線(xiàn)性空間試題

1、空間一判斷題平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法：k a=a,k e R,作成實(shí)數(shù)域 TOC o 1-5 h z R上 的向 量 空間.().。平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法：k a= 0,k e R,作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.。(). 一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的平面上所有向量的集合是七的子空間.(). 所有乃階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間Mn (R)的子空間. ().().(5) (x ,x , ,x )1 Y x = 1,x e R為Rn 的子空間.().12 ni ii=1().(6)所有.n階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的集合為全矩陣空間Mn (R)的子空間. ().().(x ,0, ,0, x

2、 )1 x ,x e R為Rn 的子空間. 1n 1 n(8)若a ,a ,a ,a是數(shù)域F上的4維向量空間v的一組基，那么a ,a ,a +a ,a +a1234122334是 v的一組基().(9) n維向量空間V的任意n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基.( )(10)設(shè)a1,a2, ,a是向量空間V中n個(gè)向量，且V中每一個(gè)向量都可由aa2, ,a線(xiàn)性表示， 則a1, a2,，氣是 V的一組基 (). (11)設(shè)a ,a , ,a是向量空間v的一個(gè)基，如果p, P ,p 與 a , a,a等價(jià),12n12n12n則P , P , P 也是V的一. 個(gè).基.12n( )(12)x 3關(guān)于基

3、X3, X3 + X, X2 + 1, x + 1的坐標(biāo)為(1,1,0,0)().(13)設(shè)V1V2, ,V為n維空間V(12)x 3關(guān)于基X3, X3 + X, X2 + 1, x + 1的坐標(biāo)為(1,1,0,0)().(13)設(shè)V1V2, ,V為n維空間V的子空間，且V = V +匕+ + V若dim V + dim V + + dim V = n ().+V 為 直 和(14)設(shè)匕,V, ,V為n維空間V的子空間，且V =匕+ V +匕 V = 0,( V + V ) V = 0, 和P12,(匕 + V + + 匕)V= 0, n).(15)設(shè)匕,V,V 為維空間V的子空間，V(Zin

4、用 ().V ) = 0,j -V1 + V2 + V(16E V1,V2, ,V維空間V的子空間，且 V = V1 + V2 +(17)設(shè) V1V,匕為n維空間V的子空間,且V = V + V2 +零向量表法是).(18)，氣是向量空間V的一個(gè)基， /是V到W的一個(gè)同構(gòu)映射，則w的).(19)設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，若向量空間V與W同構(gòu),那么W也是數(shù)域F).(20)把同構(gòu)的子空間算作一類(lèi)，n維向量空間的子空間能分成n類(lèi).).答案(1)錯(cuò)誤(2 )錯(cuò)誤 正確 錯(cuò)誤(5)錯(cuò)誤(6)正確 正確(8)正正確正確(19)正確(20)錯(cuò)誤二填空題全體實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)矩陣的作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.全

5、體正實(shí)數(shù)的集合R +，對(duì)加法和純量乘法ab = ab, k a =貝,構(gòu)成R上的向量 空間.則此空間的零向量為_(kāi)全體正實(shí)數(shù)的集合R+,對(duì)加法和純量乘法ab = ab, ka = ak,構(gòu)成R上的向量 空間則a e R +的負(fù)向量為.全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算：(a, b)(c, d) = (a + c, b + d + ac),k (k - 1) Xk (a, b) = (ka, kb + %a2),構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.則此空間的零向量為_(kāi).O全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算：(a, b)(c, d) = (a + c, b + d + ac),k (k - 1) Xk (a, b

6、) = (ka, kb + 2a2), TOC o 1-5 h z 構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.則(a,b)的負(fù)向量為.數(shù)域F上一切次數(shù) n的多項(xiàng)式添加零多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間F x 維數(shù)等于 任一個(gè)有限維的向量空間的基的，但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是,復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，維數(shù)等于,它的一個(gè)基為.復(fù)數(shù)域C看成它本身上的向量空間，維數(shù)等于,它的一個(gè)基為.(10)實(shí)數(shù)域R上的全體n階上三角形矩陣，對(duì)矩陣的加法和純量乘法作成向量空間, 它的維數(shù)等于.向量E = (0,0,0,1)關(guān)于基 = (1,1,0,1),a2 = (2,1,3,1),a3 = (1,1,0,0)a = (0,1,T,1)

