精選高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式知識(shí)整理文檔

1、方法一：余弦倍角公式是由余弦的冪整系數(shù)線性組合來(lái)表示倍角的余弦這樣就產(chǎn)生余弦的倍角能否用余弦的冪次的整系數(shù)線性組合表示等問(wèn)題通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于2的首項(xiàng)系數(shù)為1的、次數(shù)等于的倍數(shù)的、系數(shù)符號(hào)正負(fù)相間的整系數(shù)多項(xiàng)式，還進(jìn)一步得到的一些性質(zhì)應(yīng)用此性質(zhì)，可以得到一些求和公式及解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式可以轉(zhuǎn)化為切比雪夫多項(xiàng)式要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模仿，才能不斷地掌握高一級(jí)水平的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的能力，課堂上，我特別重視教師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話，注意聲音清楚，高低起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不

2、專心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種趣味活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的能力，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，聽(tīng)故事講述故事，聽(tīng)謎語(yǔ)猜謎底，聽(tīng)智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽(tīng)兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽(tīng)的能力，強(qiáng)化了記憶，又發(fā)展了思維，為說(shuō)打下了基礎(chǔ)。 在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是一個(gè)十分有用的工具，余弦是眾所周知的偶函數(shù)，它的倍角公式如：語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)提

3、高學(xué)生的水平會(huì)大有裨益?，F(xiàn)在,不少語(yǔ)文教師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費(fèi)勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒(méi)過(guò)幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對(duì)文章讀的不熟。常言道“書(shū)讀百遍,其義自見(jiàn)”,如果有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽(tīng)讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫(xiě)作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語(yǔ)感,增強(qiáng)語(yǔ)言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫(xiě)作技巧和語(yǔ)感就會(huì)自然滲透到學(xué)生的語(yǔ)言意識(shí)之中,就會(huì)在寫(xiě)作中自覺(jué)不自覺(jué)地加以運(yùn)用、創(chuàng)造和發(fā)展。 ，(1)“教書(shū)先生”恐怕是市井百姓

4、最為熟悉的一種稱呼，從最初的門(mén)館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書(shū)先生”那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語(yǔ)中的“有酒食，先生饌”；國(guó)策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學(xué)問(wèn)、有德行的長(zhǎng)輩。其實(shí)國(guó)策中本身就有“先生長(zhǎng)者，有德之稱”的說(shuō)法?？梢?jiàn)“先生”之原意非真正的“教師”之意，倒是與當(dāng)今“先生”的稱呼更接近?？磥?lái)，“先生”之本源含義在于禮貌和尊稱，并非具學(xué)問(wèn)者的專稱。稱“老師”為“先生”的記載，首見(jiàn)于禮記?曲禮，有“從于先生，不越禮而與人言”，

5、其中之“先生”意為“年長(zhǎng)、資深之傳授知識(shí)者”，與教師、老師之意基本一致。 (2)它們都是由余弦的冪整系數(shù)線性組合來(lái)表倍角的余弦這樣就自然產(chǎn)生了余弦的倍角能否用余弦的冪次的整系數(shù)線性組合表示問(wèn)題，稍作計(jì)算可以得 ，(3) (4)觀察公式(14)，可以發(fā)現(xiàn)如果公式兩端同乘以2，則公式右邊都是關(guān)于2的首系數(shù)為1的、次數(shù)等于公式左邊的倍數(shù)的、系數(shù)符號(hào)正負(fù)相間的整系數(shù)多項(xiàng)式由此猜測(cè)2也具有這一性質(zhì)，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明猜想，() (5)(5)式可改寫(xiě)為： ，(9)(9)式稱為n倍角余弦公式，其中為正整數(shù)因?yàn)橛嘞以谏蠁握{(diào)，對(duì)應(yīng)值為降到，即， 因此存在反函數(shù)，若令，則，因此，在余弦倍角公式中令，則倍角公

6、式為于是首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式，各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)，符號(hào)依次變化，的冪依次遞減2次，若遞減到最后，冪次為負(fù)，則該項(xiàng)取零若記=，則滿足，稱為切比雪夫多項(xiàng)式從遞推關(guān)系可以得到：第一類切比雪夫多項(xiàng)式有許多良好的性質(zhì)，例如：1(分析：令，)2，這表明當(dāng)為奇(偶)數(shù)時(shí)是奇(偶)函數(shù)34，5函數(shù)列的生成函數(shù)為（分析：生成函數(shù)又叫母函數(shù)，在數(shù)學(xué)中，某個(gè)序列的母函數(shù)是一種形式冪級(jí)數(shù)，其每一項(xiàng)的系數(shù)可以提供關(guān)于這個(gè)序列的信息使用母函數(shù)解決問(wèn)題的方法稱為母函數(shù)方法母函數(shù)的思想就是把離散數(shù)列和冪級(jí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，把離散數(shù)列間的相互結(jié)合關(guān)系對(duì)應(yīng)成為冪級(jí)數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系，最后由冪級(jí)數(shù)形式來(lái)確定離散數(shù)列的構(gòu)造母函數(shù)是解決組合計(jì)數(shù)問(wèn)

7、題的有效工具之一，其思想方法是把組合問(wèn)題的加法法則和冪級(jí)數(shù)的乘冪的相加對(duì)應(yīng)起來(lái)）6函數(shù)列滿足2階遞推關(guān)系（分析：由三角恒等式）最小偏差切比雪夫在1857年提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在最高項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中，尋求在區(qū)間上與零的偏差最小的多項(xiàng)式換句話說(shuō)，就是尋求在中的最佳一致逼近多項(xiàng)式，這里定理 在區(qū)間上所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式中，與零的偏差最小，其偏差為稱為第n個(gè)第二類切比雪夫多項(xiàng)式，前7個(gè)第二類切比雪夫多項(xiàng)式為：第二類切比雪夫多項(xiàng)式也有許多良好的性質(zhì)，例如： 1即當(dāng)以為奇(偶)數(shù)時(shí)是奇(偶)函數(shù)2，,，3函數(shù)列的生成函數(shù)為45函數(shù)列滿足2階遞推關(guān)系兩類切比雪夫多項(xiàng)式的關(guān)系定理1設(shè)和分別為第一類

8、和第二類切比雪夫多項(xiàng)式，為整數(shù)，則證明 由兩類切比雪夫多項(xiàng)式的定義得而 則比較式在子兩邊項(xiàng)的系數(shù)，即有4切比雪夫多項(xiàng)式的應(yīng)用4.1切比雪夫多項(xiàng)式插值切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用這是因?yàn)榈谝活惽斜妊┓蚨囗?xiàng)式的根（被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近切比雪夫多項(xiàng)式插值法：定理：設(shè)為區(qū)間上個(gè)互不相同的點(diǎn)，則對(duì)任何,存在，使得拉格朗日插值余，滿足其中插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)極小化：要使拉格朗日插值多項(xiàng)式盡量逼近，就要使余項(xiàng) 盡量小在 中，是固定的，而 又是未知數(shù)，所以要減小 ，只有恰當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)集，使得在插值區(qū)間內(nèi)余項(xiàng)的最大值為極小值為了應(yīng)用切比