矩陣的初等變換

1、矩陣的初等變換第1頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五1 矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價關(guān)系三、初等變換與初等矩陣四、初等變換的應(yīng)用第2頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換消元法第3頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五2第4頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五23 第5頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五 253第6頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五2 第7頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20

2、分，星期五取 x3 為自由未知數(shù)，則 令 x3 = c ，則 恒等式無意義可去掉第8頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五上述消元過程中共使用了三種變換： 交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù) k 乘某個方程，記作 ； 一個方程加上另一個方程的 k 倍，記作 . 上面三種變換都可逆，其逆變換是：iji k ik j第9頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知數(shù)并未參與運算對方程組的變換，可以轉(zhuǎn)換為對矩陣的變換。第10頁，共10

3、5頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定義1：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對換兩行，記作 ；以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .其逆變換是：把“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換 初等變換初等行變換初等列變換第11頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五增廣矩陣結(jié)論： 對原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換系數(shù)矩陣加上常數(shù)項后稱為增廣矩陣第12頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五 2第13頁，共105頁，2022年，5月2

4、0日，9點20分，星期五2 3第14頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五 25 3 第15頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五2第16頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第17頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五B5 對應(yīng)方程組為 令 x3 = c ，則 第18頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五備注帶有運算符的矩陣運算，用“ = ”例如：矩陣加法數(shù)乘矩陣、矩陣乘法矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式|不帶運算符的矩陣運算，用“”例如：初等行變換初等列變換第19頁，共105頁，2022年

5、，5月20日，9點20分，星期五有限次初等行變換有限次初等列變換行等價，記作 列等價，記作 二、矩陣之間的等價關(guān)系第20頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五有限次初等變換矩陣 A 與矩陣 B 等價，記作第21頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定義2 若非零矩陣滿足可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.則稱此矩陣為行階梯形矩陣進(jìn)一步，若還滿足非零行的第一個非零元為 1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.則稱為行最簡形矩陣第22頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五B5行

6、最簡形矩陣 特征：F左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零. 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣第23頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個參數(shù)完全確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系 第24頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論有限次初等行變換 第25頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定義3：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種

7、初等矩陣.對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）；(3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等變換與初等矩陣第26頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五(1) 對調(diào)單位陣的第 i, j 行（列），記作 Em( i, j ) 記作 E5(3, 5)第27頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列）， 記作 E5(3(k) 記作 Em(i(k) 第28頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行, 記作

8、Em(ij(k)記作 E5(35(k) 以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列 分行、列 兩種理解！第29頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五性質(zhì)1 設(shè)A是一個 mn 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.口訣：左行右列.第30頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五驗證第31頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第32頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五結(jié) 論把矩陣A的第 i 行與第 j 行

9、對調(diào)，即 .把矩陣A的第 i 列與第 j 列對調(diào)，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .第33頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第34頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 第35頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B

10、都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 第36頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 第37頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五結(jié)論 初等矩陣的逆矩陣：第38頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 證 充分性A = P1 P2 , Pl 因初等矩陣可逆，有限個初等矩陣的乘積仍可逆，故A可逆必要性A可逆A經(jīng)過有限次

11、初等行變換成為行最簡形矩陣B根據(jù)性質(zhì)1，存在初等矩陣Q1, Q2, , Ql , 使得B 可逆B 為單位矩陣其中注意 此時，B 為行最簡形矩陣，具有n 個非零行第39頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例如第40頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五推論 方陣 A 可逆的充要條件是 .定理1 設(shè)有矩陣Amn 與 Bmn，那么 （1） 的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P ，使 PA = B ；（2） 的充要條件是存在 n 階可逆矩陣 Q ，使AQ = B；（3） 的充要條件是存在m 階可逆矩陣 P 及n 階可逆矩陣 Q，使得PAQ = B .初等行變換

12、初等行變換初等行變換 證 (1)第41頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五四、初等變換的應(yīng)用第42頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五 解例 1第43頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第44頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五初等行變換所以第45頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例 2解第46頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第47頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第48頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五行變換

13、列變換第49頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例 4 求解線性方程組解 將方程組寫成矩陣形式 A x = b ，則增廣矩陣為第50頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五因為A E，故A 可逆，于是線性方程組有解，且解為r注意：本題在第二章例16（P .45）用克拉默法則與逆矩陣求解過。比較而言，此種方法較為簡便快捷，尤其針對變量多、方程多時，更具優(yōu)越性?；蛘?，利用“初等行變換不改變方程組的解”原理，得第51頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五2 矩陣的秩第52頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五一、矩陣秩的