7、的坐標(biāo)為.4x2 + 2x + 3 關(guān)于 F x的一個(gè)基 x3, x3 + x, x2 +1,工 +1 的坐標(biāo)為.3三維向量空間的基a1 = (1,1,0),氣=(1,0,1),則向量P = (2,0,0)在此基下的坐標(biāo)為.(14) V和W是數(shù)域F上的兩個(gè)向量空間，V到W的映射f滿(mǎn)足條件,就叫做一個(gè)同構(gòu)映射.(15)數(shù)域F上任一n維向量空間V都與向量空間 同構(gòu).(16)設(shè)V的子空間七W, W,有W W =直和.nW W3 n=W W = 0, n則 W + W2+ W答案(1)加法和數(shù)量乘法1 1 (4) (0,0)(5) (a, a2 b)(6) n +1 (7)不唯一，相等(8) 2;1,

8、Z(9) 1；1(10)n(n +1)2(11) (1,0,1,0)(12) (0,0,1,2)(13)(1,11) (14) f 是 V 到 W 的雙射；對(duì)任意 a, Pe V, f (a +。) = f (a) + f (P);對(duì)任意 a e F,ae V, f (aa) = af (a) (15) Fn (16)不一定是三簡(jiǎn)答題設(shè)V = M (R).問(wèn)下列集合是否為V的子空間，為什么n所有行列式等于零的實(shí)n階矩陣的集合W ;1所有可逆的實(shí)n階矩陣的集合W ;2設(shè)L(R)是實(shí)數(shù)域R上所有實(shí)函數(shù)的集合，對(duì)任意f, g e L(R),人e R,定義(f + g)(x) = f (x) + g(

9、x),(人 f)(x)=人 f (x), x e R對(duì)于上述運(yùn)算L(R)構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上向量空間下列子集是否是L(R)的子空間為什么所有連續(xù)函數(shù)的集合嗎;所有奇函數(shù)的集合W ;3)嗎=f I / e L(R f(0) = f;(3)下列集合是否為Rn的子空間為什么其中R為實(shí)數(shù)域.1)2),x ) I x + x + + x = 0, x e R;1)2)n12ni,x ) I xx x = 0,x e R;3),xn )13),xn )1每個(gè)分量x是整數(shù);(4)設(shè)4 X, b分別為數(shù)域F上m x n, n x 1,m x 1矩陣，問(wèn)AX = b的所有解向量是F上的向量空間嗎說(shuō)明理由.(5)下列子

10、空間的維數(shù)是幾L(2, -3,1),(1,4,2),(5,-2,4) q R3 ;L(x -1,1 - x2, x2 一 x) q F x實(shí)數(shù)域R上m x n矩陣所成的向量空間M (R)的維數(shù)等于多少 寫(xiě)出它的一個(gè) 基實(shí)數(shù)域R上，全體n階對(duì)稱(chēng)矩陣構(gòu)成的向量空間的維數(shù)是多少若a1, a 2,，氣是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)基，a. +a2,a2 +a3,a 1 +a ,a +a.也是V 的一個(gè)基嗎 x 1,x + 2,(x 一1)(x + 2)是向量空間F2x的一個(gè)基嗎 取R4的兩個(gè)向量a1 = (1,0,1,0)巳=(1,1,2,0).求R4的一個(gè)含氣巳 的基.在 R 沖求基a1 = (1,

11、0,1),氣=(1,1,一1),氣=(1,1,1)到基P1 = (3,0,1), P2 = (2,0,0), P3 = (0,2, 2)的過(guò)渡矩陣.在中 F4 求向量& = (1,2,1,1)關(guān)于基a1 = (1,1,1,1)a2 = (1,1,一1,一1)。3 = (1,-1,1,一1) a 4 = (1,1,1,1)的坐標(biāo).(13)設(shè)嗎表示幾何空間匕中過(guò)原點(diǎn)之某平面n1的全體向量所構(gòu)成的子空間，嗎為過(guò)原點(diǎn)之某平面n2上的全體向量所構(gòu)成的子空間，則W 嗎與w+ W2是什么w+ Wn能不能是直和(14)設(shè) W = L (a,a , a ), W = L (P , P ),求 WW 和 W +

