多項(xiàng)式的整除

1、多項(xiàng)式的整除第1頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二 設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)x是F上一元多項(xiàng)式環(huán)。一、多項(xiàng)式整除的定義與性質(zhì)。多項(xiàng)式整除的定義 定義：令f(x)和g(x)是數(shù)域F上多項(xiàng)式環(huán)Fx的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果存在Fx的多項(xiàng)式h(x),使 g(x)=f(x)h(x) 則稱f(x)整除（能除盡）g(x). 記為 f(x)|g(x) 此時(shí)稱f(x)是g(x)的因式， g(x)是f(x)的倍式。 否則，則稱f(x)不整除g(x),記作f(x) g(x).第2頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二注：1.f(x)|g(x)不能寫作f(x)/g(x),以免與分式混淆

2、。2.整除性不是多項(xiàng)式的運(yùn)算，它只是Fx元素間的一種關(guān)系。3.若f(x)|g(x),則(f(x) (g(x)4.若f(x) g（x），則對(duì)任意h(x)Fx, g(x)=f(x)h(x)均不成立。 第3頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二問(wèn)題：1。零多項(xiàng)式能否整除零多項(xiàng)式？2。任意非零多項(xiàng)式能否整除零多項(xiàng)式？3。零多項(xiàng)式能否整除任意非零多項(xiàng)式？4。零次多項(xiàng)式能否整除任意多項(xiàng)式？5。零次多項(xiàng)式能否被任意多項(xiàng)式整除？第4頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二分析：1。因h(x) Fx,均有 0=0h(x) 成立， 故0|0有意義。第5頁(yè)，共26頁(yè)，2022年

3、，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二2。對(duì)0f(x)Fx, 不存在0h(x)F(x),使 0=f(x)h(x)成立。 欲使 0=f(x)h(x)成立， 只有 h(x)=0第6頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二3。 對(duì)0f(x)Fx, 不存在h(x) Fx,使 f(x) = 0 h(x)成立。第7頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二4。對(duì)f(x)Fx, 0 C F，均有 f(x)=C( f(x) 第8頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二5。 對(duì) g(x)Fx,0 C F, 若存在h(x) Fx,使 C=g(x)h(x), 則g(x

4、)與h(x)均為零多項(xiàng) 式。第9頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二結(jié)論：1。零多項(xiàng)式能整除且僅能整除零多項(xiàng)式。2。零多項(xiàng)式能被任意多項(xiàng)式整除（即零多項(xiàng)式有任意多高次的因式）。3。零次多項(xiàng)式只能被零次多項(xiàng)式整除。4。零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式。第10頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二多項(xiàng)式整除的基本性質(zhì)1。 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x).證明：f(x)|g(x) h1(x) Fx 使 g(x)=f(x) h1(x) （1） g(x)|h(x) h2(x) Fx 使 h(x)=g(x) h2(x) （2）由（1），

5、（2）得h(x)=f(x)(g(x) h2(x)即 f(x)|h(x)第11頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二2。如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么 h(x)|(f(x) +g(x).證明：h(x)|f(x) (x) Fx,使 f(x)=h(x) (x) （1） h(x)|g(x) (x) Fx,使 g(x)=h(x) (x) （2） 由（1），（2）得 f(x) +g(x)=h(x)(x) +(x) ) 即 h(x)|(f(x) +g(x).第12頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二注：此命題的逆命題不一定成立。例1.令h(x)=x

6、,g(x)=x -1,g(x)=x +1,有h(x)|(f(x) +g(x)，但h(x) f(x),h(x) g(x).第13頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二3。如果h(x)|f(x),那么g(x) Fx,均有h(x)|f(x)g(x)證明：h(x)|f(x) (x) F(x),使 f(x)= h(x)(x)，得 f(x)g(x) =h(x)(x)g(x),即 h(x)|f(x)g(x)注：此命題逆命題不一定成立。第14頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2) ,f(x)=(x-3) .有h

7、(x)|f(x)g(x),但h(x) g(x)且h(x) f(x).4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,，t),那么gi(x) Fx,(i=1,2,，t),有h(x)|(f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x) + + fi(x)gi(x) )5。每一個(gè)多項(xiàng)式f(x)都能被cf(x)整除，其中0 c F.證明：由f(x)= (cf(x),可得。第15頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二注：1。每一個(gè)多項(xiàng)式f(x)都能整除cf(x),其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F

8、) 即：f(x)與cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)與cf(x) (0 c F)有相同的倍式。第16頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中0 c F.證明：由f(x)|g(x) (x) Fx,使 g(x)=f(x) (x) （1） 由g(x)|f(x) (x) Fx,使 f(x)=g(x) (x) （2）由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,則由（1）知g(x)=0,從而f(x)=g(x).若f(x)=0,則由（1）知(x) (x)=1，于是， （(x)

9、 (x)）=0，從而（(x)）=0，（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)第17頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二則有：f(x)=cg(x).說(shuō)明：若f(x)與g(x)均有首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則有c=1,f(x)=g(x).從而可用此性質(zhì)判定兩首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式是否相等。第18頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二帶余除法定理定理2.2.1.設(shè)f(x)和g(x)是Fx的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，并且g(x) 0,那么在Fx中可以找到多項(xiàng)式g(x)和r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) （*） 這里或者r(x)=0,或者 (r(x)

10、(g(x). 滿足以上條件的多項(xiàng)式q(x)和r(x)只有一對(duì)，此時(shí)分別稱為f(x)除以g(x)的商式與余式。第19頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二證明：先證定理的前一部分。 若f(x)=0或（f(x)）m,令有 f1(x)=f(x)- b0-1 a0 xn-m g(x).第20頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二則f1(x)=0或（f1(x)） （f(x)）=n 若f1(x)=0則f(x)= a0 xn-m g(x). 令q(x)= b0-1 a0 xn-m,r(x)=0即可。 若f1(x)=0， （f1(x)）（g(x)）,令第21頁(yè)，共26頁(yè)

11、，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二F2 (x)= F1 (x)- b0-1 a10 xn1-m g(x)其中b10是f1 (x)的首次系數(shù)。則f2 (x)=0或者（f2(x)） （ f2 (x) （ f3 (x) ）最后一定存在fk(x):fk(x)= fk-1(x)-b0-1 ak-1,0 xnk-1-m g(x)而fk(x)=0或（ fk (x)）m,于是有等式：第22頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二f(x)-b0-1a0 xn-mg(x)=f1(x),f1(x)-b0-1a10 xn1-mg(x)=f2(x),fk-1(x)-b0-1ak-1,0 x

12、nk-1-mg(x)=fk(x),.相加得：f(x)=b0-1a0 xn-m+b0-1a10 xn1-m+b0-1ak-1,0 xnk-1-m令g(x)=b0-1a0 xn-m+b0-1 a10 xn1-m+b0-1 ak-1,0 xnk-1-mr(x)=f(x).滿足等式（*）且或者r(x)=0,或者（r(x)(g(x).下證唯一性。第23頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二假設(shè)存在 使 .(3)且 或者 由（3），（*）得第24頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)25分，星期二 若是 那么， 這時(shí)等式右邊的次數(shù)將小于g(x)的次數(shù)，而等式左邊的次數(shù)將不小于g(x)的次數(shù)，這是不可能的。因此必有：因而即第25頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20