空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

1、空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系一、平面1.平面的概念：平面是一個(gè)不加定義，只需理解的原始概念立體幾何里所說的的平面是從現(xiàn)實(shí)生活中常見的平面抽象出來的常見的桌面、平靜的水面等都給我們以平面的局部形象平面是理想的、絕對(duì)的平且無大小，無厚度，不可度量2.平面的表示方法：(1)一個(gè)平面： 當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的2倍長，如右圖(2)兩個(gè)相交平面：畫兩個(gè)相交平面時(shí)，通常要化出它們的交線，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如下圖） 3. 運(yùn)用集合觀點(diǎn)準(zhǔn)確使用圖形語言、符號(hào)語言和文字語言空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面從運(yùn)動(dòng)的觀

2、點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此還可借用集合中的符號(hào)語言來表示點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形語言符號(hào)語言文字語言（讀法）點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)不在平面內(nèi)直線、交于點(diǎn)直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點(diǎn)直線與平面交于點(diǎn)平面、相交于直線二、平面的基本性質(zhì)1. 公理1 如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)推理模式： 如圖示：或者：，公理1的作用：判定直線是否在平面內(nèi)；判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)；檢驗(yàn)面是否是平面2. 公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推理模式：與重合或者：不共線，存在唯一的平面，使得. 推論1：經(jīng)過一條直

3、線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 (1)以上是確定平面的四個(gè)不同的條件，是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù)(2)“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解這里的“有”是說圖形的存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證2. 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線推理模式： 如圖示： 或者：，公理3的作用：(1)判斷兩個(gè)平面是否相交及交線位置；(2)判斷點(diǎn)是否在線上1、證明空間三點(diǎn)共線

4、問題通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上，即先確定出某兩點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，再證明第三點(diǎn)既在第一個(gè)平面內(nèi)，又在第二個(gè)平面內(nèi)。2、 證明空間三線共點(diǎn)可把其中一條作為分別過其余兩條的兩個(gè)平面的交線，然后再證明另兩條直線的交點(diǎn)在此直線上。3、 證明空間幾點(diǎn)共面問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其他各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)三、空間兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)四、平行直線1. 公理4 平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行 推理模式：(1)它是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)；

5、 (2)它說明平行關(guān)系具有傳遞性2.等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)五、異面直線1. 定義： 不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線 (1)異面直線既不平行，也不相交，永遠(yuǎn)不存在一個(gè)平面能同時(shí)包含這兩直線； (2)不能把異面直線誤認(rèn)為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線 (3)異面直線一般是對(duì)兩條直線而言的，沒有三條異面直線的說法2異面直線的畫法 畫異面直線時(shí)，為了充分顯示不共面的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面為襯托，以加強(qiáng)直觀性 3異面直線判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 推理模式：直線與直線是異面直線

6、六、異面直線所成的角1. 定義：已知，是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作直線，我們把直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線，所成的角(1)異面直線所成的角與點(diǎn)的位置無關(guān)(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直，記作(3)異面直線所成角的范圍是2. 求異面直線所成角的步驟（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，由平移構(gòu)造出一個(gè)交角；（2）證平行關(guān)系成立；（3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；（4）作結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是所求異面直線所成的角七、直線、平面的位置關(guān)系1空間直線與平面的位置關(guān)系有以下三種：(1)直線在平面內(nèi)：如果

7、一條直線a與平面有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)，記作a.(2)直線與平面相交：直線a與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)A，叫做直線與平面相交，記作aA，公共點(diǎn)A叫做直線a與平面的交點(diǎn)(3)直線與平面平行：如果一條直線a與平面沒有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平行，記作a.2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有一下兩種：(1)兩個(gè)平面平行-沒有交點(diǎn)(2)兩個(gè)平面相交-有一條公共直線3.順次連接不共面的四點(diǎn)A、B、C、D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形這四個(gè)點(diǎn)中的各個(gè)點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連接的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的對(duì)角線一、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)

8、數(shù)圖形語言符號(hào)語言直線在平面內(nèi)無數(shù)個(gè)直線在平面外直線與平面相交只有一個(gè)直線與平面平行沒有2、 直線和平面平行 1.定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面平行 2.判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 推理模式： 特別說明： 1、定理中的三個(gè)條件缺一不可 2、該定理的作用：證明線面平行 3、該定理可簡記為“線線平行，則線面平行”3. 性質(zhì)定理 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行 推理模式 特別說明： 1、定理中的三個(gè)條件缺一不可 2、該定理的作用：證明線線平行 3、該定理可簡

9、記為“線面平行，則線線平行”三、平面和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有一條公共直線符號(hào)表示圖形表示四、平面與平面平行 1.兩平面互相平行的定義 如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行 2.兩平面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行推理模式：簡言之：線面平行面面平行推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行 3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì) 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行 推理模式：簡言之：面面平行線線平行 特別說明：平面與平面平行的其它性質(zhì)（1）兩個(gè)平面平行，

10、其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面（2）夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等（3）經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知平面平行（4）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例一、直線與平面垂直1.如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互垂直2.如果一條直線(AB)和一個(gè)平面()相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫做垂足垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段垂線段的長度叫做這點(diǎn)到平面的距離3.直線和平面垂直的判定4.(1)

11、判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面符號(hào)語言：la，lb，abA，a，bl，如圖： (2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面符號(hào)語言：ab，a b，如圖：5直線與平面垂直的性質(zhì)(1)性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行符號(hào)語言：a，b ab，如圖：(2)一條直線垂直于一個(gè)平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直符號(hào)語言：a，bab，如圖：6設(shè)P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P在內(nèi)的射影(1)若PAPBPC，則O為ABC的外心特別地當(dāng)C90時(shí)，O為斜邊AB中點(diǎn)(2)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為ABC的垂心(3)若P到ABC三邊距離相等，則O為ABC的內(nèi)心7(1)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(2)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直3、 直線和平面平行 1平面與平面垂直的定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直平面、互相垂