12、W .其中11232121212ai = (1,2,1,2),a2 = (3,1,1,1)氣=(1,0,1,1) P = (2,5,6,5), P2 = (1,2,7,3).(15)證明數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們維數(shù)相等(a b 設(shè)V = I a, b, e R, W = (d, e) d, e g R,都是實(shí)數(shù)域R的向量空間.問(wèn)VIb c )與W是否同構(gòu)說(shuō)明理由.設(shè)a ,a , ,a為向量空間的一個(gè)基，令P =a +a + +a ,i = 1,2, ,n且12ni 12iW = L(P .).證明 V =.嗎W 答案 W不是V的子空間.若A,B g W,I A + B

13、 I若未必等于零，W對(duì)加法不封閉W2不是V的子空間.因?yàn)锳 g W3,I A左0,則IAIW0,但I(xiàn) A + (A) I= 0,對(duì)加法不 封閉(2)W是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)1W是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)奇函數(shù)的和及數(shù)乘奇函數(shù)仍為奇函數(shù)2W3是L(R)的子空間.因?yàn)閃3非空，且對(duì)任意f, g g吧,人g R,有(f + g )(0) = f (0) + g (0) = f (1) + g (1) = (f + g )(1)；人 f (0)=從 f (0)=從 f )=(人 f )(1),故 f + g,人 f g W3.(3)是 因嗎是齊次方程組氣+

14、 % + + 乂廣0的全體解向量.W不是Rn的子空間.因W對(duì)加法不封閉.22 W3不是子空間.因?qū)?shù)乘運(yùn)算不封閉.(4)當(dāng)b豐0時(shí)，AX = b的所有解向量不能構(gòu)成F上的向量空間.因n維零向量不是AX = b的解向量.當(dāng)b = 0時(shí)，AX = 0的所有解向量能構(gòu)成F上的向量空間.(5)維數(shù)是2.因(2, 3,1),(1,4,2)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而(5, 2,4) = 2(2,-3,1) +(1,4,2).維數(shù)是2.因易證X-1,1-啟線(xiàn)性無(wú)關(guān)，但3-1) + (1-x2) + (x2-x) = 0 .解令E表示i行頂列位置元素是1其余是零的m x n矩陣.那么易證E這m x nijij個(gè)矩陣是線(xiàn)性無(wú)

15、關(guān)的.它們作成M (R)的一個(gè)基，故M (R)的維數(shù)是m x n.氣,司+ Eji, i, j = 1,2,3, n, i壬j,為全體n階對(duì)稱(chēng)矩陣構(gòu)成的向量空間的一個(gè)基，其中共有n +1 + 2 +(n-1)個(gè)向量，故此向量空間的維數(shù)一-. . 2(8)解由 (a +a ,a+a ,a +a ) = (a ,a , ,a )A.得I A1= 1 + (-1)n+1.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，IAI= 0,故 +a 2, a 2 +以3。+%線(xiàn)性相關(guān)，它不構(gòu)成基.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，IA& 0,故 +a2,a2 +a3,a+%線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它構(gòu)成一個(gè)基.(9)解在基1, x, x2之下有f-12-2 )(x -1, x

16、 + 2,( x - 1)(x + 2) = (1,x, x 2)111001 J因上式右方的3階矩陣為可逆，所以x -1, x + 2,( x-1)(x + 2)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它是F x 的 一個(gè)基.(10)解取向量8 = (0,0,1,0), 8 = (0,0,0,1)，由于34110 00 -10 0=-1 w 0,12 100 0 0 1因此a ,a ,8 ,8線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以向量組是R4的一個(gè)基. 1234(11) 解由(a ,a ,a ) = (8 ,8 ,8 ) A,( P , P , P ) = (8 ,8 ,8 ) B123123123123推出(pp2, Pj = (a ,a ,

17、a )A-1B 因此所求過(guò)渡矩陣為推出0111102211-122JA-0111102211-122JA-i B =(3 2 0 )(1 0 0)0 0 21 11k 1 0 -2/k1 1 f(12)解取F 4的標(biāo)準(zhǔn)基 , , , .由 , , , 12341234(111111-1-11-11-1k 1-1-11A =J到%氣,氣的過(guò)渡矩陣為于是& = (1,2,1,1)關(guān)于基a ,a ,a3，a的坐標(biāo)為A-i5 )414-14-1k 4)d3)解由于W1 ,七皆過(guò)原點(diǎn)，它們必相交，因此或重合，或不重合.若嗎與七重合,w =嗎,w + w = w .若W與W2不重合，則w w為一條過(guò)原點(diǎn)的

