空間立體幾何點(diǎn)線面判斷與證明

1、常州知典教育一對一教案學(xué)生：年級：學(xué)科：數(shù)學(xué) 授課時間： 月 日授課老師：趙鵬飛空間立體幾何點(diǎn)線面判斷與證掌握空間立體幾何中的點(diǎn)線面之間的關(guān)系，平行，相交，垂直，異面，重合等等，（教學(xué)目面面 平行等方法和步驟了解關(guān)于幾何體中一些基本的計算和比值及證明面面垂直到程度15%比導(dǎo)致證明失分使用性質(zhì)時沒有給出應(yīng)有的條證明時對判斷的方法出現(xiàn)錯誤思維學(xué)生薄弱點(diǎn)導(dǎo)致扣分，計算的失誤使得自己失分內(nèi)上次作業(yè)完成情況優(yōu)良中差課前檢考向1空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷1 .平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用教公理1：證明“點(diǎn)在面內(nèi)”或“線在面內(nèi)”.學(xué)（2）公理2及三個推論：證明兩個平面重合，用來確定一個平面或證明“點(diǎn)線 共.面”

2、過（3）公理3：確定兩個面的交線，尤其是畫截面圖或補(bǔ)體時用到，證明“三點(diǎn)共程線”“三線共點(diǎn)”.講 義要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個平部分面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.2.直線與直線直線與平面平面與平面直線與直線直線與平面平面與平面相交關(guān)系獨(dú)有關(guān)系(1)已知m, n表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是若 ma，na，貝。mn若 ma， n? a，貝。mn若 ma， mn，貝。na若 ma，mn，貝。na(2)下列命題正確的是()若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行若一個平面內(nèi)有三個

3、點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【解析】(1)對于選項(xiàng)A , m與n還可以相交或異面；a； ?對于選項(xiàng)C，還可 以是na或 n與a相交.n，還可以是na或？對于選項(xiàng)D(2)對于命題A，這兩 條直線可以相交或?yàn)楫惷嬷本€，.A錯誤；對于命題B，這兩個平面可以相交，.B錯誤；對于命題D，這兩個平面還可能相交，.D錯誤；而由線面平行的性質(zhì)定理可證C正確.故選C.【答案】(1)B (2)C【點(diǎn)撥】解題(1)根據(jù)空間線面、面面、線線平行的判定與性質(zhì)、垂直的判定時 要注意充分利(2)解題注意

4、空間位置關(guān)系的各種可能情況.與性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷， 用正方體(或長方體)模型輔助空間想象.而四易3解決空間位置關(guān)系問題的方法解決空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的問題，首先要明確空間位置關(guān)系的定義然 后通過轉(zhuǎn)化的方法，把空間中位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決解決位置關(guān)系問題時，要注意幾何模型的選取，如利用頁長)方體模型來解決 問題.考向2異面直線所成的角1 .兩條異面直線所成的角過空間任意一點(diǎn)分別引兩條異面直線的平行直線，那么這兩條相交直線所成的n? ,則。銳角或直角叫作這兩條異面直線所成的角.若記這個角為。，02?2.判定空間兩條直線是異面直線的方法判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不

5、經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.反證法：證明兩直線平行、相交不可能或證明兩直線共面不可能，從而可得 兩直線異面.(2014 大綱全國，4)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()13A. B. 6613C. D. 33 兩 B，A 內(nèi)，B 在面 ABCD。，菱形 60 的大小為 B-MN- a如圖，已知二面角(2).點(diǎn)在棱MN上，/BAD = 60，E是AB的中點(diǎn)，DOL面a，垂足為O.證明人上平OD求異面直BO所成角的余弦值解(1如圖，A的中，連CE,EB.NCEF即為異面直線CE與BD所成的角.-CE3由余1設(shè)正四面體的棱長為2 ,則CE = CF = 3

6、 , EF = BD= 1. 2-CE3由余弦定理得cosZCEF = . 62CE-EF3.CE與BD所成角的余弦值為.故選B.6aa ,.DO?AB.DO(2)證明：如圖廣.，AB連接BD，由題設(shè)知，ABD是正三角形.又E是AB的中點(diǎn)，.DEAB.而DOE而DOEDE = D，古攵AB平面ODE.因?yàn)锽CAD所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即匕ADO所 成的角. OD與BC是異面直線由知AB1平面ODE所以ABXOE.又 DEXAB于是ZDEO是二面角a-MN-B的平面角，從而ZDEO = 60.不妨設(shè)AB = 2，貝U AD = 2.易知DE = 3.RDO中DDsin 6

