新教材人教A版選擇性必修第三冊(cè)-6.2.3-4-組合-組合數(shù)-學(xué)案

1、 PAGE PAGE 206.2.3組合6.2.4組合數(shù)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一組合的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素_，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 eq avs4al(狀元隨筆) (1)組合的特點(diǎn)：組合要求n個(gè)元素是不同的，取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出(2)組合的特性：元素的無(wú)序性取出的m個(gè)元素不講究順序，即元素沒(méi)有位置的要求(3)根據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合的元素完全相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合；如果兩個(gè)組合的元素不完全相同，那么這兩個(gè)組合就是不同的組合要點(diǎn)二組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)

2、元素的所有不同組合的_，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的_，用符號(hào)_表示 eq avs4al(狀元隨筆) 1.同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個(gè)不同的概念例如，從3個(gè)不同的元素a，b，c中取出2個(gè)元素的所有組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫做一個(gè)組合，即組合不是數(shù)，而是完成一件事的一種方法，而該問(wèn)題的組合數(shù)為3，是一個(gè)數(shù)字2.我們可以從集合的角度理解組合數(shù)的概念例如，從3個(gè)不同的元素a，b，c中任取2個(gè)的所有組合構(gòu)成的集合為Aab，ac，bc，則組合數(shù)即為集合A的元素個(gè)數(shù)3.符號(hào)C eq oal(sup1(m),sdo1(n) 是一個(gè)整體，n，m均為

3、正整數(shù)，且mn.2.組合數(shù)公式：C eq oal(sup1(m),sdo1(n) eq f(A eq oal(sup1(m),sdo1(n) ,A eq oal(sup1(m),sdo1(m) ) _(n，mN*，且mn).教材答疑教材P22思考(1)是組合問(wèn)題；(2)是排列問(wèn)題基礎(chǔ)自測(cè)1.判斷正誤(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“”)(1)從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是C eq oal(sup1(2),sdo1(3) .()(2)從a、b、c、d中選取2個(gè)合成一組，其中a、b與b、a是同一個(gè)組合()(3)“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)合成一組”，叫做“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)

4、的組合數(shù)”()(4)組合和排列一樣，都與“順序”有關(guān)()2.(多選題)下列問(wèn)題中是組合問(wèn)題的是()A從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參加兩個(gè)社區(qū)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法？B從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法？C3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？D3本相同的書(shū)分給5名同學(xué)，每人一本，有多少種分配方法？3.A eq oal(sup1(2),sdo1(4) C eq oal(sup1(2),sdo1(3) ()A9 B8 C7 D64.現(xiàn)有6名黨員，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為_(kāi)題型一組合數(shù)的相關(guān)計(jì)算師生共研例1解方程：(1)C eq

5、 oal(sup1(x1),sdo1(13) C eq oal(sup1(2x3),sdo1(13) ；(2)C eq oal(sup1(x2),sdo1(x2) C eq oal(sup1(x3),sdo1(x2) eq f(1,10) A eq oal(sup1(3),sdo1(x3) .方法歸納進(jìn)行組合數(shù)的相關(guān)計(jì)算時(shí)，注意以下幾點(diǎn)：(1)像排列數(shù)公式一樣，公式C eq oal(sup1(m),sdo1(n) eq f(n（n1）（n2）（nm1）,m！) 一般用于計(jì)算，而公式C eq oal(sup1(m),sdo1(n) eq f(n！,m?。╪m）！) 及C eq oal(sup1(

6、m),sdo1(n) eq f(A eq oal(sup1(m),sdo1(n) ,A eq oal(sup1(m),sdo1(m) ) 一般用于證明、解方程(不等式)等(2)要注意公式A eq oal(sup1(m),sdo1(n) C eq oal(sup1(m),sdo1(n) A eq oal(sup1(m),sdo1(m) 的逆向運(yùn)用(3)對(duì)于含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題，只需根據(jù)組合數(shù)公式的連乘形式或階乘形式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含組合數(shù)的方程或不等式問(wèn)題但在求出結(jié)果后應(yīng)注意驗(yàn)證能不能使組合數(shù)有意義，既要保證組合數(shù)C eq oal(sup1(m),sdo1(n) 中下標(biāo)n大于或等于該組

7、合數(shù)的上標(biāo)m，又要保證n，m均為正整數(shù)跟蹤訓(xùn)練1(1)7C eq oal(sup1(3),sdo1(6) 4C eq oal(sup1(4),sdo1(7) 的值為_(kāi)(2)若C eq oal(sup1(10),sdo1(n) C eq oal(sup1(8),sdo1(n) ，則C eq oal(sup1(n),sdo1(20) ()A380 B190C18 D9題型二組合的應(yīng)用微點(diǎn)探究微點(diǎn)1“至多”與“至少”問(wèn)題例2(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片最多一張，不同取法的種數(shù)為()A232 B252 C472