18、直線(xiàn)，而 w+ W2 = V,但嗎+ W2不能是宜和.(14)解設(shè) y = k a + k a + k a = t p +1 p g W11223311221W2為交空間的任意向量.由k a + k a + k a t J3 t J3 = 0,1 12 23 31 12 2得齊次線(xiàn)性方程組k + 3k - k - 2t +1 TOC o 1-5 h z 123122k + k 5t 2t = 01212k + k + k + 6t + 7t = 0123122k1 + k2 + k3- 5t1 3t2 = 0由行初等變換知方程組的系數(shù)矩陣的秩為4,解空間的維數(shù)為1,且求得方程組的一般 解為,4

19、,8,9,6/、/k =_t ,k =t ,k =t ,k = t 因此維(WW ) = 1,維(W + W ) = 4.172 272 372 47 21212取t = 7，令& =6P + 7P 便有W W = L(&),另外顯然W + W = L(a ,a ,a ,P ).21212121231(15)證明 設(shè)數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間V與W的維數(shù)均為n ,因V蘭Fn , W蘭Fn所以V三W .反之，若V三W ,設(shè)dim V = n0,且f是V到W的同構(gòu)映射.取V的一個(gè)基a1，a2,，氣，易證 f (a1), f (a2), f (氣)是 W 的一個(gè)基，故dimW = n.V與W不同構(gòu).

20、因dim V = 3,dim W = 2, V與W的維數(shù)不相等. 證明任取a e V,若a = aa + a a + + a a ,那么1122nna = (a a a ) P + (a a a ) P + (a a ) P + a P 12n 123n2 n1n n1n n 因此V = W + W2 + W，并且V中向量依諸七表示唯一，故 V =嗎WW 四計(jì)算題 設(shè)由a1 = (1,2,2, 2),a2 = (-1,3,0,-1),氣=(2, 1,2,5),生成R4的子空間 W.試 從向量組 P1 = (3,1,0,3), P2 = (2, 1,0,3), P3 = (3, 4, 2,16)

21、, P4 = (1,7,4, 15)中找出 W 的生成元. 解以a ,a ,a及P ,P ,P ,P為列做成矩陣A,在對(duì)A的行施行初等變換.12312341-123231、23-1：1-1-47T202:00-24-2-15：3316-15 )F100 11/20 2、010:0-1/2-1 1001:1 .1/21 01000:0-40 0)A =B由于行初等變換不改變列向量間的線(xiàn)性關(guān)系.由矩陣B知，P =a +a ,P =-a +a ,0 = 2a +a 從而 L(P ,P ,P )( W.但由 B 還知 P ,P ,P 113323412134134線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故七% P4為W的一組生成元

22、.在向量空間R中，求由向量氣= 口&小氣=(4,5,3, -1) = ThTD，由右方矩陣知a1,氣是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因此a 4 = ，由右方矩陣知a1,氣是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因此F 2 4 -11、f 0 -6 -3 -915151515T33 -3-30 -12 -6 -18(-1 -1 11)0426F0 0 0 0、13 0 20000.10 2 13 )(2)解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換T7此變換保持列向量間的線(xiàn)性關(guān)系L(a ,a ,a ,a )的維數(shù)實(shí)是2，而a ,a是它的一個(gè)基.123413在R4中求出向量組 a 2, a,氣,a5的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，然后用它表出剩余的向量.這里a1

23、 = (2,1,3,1),氣=(1,2,0,1),氣=(-1,1,-3,0), a4 = (1,1,1,1)a5 = (0,12,-12,5).解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換(21-110 )0-10-5 )121112T-101-1230-31-1230-31-121V110157V 11015 7(000-1-3(00013 )-101-12T-10105000-2-6000001V 11015 /1V 1100 2T是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并且有由右方矩陣知?dú)猓瑲?，氣a =a -a ,a = 2a + 5a由右方矩陣知?dú)?，氣，氣求M3(F)中與矩陣A可交換的矩陣構(gòu)成的子空間的維數(shù)及一個(gè)基，其中1

24、 0 0、A =010.3 1 2)(4)解設(shè)這個(gè)子空間為W,由于A = I + B,這里(0 0 0)B =0 0 0V3 1 17因此與A可交換的3階方陣，就是與B可交換的3階方陣，從而 W = X g M3(F)1 BX = XB.任取 C g W, C = (c ).由 BC = CB ,可得 c = c = 0,3 c + c + c = 3c , ij1323112131333c + c + c = c，于是C gW當(dāng)且僅當(dāng)C的元素為齊次線(xiàn)性方程組12223233f c = 3c c + 3cW3%-% &33的解.于是我們得到如下矩陣(1 0 0)(010)(0 0 0)-3 0