7、D連A , RAO中coADA古攵異面直BO所成角的余弦值點(diǎn)解(1 的關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)作出異面直線的平行線解(2時注意異面直線所成的角歸 結(jié)到-個三角形里.特別為直角三角形SS3ESO求異面直線所成角的方法作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對于異面直線所成的角，可固定一條、平移一 條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上.證：證明作出的角為所求角.求：把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形求空間角.e 注意兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可 能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.考向3線面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

8、 文字語言圖形語言符號語言判不在平面內(nèi)的一條直線與a?l?此平面內(nèi)的一條直線平行，定？ al?a?a簡定 則該直線與此平面平行(？ al )線面平行? 記為線線平行理.一條直線與一個平面平行，性則過這條直線的任一平面aa?質(zhì)？ b?aBa與此平面的交線與該直線？平簡記為線面平線平行直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理中的三個條件缺一不可；線面平行的性質(zhì) 定理可以作為線線平行的判定方法.(2014 -北京，17 , 14分)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)棱垂直E, F分111 于底面，ABBC, AA=AC = 2, BCE, F分別是AC, BC的中點(diǎn).111(1)求證：平面ABE平面BBC

9、C； 11(2)求證：CF 平面ABE； 1(3)求三棱錐E-ABC的體【思路導(dǎo)引】(1)利用已知條件轉(zhuǎn)化為證明AB平面BBCC； (2)取AB的中11 點(diǎn)G,構(gòu)造四邊形FGEC,證明其為平行四邊形，從而得證；(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)代 入1公式計算即可.【解析】(1)證明：在三棱柱ABC-ABC中BB底面ABC.山所以BBAB. 1 ,BCXAB又因?yàn)樗訟B平面BBCC. 11所以平面ABE平面BBCC. 2)證明：如圖，取AB中點(diǎn)中點(diǎn)6,連接EG , FG.因分別AB的中點(diǎn)所FA , FA因A, A的中點(diǎn)所FE , FE所以四邊FGE為平行四邊形所E又因E平AB平AB所11平AB(3因AABA

10、B3AB所A所以三棱AB的體1113V=S-AA= XX3X1X2 = .1ABC3233 1.證明線面平行問題的思路(一)作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線；證明線線平行；根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.證明線面平行問題的思路(二)在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面；利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平 行；證明所作平面與所證平面平行；轉(zhuǎn)化為線面平行.(2013 -江蘇，18 , 13分)如圖，在邊長為1的等邊三角形ABC中，ABF將.G交于點(diǎn)DE與AF的中點(diǎn)，BC是F, AE=AD上的點(diǎn)，AC, AB分別是E, D.2沿AF折起，得到如圖所

11、示的三棱錐A-BCF,其中BC = .2(1)證明：。平面BCF；(2證明平AB(3A時，求三棱DE的體積3解(1證明：在等邊三角AB中AAAA，在折疊后的三棱BC中也成立EDB.LDEIIBC. .DE?平面BCF , BC?平面BCF ,.DEII 平面 BCF.證明：由圖，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AFBC，在三棱錐中仍有AFXCF ,1BF = CF = . 22L在三棱錐 A-BCF 中，BC =, 2222 , CF = BF+ aBCaCFBF.又 VBFAAF = F ,ACF平面 ABF.由(1)可知GECF，結(jié)合(2)可得GEL平面DFG.V = V = VDF

12、GEDEGF11= X EG-FG-DG-23 .1111?31?XXX = XX323332?3 = .32考面面平行的判定與性平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定 文字語圖形語符號語一個平面內(nèi)的兩條相交判ab?則這定 線與另一個平面平行，? Ba?一個平面內(nèi)的兩條相交判ab?則這定 線與另一個平面平行，? Ba?Panb =簡記為線面兩個平面性如果兩個平行平面同時和aB ?質(zhì)？?ab ayan=那么它們第三? ?平行(定 B a)?理 平行面面平行B b個平面相交，定？b=ynB的交線平行 理的底面是正方形，的底面是正方形，DC如圖，四棱柱ABCDX底面0=中心，AAB, AA=u 平面BDA

13、證明：平面(1)BCD；(2)求三棱柱ABD-ABD的體積.山注意平面與平面平行的性質(zhì)定理實(shí)際上給出了判定兩條直線平行的一種方法， 一定是第三個平面與兩平行平面相交，其交線平行.是底面BA-ABCDOABCD 211112.解(1證明：由題設(shè)知BD.四邊B是平行四邊形BB平CB 11平C.AD BC BC, mF.四邊形ABCD是平行四邊形，h-ABIIDC.又AB?平面CDB , 111 ABII 平面 CDB. e 又VBDAAB = B ,平面 ABDII 平面 CDB. 111(2)VAO 平 面 ABCD ,.AO 是三棱柱 ABD-ABD 的高.又 VAO = AC = 1 , A

