 ,則所求面積為思考: 用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積 .答案:O第17頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三二、平面曲線的弧長定義: 若在弧 AB 上任意作內接折線 ,當折線段的最大邊長 0 時,折線的長度之和趨向于一個確定的極限 ,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱此

6、曲線弧為可求長的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)第18頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長第19頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三(2) 曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長第20頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三(3) 曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分) :(自己驗證)第21頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .求這一段弧長

7、 . 解:下垂懸鏈線方程為第22頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例10. 計算擺線一拱的弧長 .解:第23頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三例11. 求阿基米德螺線相應于 02一段的弧長 . 解:第24頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三內容小結1. 平面圖形的面積邊界方程參數方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小第25頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示: 交點為弧線段部分直線段部分以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 第26頁，共28頁，2022年，5月20日，0點51分，星期三解：2. 求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.又故在區(qū)