25、 0,0 -3 0,-1 0 0V 0 0 07V0 0 0?V 1 0 0 7它們構(gòu)成W的一個(gè)基，故W的維數(shù)是5.求實(shí)數(shù)域上關(guān)于矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間V的一個(gè)基與維數(shù).其中-1+七-1+七瓦2A = 00 0(5)解因 3 = 1,所以(1A(1A2 = 2,A3 =(1易證I, A, A2線(xiàn)性無(wú)關(guān).于是任何多項(xiàng)式f (A)( fe R切皆可由I, A, A2線(xiàn)性表示,故I, A, A2為的一個(gè)基，dimV = 3.(6)設(shè)(x , x , x, x )為向量& 關(guān)于基以=(1,0,0,1)，以=(0,2,1,0), a = (0,0,1,1), TOC o 1-5 h z

26、1234123a = (0,0,2,1)的坐標(biāo)；(y , y , y , y )是&關(guān)于基P , P, P , P的坐標(biāo)，其中y = x ,1234123411y = x 一 x , y = x 一 x , y = x 一 x .求基 P , P , P , P .2213324421234(x 1(y 111(a ,a ,a ,a )x2=(P , P , P , P )y21234x1234y33Y y4 J且(6)解因& =(y 1(100101(x11(x11y-1100 xx2=2=P2y0-110 xx333y J40-101JV3x43x4Vx4 JI 1(a , (a , a

27、,a ,a=(p, p, p, p) P1234于是(a ,a , a ,a ) = (于是(a ,a , a ,a ) = (0 ,0 ,0 ,0 ) P,即12341234(0,0 , 0 , 0 ) = (a , a , a , a ) P-112341234故所求的基為01 = d243), 02 = (0242), 03 = (O1), 04 = (OO, 2D. 設(shè)a1,a2, ,a是n維向量空間V的一個(gè)基，aa1 +a2,a. +a2 +a 也是V的一個(gè)基，又若向量&關(guān)于前一個(gè)基的坐標(biāo)為(n, n -1,2,1),求&關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo).解基氣,a到后一個(gè)基的過(guò)渡矩陣為那么=P-

28、1 (1=P-1 (1-0-110-1.0.0.0. 0故&關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo)為(1,1, ,1). TOC o 1-5 h z 已知 R 3的一個(gè)基為a (11,0),a2 = (0,0, 2),a3 = (0,3,2).求向量& = (5,8, -2) 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo).解設(shè)E= x a + x a + x a ,的方程組112233x1=5 x + 3 x = 82 + 2 x3 =-2i 23解得氣=5, x2 = -2, *3 = 1.故& 關(guān)于基,a2 a3 的坐標(biāo)(5-2,1).已知a1 = (2,1,-1,1),a2 = (0,3,1,0), a3 = (5,3,2,1)% =

29、 (6,6,1,3)是 R4 的一個(gè)基.求R4的一個(gè)非零向量& ,使它關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)與關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)相同 解由標(biāo)準(zhǔn)基點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) 到基a ,a ,a ,a的過(guò)渡矩陣為12341234(2 0 5 6)13 3 6P =-112 1、1 0 1 3 /設(shè)&關(guān)于兩個(gè)基的坐標(biāo)為3, X , X, x ),則1234xx11xx2 =P2xx33xxlX4頃4 /即得齊次線(xiàn)性方程組x + 5 x + 6 x = 0 x + 2 x + 3x + 6 x = 0 TOC o 1-5 h z 1334x + x + x + x = 01234x + x + 2 x = 0解得氣=x2 = x3 = -x4,

30、令 x4 = k 豐 0, k e R,則膳=(-k, -k, -k, k)即為所求.已知R4的一個(gè)基a1 = (2,1,-1,1),a2 = (0,3,1,0), a3 = (5,3,2,1) a 4 = (6,6,1,3).求& = (x , x , x , x )關(guān)于基a ,a ,a ,a的坐標(biāo).12341234(10)解由標(biāo)準(zhǔn)基到所給基的過(guò)渡矩陣為(2056 )1336P =-1121 1013JJ那么xx11xxg =任:點(diǎn)， , )2=(a ,a ,a ,a )P-121234x1234x33x4YV x4 J故&關(guān)于基a ,a ,a ,a的坐標(biāo)為(y, y , y , y ),這

