線性代數(shù)的一些證明題

1、線性代數(shù)一些證明題1題目設(shè)n階可逆矩陣A滿足A2 =A，求A的特征值。知識(shí)點(diǎn)特征值與特征向量矩陣的行列式解題過(guò)程解：因?yàn)锳2 =A所以A 2-A=0所以 det(A2 -A)=detA(A-E)=det(A)det(A-E)=0A為可逆矩陣，所以det(A*0所以 det(A-E)=0所以A的特征值為1.常見(jiàn)錯(cuò)誤設(shè)存在入，使Ax=Xx成立貝 ij det( Ax)=det(A)det(x)=det(人 x)=人n det(x)(錯(cuò)誤在于向量取行列式) 所以有杼=det( A)成立.又因?yàn)锳2 =Adet(A) 2 =det(A),艮P det(A)=0 或 det(A)=1.由于A為可逆矩陣，

2、det(A).所以 det(A)=1人n = 1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，入=1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，入=土 1.相關(guān)例題設(shè)A為n階矩陣，若A2 =E，試證A的特征值是1或-1.2題目設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣，且det(A)=1，證明det(E-A)=0.知識(shí)點(diǎn)正交矩陣的定義：AtA=E單位矩陣的性質(zhì)：EA=AE=A Et =E矩陣運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：(A+B)t =At +Btdet(A)=det(A t )det(AB)=det(A)det(B)det(-A)=(-1) n det(A)解題過(guò)程A是正交矩陣. E-A= AtA-A= AtA-EA=( At -E)Adet(A)=1.*.det(EA)=de

3、t(A t E)A)=det(A t E)det(A)=det(A t E)Vdet(E-A)=det(E-A) t =det(EA t )det(At E)= det(EAt )= det(At E)= (1) n det(At E).n為奇數(shù)A (1) n = 1det(A t E)=0.det(EA)=0常見(jiàn)錯(cuò)誤誤以為 det(EA)= det(E) det(A),于是 det(EA)=1det(A)=11=0.det(A)=1 TOC o 1-5 h z .a a .3 =1(其中a ,a，,a為A作初等變換變?yōu)樯先切魏?12n12n對(duì)角線上的元素).det(EA)= (1-a)(1

4、-a)(1-a)12nVdet(E-A)=det(A t -E)A)=det(A t -E)det(A)=det(A t-E)且 det(At -E)= ( a -1) ( a -1)(a -1).12n. .(1-a ) ( 1- a )(1-a ) = ( a -1) ( a -1)(a -1)12n12n=(-1) n ( 1- a ) ( 1-a )(1- a )12n.n為奇數(shù).(一1) n = 1.(1 a)(1 a)(1 a)=012n.det(E-A)=0以上證法先把A變?yōu)樯先?，再用E減去變化后的A,再求行列 式，這是錯(cuò)誤的。相關(guān)例題證明：若A為正交矩陣，則det(A)=1.

5、題目試就a,b的各種取值情況，討論下列線性方程組的解，若有解，則求 出解。X + X - X = 1(1)2氣 + (a + 2)x2 - (b + 2)X3 = 3(1)3ax + (a + 2b) X 323知識(shí)點(diǎn)線性方程組解的結(jié)構(gòu)解題過(guò)程1111 一1111 一r 2r2a + 2b 2321 *0ab1_03a + 2b3_03aa + 2b3解：B=r - 3rr - 3r11110a-b100a 一 b0當(dāng)ab. 0,且a豐0時(shí)，rank（B）=3，增廣矩陣的秩也等于3,而且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故方程組（1）有唯一解。其解為:n111.x = 0, x = , x = 1 一 ;當(dāng)a

6、-b=0，且a河時(shí)，rank（B）=2,增廣矩陣的秩也等于2,秩小于未 知數(shù)的個(gè)數(shù)，此時(shí)故方程組（1）有無(wú)窮多解。其解可由ax -bx = 1，解得x = 1+ bx ,，代入第一個(gè)方程232 a a 3=1得到x1a 一 1 a 一 b 1x =+x = 1 一a a 3 a般解為:1b 1般解為: x = + x = + xa a 3 a3x3 = x3(任意)（3）當(dāng)a=0，b為任意數(shù)，11 -11此時(shí)增廣矩陣可化為：0a 一 b 100 a 一 b 011-11 -00b1000-1可見(jiàn)，rank（B）=2,但增廣矩陣的秩為3,所以方程組（1）無(wú)解，常見(jiàn)錯(cuò)誤在討論帶參數(shù)的線性方程時(shí)，盡