14、概念定義4：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式顯然，mn 矩陣 A 的不同 k 階子式共有 個概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式3 階子式第53頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣 A 的一個 2 階子塊矩陣 A 的一個 2 階子式第54頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五三階子式（行列式）子塊/分塊矩陣a22= 5 的余子式a22= 5

15、的代數(shù)余子式第55頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五矩陣 A 的一個 3 階子式矩陣 A 的 2 階子式 如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個 3 階子式也等于零 那么，如果有一個 2 階子式不等于零呢？第56頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定義5：設(shè)矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A)規(guī)定：零矩陣的秩等于零但是，A 的4個3階子式全部等于零！所以，R (A ) = 2第57頁，共105頁，2

16、022年，5月20日，9點20分，星期五根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個 r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩r 就是 A 中非零子式的最高階數(shù)第58頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù) 顯然，若矩陣 A 中有某個 s 階子式不等于零，則 R(A) s ；若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 R(A) t 若 A

17、 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個，即|A| 當(dāng)|A|0 時， R(A) = n ;可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣當(dāng)|A| = 0 時， R(A) n ;不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣若 A 為 mn 矩陣，則 0 R(A) min(m, n) R(AT) = R(A) 第59頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五矩陣 A 的一個 2 階子式矩陣 AT 的一個 2 階子式所以，AT 的子式與 A 的子式對應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A) 證明 R(AT) = R(A) 第60頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例5：求矩

18、陣 A 和 B 的秩，其中解：在 A 中，2 階子式 A 的 3 階子式只有一個，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 二、矩陣秩的計算第61頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例5（續(xù)）：求矩陣 A 和 B 的秩，其中解（續(xù)）：B 是一個行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此其 4 階子式全為零以非零行的第一個非零元為對角元的 3 階子式 ，因此 R(B) = 3 還存在其它3 階非零子式嗎？第62頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例5（續(xù)）：求矩陣 A 和 B 的秩，其中解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形

19、矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)第63頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例6：求矩陣 A 的秩，其中 分析：在 A 中，2 階子式 A 的 3 階子式共有 (個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的后面解決第64頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的 .行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？第65頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定理2：若 A B，則 R(A) = R(B) 證明思路：證明

20、 A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則 R(A) R(B) B 也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?A，則 R(B) R(A)，于是 R(A) = R(B) 經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變設(shè) A 經(jīng)過初等列變換變?yōu)?B，則 AT 經(jīng)過初等行變換變?yōu)?BT ，從而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) 第66頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A) R(B) 證明：設(shè) R(A) = r ，且 A 的某個 r 階子式

21、 D 0 當(dāng) 或 時，在 B 中總能找到與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，從而 R(B) r 當(dāng) 時，只需考慮 這一特殊情形第67頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五證明（續(xù)）：分兩種情形討論：(1) D 中不包含 A的第一行 這時 D 也是 B 的 r 階非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含 A的第一行 這時 B 中與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 為第68頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五若p = 2，則 D2 = 0，D = D1 0 ，從而 R(B) r

22、 ；若p 2，則 D1kD2 = D 0 ，因為這個等式對任意非零常數(shù) k 都成立，所以 D1、D2 不同時等于零，于是 B 中存在 r 階非零子式 D1 或 D2，從而 R(B) r ，即R(A) R(B) 第 2 步： 根據(jù)第1步的證明，反過來 B 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?A，則R(B) R(A) 第69頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。例6（續(xù)）：求矩陣A 的秩，并求 A 的一個最高階非零子式。于是，經(jīng)過一次初等變換，R(A) = R(B). 故經(jīng)過

23、有限次初等變換，也有R(A) = R(B) 成立. 第70頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五解：第一步，先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣。行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 第二步，求 A 的最高階非零子式。選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列，與之對應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、二、四列第71頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五R(A0) = 3，計算 A0的前 3 行構(gòu)成的子式因此這就是 A 的一個最高階非零子式第72頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五分析：對 B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，

24、設(shè) B 的行階梯形矩陣為 ，則 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從中同時看出R(A)及 R(B) 例7：設(shè) ，求矩陣 A 及矩陣B = (A, b) 的秩解：R(A) = 2R(B) = 3第73頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五若 A 為 mn 矩陣，則 0 R(A ) min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，則 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B) R(A, B) R(A)R(B) 特別地，當(dāng) B = b 為非零列向量時，有R(A) R(A, b) R(A)1 R(AB) R(A)R(