31、里123412341/3-1-11/9 )=P-11/274/9-1/3-1/3-1-11/9 )=P-11/274/9-1/3-23/ 271/3-2/3-7/27-1/91/326/27x1 x J3 八七7五證明題 設(shè)嗎,吧為向量空間v(F)的兩個(gè)子空間.證明：?jiǎn)岚墒荲的子空間.嗎 W 是否構(gòu)成V的子空間，說(shuō)明理由.e嗎e嗎吧,k e F ,易知1)顯然0e嗎 W2,即W W2W,任取氣a +a e W W,ka e W W ,故W W是V的子空間. TOC o 1-5 h z 1212112122)不一定.直嗎J W2或W 嗎時(shí)，氣 W是V的子空間.但當(dāng)嗎與W互不包含時(shí),u時(shí),W W不

32、是V的子空間.因?yàn)榭偞嬖赼 e W ,a史W及a e W ,a史W使1211122221ua ,a e W W ,而a +a w W W ,因?yàn)檫@時(shí)a +a史W,a +a史W ,否則與選12121212121122取矛盾.uu(2)設(shè)w,W2為向量空間V的兩個(gè)子空間.證明：w+ W2是V的即含W又含W2的 最小子空間.(2) 證明 易知 W + W = a +a I a e W,a e W 為V的子空間，且12121122W J W + W , W J W + W .112212設(shè)W為V的包含W與W的任一子空間，對(duì)任意& e W,& e W，有& +& e W ,即12112212嗎+ W J

33、 w ,故W + W是V的即含嗎又含W2的最小子空間.(3)設(shè)嗎,吧為向量空間V(F)的兩個(gè)子空間.a, P是V的兩個(gè)向量，其中a e W , 但a W嗎，又P W W.證明：1)對(duì)任意 k e F, P + ka w W ；22)至多有一個(gè)k g F,使得6 + kaG W.1(3)證明1)任意 1)任意 k g F,若 6+ kaG W ,2則6= (g心-gW2矛盾，故D成立.2)當(dāng)6 g嗎時(shí)，僅當(dāng)k = 0時(shí)，有6+ ka2)當(dāng)6 g嗎時(shí)，僅當(dāng)k , k g F, k 豐 k 使得 a = 6+ k a g W, a = 6+ k a g W,則 a -a = (k k )a g W,

34、121211122112121因此a g W,矛盾，故2)成立.(4)設(shè)嗎,吧為向量空間V的兩個(gè)子空間.證明若嗎+ W2 =嗎 W2,則嗎o吧或U(4)證明因W吧含W與W中所有向量, (4)證明因W吧含W與W中所有向量, ua1 +a2(a1 gW,a2 gW)的向量，12W1 + W2含一切形如a +a g W因?yàn)閱? W =嗎 W ,U若a1 +a2 g W,令a1 +a2 = 6 ,則氣=6七故吧O Wi :若a +a2 g W2,a1 +a2 =y ,則叫=y -a2,故W o W .(5)證明：n維向量空間V中，任意n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都可作為V的一個(gè)基.(5)證明設(shè)A，% ，a n是

35、V中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，的的單位向量匕，*，V = L(* ,* , ,* ),且a ,a , ,a中每一個(gè)可由* ,* , ,*線(xiàn)性表示.由替換定理知12n12n12na ,a , ,a與* ,* , ,*等價(jià)，所以V中每一個(gè)向量可由a ,a , ,a線(xiàn)性表示，又12n 12n12n aa2, ,an線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故aa2,，氣可作為V的一個(gè)基. 設(shè)V為n維向量空間，V中有m組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，每組含t個(gè)向量，證明：V 中存在nt個(gè)向量與其中任一組組成V的一個(gè)基.(6)證明設(shè)V中m組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量分別為a氣2,氣(i = 1,2, , m), t n.令V = L(a ,a , ,a ),則 dim

36、V = t n .因存在七冬 V,(i = 1,2, , m),使 TOC o 1-5 h z ii1 i 2iti1 i a ,a , ,a ,&線(xiàn)性無(wú)關(guān)，若t +1 但A可逆，故X2 + x, X2 - x, X +1是F X的一個(gè)基.22 x 2 + 7 x + 3關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)(3, -1,3),因?yàn)?因?yàn)?1A-13(11)若W1W2, W3都是E子空間，求證:嗎(嗎 W2) + W嗎(嗎 W2) + W)=(嗎 W2) + (嗎 W).(11)證明:任意 ae W (W W) + WJ)a =a +a ,a e W W% e W ,但a e W ,知a e W W ,131123