14、A = 2 ,222 -AO = AA1. =.AO111 又VS= X2X2= 1 , ABD2fi.VABD-ABD = S-AO = 1. 111ABD1【點(diǎn)撥】解題(1)需將面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行， 通利用線面垂直的判的關(guān)鍵是選易求高的底面，(2)解題過取特殊四邊形來完成 證明；定找高.SS3ESO判定面面平行的四個方法利用定義：即判斷兩個平面沒有公共點(diǎn).(2利用面面平行的判定定理利用垂直于同一條直線的兩平面平行.利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面 平行.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線平行面面平仃的性質(zhì)（2014 -十校聯(lián)考，18 , 12

15、分）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，D是111BC上一點(diǎn)，且人日平面ACD, D是BC的中點(diǎn)，求證:平面ABD 平面ACD.11111111證明：如圖，連接AC交AC于點(diǎn)E ,連接ED. J.，四邊形AACC是平行四邊形， h-E 是 AC 的中點(diǎn).AB II 平面 ACD，平面 ABCA平面 ACD = ED , 1111A .ED II的中點(diǎn)，B的中點(diǎn)的中點(diǎn)，B.四邊BD為平行四邊形.BD II CD. 11又ABABD =B , DEADC = D , .平面 ABD II平面 ACD. 111考向5線面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言?判a,b

16、?a 一條直線與平面內(nèi)的兩定Ob=Ea ?la則該條相交直線都垂直，al定 直線與此平面垂直bl理垂直于同一個平面的兩質(zhì)aa ?ab ?ba ?定條直線平行 理上底面PO為中心的菱形，O中，底面是以ABCD-P如圖，四 n 1ABCD，AB = 2，ZBAD=，M 為 BC 上一點(diǎn)，且 BM=.(1證明日上平PO(2MA，求四棱ABM的體積思路導(dǎo)(1由余弦定理、勾股定理等知識先OB，再由線面垂直的判定定理證明； 將底面四邊形ABMO分為ABO與MBO來求面積，根據(jù)(1)中結(jié)果，利用 勾股定理、余弦定理求出PO,代入棱錐的體積公式求解.【解析】(1)證明：如圖，連接OB,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形

17、，O為菱形中心，所以AOXOB.n因?yàn)?BAD=, 3n故 OB = ABsin/OAB = 2sin = 1. 6n1 又因?yàn)?BM=,且 /OBM =, 32222 - 2OB-BM-OB + BMcosZOBMA在 OBM 中，OM = 2n113?2? .cos = X - 2X1 = 1 + X2432?222，故 OMBMBM.所以 OB =OM +又PO底面 ABCD，所以 POBC.又 OM?平面 POM , PO?平面 POM , OMCIPO=O ,所以BC平面POM.n(2)由(1)可得，OA = AB-cosZOAB = 2-cos 3. = 6 .設(shè)PO = a,由P

18、O底面ABCD知，POA為直角三角形，2222 + 3.OA P故A=POa+由POM也是直角三角形，OPPcoAB中ABAABAB如圖連A2co由已MA , AP為直角三角形2PA ,=舍，p此omaoabm四邊AOBO所以四棱ABM的體P.ABMABM1四邊而四&爵* 1.證明直線與平面垂直的一般步驟找與崔：在已知平面內(nèi)找或作兩條相交直線與已知直線垂直.證：證明所找到的或所作的直線與已知直線垂直.用：利用線面垂直的判定定理，得出結(jié)論.2.判定線面垂直的四種方法利用線面垂直的判定定理.利用“兩平行線中的一條與已知平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”.利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則

19、與另一個平面也垂直”(3).利用面面垂直的性質(zhì)定理.考面面垂直的判定與性平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定 文字語圖形語符號語一個平面過另一個平面的一條垂線，?la?定 面互相垂直理性定l? 一個平面過另一個平面的一條垂線，?la?定 面互相垂直理性?相垂直，?質(zhì)P?la 相垂直，?質(zhì)P?la ?l個平面內(nèi)垂直于交線的aEB?=a定直線垂直于另一個平面al理ABC如圖，在三棱錐，江蘇，(2014-1614分)P-AACA的中點(diǎn).已知，分別為棱，EFPCACABPX, P，中，D5.AACA，=BC8DF=，=6 A 直線求證：(1)P平面 DEF；.BDE平面ABC平面(2)再運(yùn)用直線與平面思路