8、D484(2)現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，任意抽出3件檢查，至少有1件是次品的抽法有_種方法歸納“至多”“至少”問(wèn)題的常用解題方法有兩種：(1)直接分類(lèi)法，注意分類(lèi)要細(xì)、要全；(2)間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏微點(diǎn)2“含”與“不含”問(wèn)題例3在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，各有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加方法歸納“含”或“不含”是組合應(yīng)用的常見(jiàn)題型其解法一般為直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步

9、計(jì)數(shù)必要時(shí)，還需對(duì)元素進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)題目中的元素分類(lèi)后，要弄清被取出的元素“含有”哪一類(lèi)，“含有”多少個(gè)，或者對(duì)于某個(gè)特殊元素，被取出的元素中含不含這個(gè)特殊元素，這是解題的關(guān)鍵當(dāng)用直接法分類(lèi)較多時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略跟蹤訓(xùn)練2從六位同學(xué)中選出四位參加一個(gè)座談會(huì)，要求小張、小王兩名同學(xué)中至多有一個(gè)人參加，則不同選法的種數(shù)為()A9 B14 C12 D15題型三排列與組合的綜合問(wèn)題微點(diǎn)探究微點(diǎn)1先選后排問(wèn)題例4(1)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有不同的選法種數(shù)為()A. 420 B. 660 C. 8

10、40 D. 880(2)用數(shù)字1，2，3，4，5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)方法歸納解決先選后排問(wèn)題時(shí)，應(yīng)遵循三大原則：(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類(lèi)后分步微點(diǎn)2分配問(wèn)題例5把6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本方法歸納對(duì)于不等分組，只需將元素按要求依次分配給每個(gè)對(duì)象即可跟蹤訓(xùn)練36名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3

11、名，則不同的安排方法共有()A120種 B90種C60種 D30種易錯(cuò)辨析忽略元素?zé)o序，造成計(jì)數(shù)重復(fù)例65本不同的書(shū)全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少一本，不同的分法種數(shù)為_(kāi)解析：先把5本書(shū)分成4堆，然后分給4名同學(xué)第1步，從5本書(shū)中任意取出2本捆綁成一個(gè)整體，有C eq oal(sup1(2),sdo1(5) 種方法第2步，把4堆書(shū)分給4名同學(xué)，有A eq oal(sup1(4),sdo1(4) 種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的分法種數(shù)為C eq oal(sup1(2),sdo1(5) A eq oal(sup1(4),sdo1(4) 240.答案：240【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因解答此題時(shí)易得到如

12、下錯(cuò)解：先從5本書(shū)中取4本分給4名同學(xué)，有A eq oal(sup1(4),sdo1(5) 種方法，剩下的1本書(shū)可以給任意一名同學(xué)，有4種分法，不同的分法種數(shù)為4A eq oal(sup1(4),sdo1(5) 480.該解題過(guò)程中出現(xiàn)了重復(fù)選取的情況設(shè)5本書(shū)分別為a，b，c，d，e，4名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能有如下的表1和表2：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書(shū)e給甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書(shū)a給甲從結(jié)果上看以上兩種情況是完全相同的，而在計(jì)數(shù)時(shí)把它們當(dāng)成了不同的情況，造成重復(fù)計(jì)數(shù)糾錯(cuò)心得對(duì)于元素?zé)o序的分配問(wèn)題，一

13、般不能采用分步計(jì)數(shù)，而是采取先選后排的方法，即可避免重復(fù)計(jì)數(shù) eq x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（四）) 62.3組合62.4組合數(shù)新知初探課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一作為一組要點(diǎn)二1個(gè)數(shù)組合數(shù)C eq oal(sup1(m),sdo1(n) 2. eq f(n（n1）（n2）（nm1）,m！) eq f(n！,m?。╪m）！) 基礎(chǔ)自測(cè)1(1)(2)(3)(4)2解析：AC與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；BD與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題故選BD.答案：BD3解析：A eq oal(sup1(2),sdo1(4) C eq oal(sup1(2),sdo1(3) 4339.故選A.答案：A4解析：由題意得，不同選法的種數(shù)

14、為C eq oal(sup1(2),sdo1(6) 15.答案：15題型探究課堂解透題型一例1解析：(1)由原方程得x12x3或x12x313，由 eq blc(avs4alco1(0 x113，,02x313，,xN*，) 得2x8且xN*.故原方程的解為x4或x5.(2)原方程可化為C eq oal(sup1(x2),sdo1(x3) eq f(1,10) A eq oal(sup1(3),sdo1(x3) ，即C eq oal(sup1(5),sdo1(x3) eq f(1,10) A eq oal(sup1(3),sdo1(x3) ， eq f(（x3）！,5?。▁2）！) eq f(

15、（x3）！,10 x！) ， eq f(1,120（x2）！) eq f(1,10 x（x1）（x2）！) ，x2x120，解得x4或x3.經(jīng)檢驗(yàn)，x4是原方程的解跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)7C eq oal(sup1(3),sdo1(6) 4C eq oal(sup1(4),sdo1(7) 7 eq f(654,321) 4 eq f(7654,4321) 0.(2)C eq oal(sup1(10),sdo1(n) C eq oal(sup1(8),sdo1(n) ，n18，C eq oal(sup1(n),sdo1(20) C eq oal(sup1(18),sdo1(20) C eq oa

