第一輪復習放縮法技巧全總結

1、放縮法在數列不等式中的應用數列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現，在高考試題中占有重要地 位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數列不等式的求 解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發(fā)現學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困 難，找不到解題思路?，F就放縮法在數列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結如 下。直接放縮，消項求解例1在數列】, b 中，a =2, b = 4 ,且a , b , a成等差數列，b , a , b成等比數列.n n11n n n+1n n+1 n+1n g N *,(I)求a , a , a及b ,b ,b ,由此猜測a , b

2、的通項公式,并證明你的結論；234234n n(II)證明：_ + + + A . a + b a + b a + b 121122n n分析:(I )數學歸納法。(II)本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項之積， 通過裂項求和。(I)略解 a = n (n +1) b = (n +1)2 .(II)= 1 2(n + 1)n a1 + b16 12n n11+n(n +1)/6 22x3 3 x 4綜上，原不等式成立.1 15綜上，原不等式成立.+ =6 4 12點評：數列和式不等式中，若數列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構造等差 型因式之積。再用裂項的方

3、法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n)1 1 如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n n +1 n( n +1) n 2n( n 1) n 1 n例2設數列a 滿足a1 = 1, a = ca +1 c,c g N *其中c為實數證明：a g 0,1對任意n g N*成立的充分必要條件是c g 0,1； 設 0 c 1 (3c) n1, n g N *;分析:(I )數學歸納法證明(II)結論可變形為1 a” (3c) n1，即不等式右邊為一等比數列通項形式，化歸思路為對1-七用放縮法構造等比型遞推數列， TOC

4、o 1-5 h z 艮口 1 a = c(1 a )(1 + a + a 2) V 3c(1 a ) nn1n1 n 1n1解：(1)解略。(II)設0 c 2時，. 0 c -，由(1)知 a e 0,1，所以 1 + a + a2 03n1n1 n1n1點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數列，再逐項遞推得到結論。通過放縮 得到等比型遞推數列是求解數列不等式的另一個重要的類型。利用基本不等式放縮例 3 已知數列a ， a 0， a = 0， a 2 + a 1 = a 2(n e N )，記 nn1n+1n+1nS = a + a + a，T = + +n 12 n n 1 + a

5、.(1 + a. )(1 + a )(1 + a. )(1 + a )(1 + a )求證：當 n e N時，(I) a n 2 ；(III) T 0的條件下，a a的等價形式為a 2 a 2，要證a 2 0,即證an 1，可用數學歸納法證明 由ana=1 a.累加及a. 1可得 和式通項的分母由1 + a累乘得到的，條件中可有a (1 + a ) = 1 + a 2得到，但nk+1k+1k(1 + a ) =的分子分母次數不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數列k+1ak+1解略。解略。(I)證明：由a 2 + a=1 + a 2 N 2a，得k+1k+1kk所以m1 W-4(a N 3)

6、，(1+ a )(1+ a ) (1+ a )2n2 a34n2 TOC o 1-5 h z 于正(1+ a )(1+ a ) (1+ a ) 2n2(a2 + a ) 2n2 2n2 3)，23n22故當n N 3時，T 1 +1 +1 + +上 3,又因為T T T，所以T 3 .n22n - 21 2 3n點評：本題第三問，基本不等式的應用使構造等比型遞推數列成為可能，在公比|0| 0 ,工a 1, k = 1,2, nkk +1k+2ii=12 一求證：0 a - a 廠（k = 1,2,.）.分析：有時數列不等式的證明可以在數列單調性的前提下進行放縮。證明：若有某個a a ，則a a

7、 - a + a a ，從而從a起，數列a 單調遞 kk+1k +1kk+1k+2k+2kn增，和S = a + a + . + a會隨n的增大而趨向于無窮，與工a 0 得 a - a a - a ， kk+1k+2k k+1k +1k+2即 b b , k = 1,2,由于 1 a + a + akk +112k故b故bk 0,1(1 + a )(1 + a )(1 + a )12n1(1 + a 2) n-1 T 上1+ ,+ T 2而a2 =二 2所以問題得證1 + a2放縮法在數學歸納法的應用數列不等式是與自然數有關的命題，數學歸納法是證明與自然數有關的命題的重要方 法。應用數學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當的轉化，才能實現由n = k 時成立到n = k +1時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現，在數列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使 數列不等式轉化為以下兩種類型：（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型） （2）等比型遞推數列，以 1時，數列前n項和有界。（等比型）數列不等式是一類綜合性較強的問