20、導(dǎo)引【】(1)利用三角形中位線的 性質(zhì)找到線線平行，要證線面垂直可平行的判定定理進(jìn)行求證；(2)要證面面垂直可考慮尋找線面垂直，考慮尋找線線垂直，利用勾股定理可證線線垂直.的中點(diǎn)，AC, PCE ,D(1)】【證明因?yàn)榉謩e為棱APDE所以.，DEF平面?DE , DEF平面?AP又因 為 所以直線PA平面DEF.因?yàn)镈 , E , F分別為棱PC , AC , AB的中點(diǎn)，PA=6 , BC = 8，所以DEPA, 11DE = PA=3 , EF = BC = 4. , DED 又因 D 所 DE9, DEAD ,所DA因AEA平ABE平AB所D平ABD平BD 所以平BD平AB.面面垂直證明

21、的兩種思路用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線;用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面 垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系判定判定判定 *線罕直云線面垂直2面面垂直性質(zhì)考向7線面角、二面角的求法1 .線面角當(dāng)la時，線面角為90 .當(dāng)la或l?a時，線面角為0 . (3)線面角。的范圍：0WOW90 .2.二面角(1)如圖，二面角 a-l-B,若01,OA?a, OB? 3, OAl, OBl,則 的平面角.B -l- a就叫作二面角AOBZ.囤3 四邊形,BA=BD 囤3 四邊形,BA=BD = 2,AD =

22、2, PA=PD = 5, E, F 分別是棱 AD, PC 的中點(diǎn).證明：平面PAB.若二面角 P-AD-B 為 60,證明：平面PBC平面ABCD；求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.【思路導(dǎo)引】(1)因?yàn)镋, F分別是所在棱的中點(diǎn)，可取PB的中點(diǎn)M,證明四 邊形AMFE是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理證明.(2)連接PE, BE,由題意知ZPEB = 60，在 PEB中利用余弦定理證出BE PB.又BEAD,然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；由知BE 上平面PBC,則/EFB即為直線EF與平面PBC所成的角.【解析】(1)證明：如圖，取PB中點(diǎn)M，連接MF ,AM.因?yàn)?/p>

23、F為PC中點(diǎn).1 古攵 MFBC 且 MF = BC. 2 由已知有 BCAD , BC = AD.又由于E為AD的中點(diǎn)，因而 MF AE 且 MF = AE ,故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF AM.又AM?平面PAB，而EF?平面PAB , 所以EF 平面PAB.BE , PE證明：如圖，連接2).因?yàn)镻A=PD , BA = BD，而E為AD的中點(diǎn)，故 PEAD , BEAD ,所以ZPEB為二面角P-AD-B的平面角.A中，PA,可解P2AB中，BBA，可解B1PE 中 PB , PE6由余弦定理，可解P從 PB9, BPBABA從BB ,因B平PBB平ABC，所以平PB平ABC

24、如圖，連B知B1平PB所EF為直E與平PB所成的角P及已知，AB為直角11MP，可A , EB1B，故REB中siEF1E1所以直E與平PB所成角的正弦值.111.求空間角的三個步驟找：即找出相關(guān)的角；證：即證明找出的角即為所求的角；計算：即通過解三角形的方法求出所求角.2.空間角的找法線面角找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作出垂線，確定垂足.二面角二面角的大小用它的平面角來度量，平面角的常見作法有：定義法；垂面 法.其中定義法是最常用的方法.鞏固練習(xí)1如圖，在四棱ABC中底ABC是矩形上平ABCAABP于.(1求證AP(2求直C與平AC所成的角的余弦值2.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面

25、ABCD是菱形，SA平面ABCD，M， 課N分別為SA，CD的中點(diǎn).堂(1)證明：直線MN平面 SBC；練習(xí) 證 明：平面SBD1平面SAC.如圖，在直角梯形 ABCD 中，ADBC,/ADC = 90, AB=BC.把 BAC 沿AC折起到APAC的位置，使得P點(diǎn)在平面ADC上的正投影O恰好落在線段 A上，如圖所示，分別為PC的中點(diǎn)(1求證：平0平AP(2求證平P0(3ACA，求四棱CF的體解：(1)證明：V PA平面 ABCD , AB?平面 ABCD , aPAAB. vABAD , ADAPA=A ,AD?平面 PAD ,PA?平面 PAD , aAB 平面 PAD. vPD?平面 PAD , AABPD. VBMPD , ABABM = B , AB?平面 ABM , BM?平面 ABM ,APD 平面 ABM. .AM?平面 ABM ,aAMPD. (2)由(1)知，AMPD，又 PA=AD , 則M是PD的中點(diǎn).在 RtPAD 中，AM = 2 ,錯 22 ,DC3CDM 中，MC = MD =+在 Rt題