16、l(sup1(2),sdo1(20) eq f(2019,21) 190.故選B.答案：(1)0(2)B題型二例2解析：(1)方法一：本題的解題關(guān)鍵是抓住有無(wú)紅色卡片來(lái)討論若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有C eq oal(sup1(1),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(4) 64種取法；若2張同色，則有C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(2) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),

17、sdo1(4) 144種取法若紅卡片有1張，剩余2張不同色，則有C eq oal(sup1(1),sdo1(4) C eq oal(sup1(2),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(4) 192種取法；剩余2張同色，則有C eq oal(sup1(1),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) 72種取法，故共有6414419272472種取法故選C.方法二：從16張不同的卡片中任取3張，共有C eq oal(sup1(3),sdo1(16) 種

18、取法，其中有兩張紅色的有C eq oal(sup1(2),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(12) 種取法，三張卡片顏色相同的有C eq oal(sup1(3),sdo1(4) 4種取法所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法有C eq oal(sup1(3),sdo1(16) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(12) C eq oal(sup1(3),sdo1(4) 4472種故選C.(2)方法一(直接法)分兩類(lèi)：第1類(lèi)，抽出1件次品，抽法種數(shù)為C eq oal(sup1(1),sdo1(

19、2) C eq oal(sup1(2),sdo1(8) ；第2類(lèi)，抽2件次品，抽法種數(shù)為C eq oal(sup1(2),sdo1(2) C eq oal(sup1(1),sdo1(8) .由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，不同的抽法種數(shù)為C eq oal(sup1(1),sdo1(2) C eq oal(sup1(2),sdo1(8) C eq oal(sup1(2),sdo1(2) C eq oal(sup1(1),sdo1(8) 56864.方法二(間接法)從10件產(chǎn)品中任取3件的抽法有C eq oal(sup1(3),sdo1(10) 種，不含次品的抽法有C eq oal(sup1(3),sdo1

20、(8) 種，所以至少有1件是次品的抽法種數(shù)為C eq oal(sup1(3),sdo1(10) C eq oal(sup1(3),sdo1(8) 64.答案：(1)C(2)64例3解析：(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(5),sdo1(12) 792.(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(2),sdo1(9) 36.(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需要從另外的9人中選5人，不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(5),sdo1(9) 126.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參

21、加，可分兩步：第1步，從甲、乙、丙中選1人，有C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 種選法；第2步，從另外9人中選4人，有C eq oal(sup1(4),sdo1(9) 種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(4),sdo1(9) 378.跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一(直接法)分兩類(lèi)：第1類(lèi)，小張、小王兩名同學(xué)都不參加，有C eq oal(sup1(4),sdo1(4) 種選法；第2類(lèi)，小張、小王兩名同學(xué)中只有一人參加，有C eq oal(sup1(1),sdo1(2) C eq oal(sup1(3

22、),sdo1(4) 種選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(4),sdo1(4) C eq oal(sup1(1),sdo1(2) C eq oal(sup1(3),sdo1(4) 9.方法二(間接法)不同的選法種數(shù)為C eq oal(sup1(4),sdo1(6) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) 9.答案：A題型三例4解析：(1)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，共有A eq oal(sup1(2),sdo1(8) C eq oal(sup1(2),sdo1(6) 840種選法，其中不含女生的有A

23、 eq oal(sup1(2),sdo1(6) C eq oal(sup1(2),sdo1(4) 180種選法，所以服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生的選法種數(shù)為840180660.故選B.(2)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)可分為以下兩類(lèi)：第1類(lèi)，個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)，即個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字由2，4，6構(gòu)成，共有A eq oal(sup1(3),sdo1(3) 種排法千位數(shù)字只能從1，3，5中選，所以有C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 種選法故本類(lèi)包含A eq oal(sup1(3),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 個(gè)數(shù)第2

24、類(lèi)，個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，先選出這個(gè)偶數(shù)有C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 種選法，然后選2個(gè)奇數(shù)，有C eq oal(sup1(2),sdo1(3) 種選法，將3個(gè)數(shù)排序得到四位數(shù)的個(gè)位、十位和百位，有A eq oal(sup1(3),sdo1(3) 種排法最后選千位數(shù)字，從余下的3個(gè)數(shù)中選，有C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 種選法故本類(lèi)包含C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(2),sdo1(3) A eq oal(sup1(3),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(3

25、) 個(gè)數(shù)綜上，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，滿(mǎn)足題意的四位數(shù)共有A eq oal(sup1(3),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(3) C eq oal(sup1(2),sdo1(3) A eq oal(sup1(3),sdo1(3) C eq oal(sup1(1),sdo1(3) 180(個(gè)).答案：(1)B(2)180例5解析：(1)第一步，從6本不同的書(shū)中選2本書(shū)分配給甲，有C eq oal(sup1(2),sdo1(6) 種方法；第二步，從剩下的4本不同的書(shū)中選2本分配給乙，有C eq oal(sup1(2),sdo1(4) 種方法；第三