25、B) R(AB) minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，則 R(A)R(B) n 矩陣的秩的性質(zhì)第74頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五證明 maxR(A), R(B) R(A, B) R(A)R(B) 特別地，當(dāng) B = b 為非零列向量時，有R(A) R(A, b) R(A)1 證 因為A的最高階非零子式一定是(A, B)的非零子式，所以R(A) R(A, B)，同理 R(B) R(A, B) . 兩者結(jié)合起來，有 MaxR(A), R(B) = R(A, B) 設(shè)R(A) = r，R(B) = t . 把AT和BT分別作初等行變換化成行階梯型矩陣

26、 和 . 因為矩陣和它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等，故 和 分別含 r 個和 t 個非零行，從而 中的非零行不大于 r + t . 又因為第75頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第76頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五證明 R(AB) R(A)R(B) 即得 設(shè)A和B是m n 矩陣，對矩陣 作初等行變換證于是第77頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例8：設(shè) A 為 n 階矩陣， 證明 R(AE)R(AE) n 證明：因為 (AE) (EA) = 2E， 由性質(zhì)“R(AB) R(A)R(B) ” 有R(AE)R(EA) R(2E) =

27、 n 又因為R(EA) = R(AE)，所以R(AE)R(AE) n(E - A) (A -E)第78頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例9：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) 因為 R(C) = R(PC)，而 ，所以解：因為 R(A) = n， 所以 A 的行最簡形矩陣為設(shè) m 階可逆矩陣 P ，滿足于是故R(B) = R(C)第79頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五附注：當(dāng)一個矩陣的秩等于它的列數(shù)時，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣特別地，當(dāng)一個矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣因此，本例

28、的結(jié)論當(dāng) A 為方陣時，就是性質(zhì) 本題中，當(dāng) C = O，這時結(jié)論為：設(shè) AB = O，若 A 為列滿秩矩陣，則 B = O 反證法第80頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五3 線性方程組的解第81頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五一般形式 矩陣方程的形式方程組可簡化為 AX = b 增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式第82頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五線性方程組的解的判定設(shè)有 n 個未知數(shù) m 個方程的線性方程組 線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解，就稱它是不相容的問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解

29、，則解是否唯一？問題3：若方程組有解且不唯一，則如何確定所有的解？ m、n 不一定相等！第83頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五定理3：n 元線性方程組 Ax = b無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ；有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n 分析：只需證明條件的充分性，即R(A) R(A, b) 無解；R(A) = R(A, b) = n 唯一解；R(A) = R(A, b) n 無窮多解那么無解 R(A) R(A, b) ；唯一解 R(A) = R(A, b) = n

30、；無窮多解 R(A) = R(A, b) n 由矩陣的秩判斷方程組的解第84頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第一，往證 R(A) R(A, b) 無解若 R(A) R(A, b) ，則 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行對應(yīng)矛盾方程 0 = 1，故原線性方程組無解證明：設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，不妨設(shè) B = (A, b) 的行最簡形矩陣為第85頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第二，往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解若 R(A) = R(A, b) = n，則 dr+1 = 0 且 r = n， 從而 bij

31、都不出現(xiàn)。故原線性方程組有唯一解對應(yīng)的線性方程組為n00第86頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第三，往證 R(A) = R(A, b) n 無窮多解若 R(A) = R(A, b) n ，即 r n， 則 dr+1 = 0 . 對應(yīng)的線性方程組為第87頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五令 xr+1, , xn 作自由變量，則 再令xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則 線性方程組的通解第88頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例10：求解非齊次線性方程組解：R(A) = R(A, b) =

32、 3 4，故原線性方程組有無窮多解第89頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五即得與原方程組同解的方程組令 x3 做自由變量，則令 x3 = c , 原方程組的通解可表示為 第90頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例11：求解非齊次線性方程組解：因為 R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無解第91頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例12：求解齊次線性方程組提問：為什么只對系數(shù)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃?？答：因為齊次線性方程組 AX = 0 的常數(shù)項都等于零，于是必有 R(A, 0) = R(

33、A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況第92頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第93頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五令 x3 = c1, x4 = c2通解第94頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五例13：設(shè)有線性方程組問 l 取何值時，此方程組有(1) 唯一解；(2) 無解；(3) 有無限多個解？并在有無限多解時求其通解第95頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣第96頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五附注：對含參數(shù)的矩陣作初等變換時，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情況另作討論 第97頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù) l 取何值時，r2 、r3 是非零行在 r2 、r3 中，有 5 處地方出現(xiàn)了l ，要使這 5 個元素等于零， l = 0，3，3，1 實際上沒有必要對這 4 個可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手第98頁，共105頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五于是當(dāng) l 0 且 l 3 時，R(A) =