7、管初等變換結(jié)果正確，也會(huì)產(chǎn)生 討論不全的錯(cuò)誤。如，當(dāng)a豐b時(shí)，就說(shuō)原方程有唯一解，沒(méi)有指出a丈0，當(dāng)a=b 時(shí)，就說(shuō)原方程組有無(wú)窮多解，沒(méi)有指出a=bu0，等等。相關(guān)例題確定a,b的值，使下列方程組氣 +- 3 T(a ,a , ka + k a + k a )234231 12 23 3c -k cC-醞 (a ,a ,ka)2311c3* (a ,a ,a )由于初等變換不改變矩陣的秩，所以由a1, a 2, a3線性無(wú)關(guān)，知（a , a , a ）推出氣,氣線性無(wú)關(guān)的秩為3,所以（a2,a3,a4）秩也為3推出氣,氣線性無(wú)關(guān)證法三：（反證法）假設(shè)（氣, a 4）線性相關(guān).使得 k a +

8、 k a + k a = 0使得 k a + k a + k a = 0122334123 TOC o 1-5 h z 已矢口a = ka + k a + k a，代入上式，得 41 12 23 3k a + k a + k (k a + k a + k a ) = 0 122331 12 23 3化為：kk a + (kf + kk )a + (k + kk )a = 013112322333Q k , k , k全不為0 123二 k k ,k + k k ,k + k k 不全為0 13123233(否則，由 kk =k + kk =k + k k =0 得 k =k =k =0)131

9、23233123艮P a1,a2,a3線性相關(guān)，與題目已知條件矛盾.所以假設(shè)不成立，即(氣,氣)線性無(wú)關(guān).5題目設(shè)n1,n2,L E 是AX = B的解且線性無(wú)關(guān)，R(A) = r，試證AX = B的任一解可表示為X = k 門+ k 門 + L + k a ，其中 k + k2 + L + k 1 = 1知識(shí)點(diǎn) 基礎(chǔ)解系 方程組解的結(jié)構(gòu)解題過(guò)程證明 Q門E2,L ,n +1是AX = B的解.頊-n,n -n,l ,n n是ax = 0的解1 nr+1 2 nr+1nrnr+1由(n ,n ,l ,n ,n)8M 匚口 1 2n - r n - r+1Lc - cnr n-r+1(n n,n

10、 n ,l ,n n M )1 nr+1 2 nr+1nr nr+1 nr+1因?yàn)?門，門，L，門 線性無(wú)關(guān)，所以門一門 E -門 ,L E -門，門 線性無(wú)關(guān)，1n - r+12n - r+1n - rn - r+1n - r+1門-門，門-門,L，門-門 也線性無(wú)關(guān)，且1n - r +12n - r + 1n - rn - r +1R(n -n ,n -n ,l ,n -n ) = nr1 n 一 r+1 2 n-r+1n 一 r n 一 r+1所以n -n ,n -n ,l ,n -n 是ax = 0的基礎(chǔ)解系 1 n - r +1 2 n - r + 1n - r n - r +1因?yàn)?/p>

11、AX = 0的任一解X *可以表示為：x * = k (n -n ) + k (n -n) + l + k (n -n )1 1 nr+12 2 nr+1nr nr nr+1AX = B的任一解X可以表示為：X = X * +n *其中n *是AX = B的一個(gè)特解擴(kuò)展式，取n*=n ，得n 一 r+1x=k (n -n )+kf (n -n) + l + k f (n -n) +n1 1 nr+1 2 2 nr+1nr nr nr+1nr+1x=x=k n + k n + l + k n + (1-k - k -l1 12 2nr nr12令k= 1 k k L k ，k = k.k = k

12、 L .k一k川nr nr+1n-r+112n-r1122/ I則AX = B的解可以表示為x = k n + k n + l + k n且 k + k +L + k = k+ k +L + k +(1- k- k -L - k ) = 11 2nr+1 12nr12nr命題得證另外取牛,(1 / 1 n_r+1此時(shí)令k = k,k = k ,L ,k = k ,k = 1+k,k = k ,L ,k = k 112 2i-1 i-1 ii i+1 i+1n-r n-rkn-r+1=-k k；- L - kn-則AX = B的解可以表示為x = k q + k n + l + k n且 k +

13、 k + L + k=kf + k+L + k +(1+ k)+k +L + k +(-k -k-L -k )=112i-1ii+1n-r12n-r此時(shí)命題也成立常見(jiàn)錯(cuò)誤不會(huì)應(yīng)用定理.不知兩個(gè)非齊次組的解的差是齊次線性方程組的解.6題目設(shè)人、人是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，尤、尤分別屬于人、人的特 121212征向量，證明氣+ X2不是矩陣A的特征向量.知識(shí)點(diǎn)特征值特征向量解題過(guò)程用反證法.設(shè)氣+七是A的對(duì)應(yīng)人的特征向量，則有A(x + x ) = X(x + x ) = Xx +入x TOC o 1-5 h z 121212已矢口 Ax = X x， Ax = X x11 122 2所以 A(x + x ) = Ax + Ax = X x