37、3ae (嗎 W) + (W W).反之，任意Pe (Wi W) + (嗎W3),W ) + W,故P eW,則ae W ,且 ae (W W) + W,因此A 23故P = P +P ,P eW1211(嗎 w2)+w). n rv n P e 嗎,且 P e (W2(12)設(shè)W,W2,W是n維向量空間V的子空間.如果W + W2 +w為宜和.證明：W. Wj = 0,i 豐 j,i, j = 1,2, ,s.zn證明：由W1+ W2 + + W為宜和，有W. (E W.) =0,，豐 j,i, . = 1,2, , s,而 TOC o 1-5 h z 1 2jW. Wg W. (Ew. )

38、 = 0,i 豐 j, i, j = 1,2, , s.故 rv” 7W. W. = 0,i 壬 j,i, j = 1,2, , s.n設(shè)W, W分別是齊次線(xiàn)性方程組% + % + + x = 0與x = x = = x的解空間.1212n12n證明：Fn =嗎+ W . 證明 因%1 + %2 + %n = 0的解空間的維數(shù)為n-1 ,且一個(gè)基為% = (-1,1,0, ,0), a2 = (-1,0,1,0, ,0),a 1 = (-1,0, ,0,1),又 = %2 = % TOC o 1-5 h z 即方程組 %】.%2 = 0. . . . % 一 % = 0(19)證明 實(shí)數(shù)域R作

39、為它自身上的向量空間與全體正實(shí)數(shù)集R +對(duì)加法：ab = ab,與純量乘法：k a = ak構(gòu)成r上的向量空間同構(gòu).證明：定義b : xax (a 1)o顯然b是R到R +的映敝x, y e R ,若x豐y,則a豐ay,所以b為單射；任意b e R + ,因b = a log? ,log二e R ,貝g (log a) = b,即b為滿(mǎn)射.從而b為雙射.任 x, y e R,b(x + y) = ax+y - axay - ax ay -b(x)b(y).任 k e R,b (kx) akx (ax)k k ax k b (x),于是b是R到R+的同構(gòu)映射.故R = R+. oo(20)設(shè)V是

40、數(shù)域F上無(wú)限序列(a , a ,)的集合，其中a e F,并且只有有限a不 12ii是零.V的加法及F中的數(shù)與V中元的純量乘法同F(xiàn)n,則W構(gòu)成F上的向量空間.證明: V與Fx同構(gòu).證明：取Fx的一個(gè)基1,x, x2,則Fx中任一多項(xiàng)式f (x) a + ax + + a xn 關(guān)于這個(gè)基有唯一確定的坐標(biāo)(a0, a1, , a” ,0, ) e V . 定義b : f (x)(a0,a., ,a”,0,) 則b是Fx到V的一個(gè)同構(gòu)映射，故Fx三V. 向量空間自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分) 設(shè)n元齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩r 1B. r 0C.它有一個(gè)部分向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.它的所

41、有部分向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè)矩陣A為n階方陣且| A | = 0,則（）A中必有兩行或兩列的元素對(duì)應(yīng)成比例.A中至少有一行或一列的元素全為零；A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的線(xiàn)性組合；A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的線(xiàn)性組合.設(shè)有向量組和（口），線(xiàn)性相關(guān)，（口）也線(xiàn)性相關(guān)，且組可由組（口）線(xiàn)性表示，則（線(xiàn)性表示，則（）成立其中：a1a 2，a , (口): P1, P2,PA. r A. r sC. r 秩（口）D.秩 n是n維向量組a 1, a 2，a皿線(xiàn)性相關(guān)的（）條件A.充分B必要 C,充分必要D.必要而不充分二、判斷說(shuō)明題（先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡(jiǎn)述理由，每小題5分，共2

42、0分）設(shè)a 1, a 2是AX = 0的基礎(chǔ)解系，則a1 +a2,a1 -a2也是它的基礎(chǔ)解系.若x , x , , x是AX = b的解，則它的任意線(xiàn)性組合也是AX = b的解. TOC o 1-5 h z 12nW = a x3 + a x2 + a x + a I a e R且a = a ,a = -a 的維數(shù)等于2.3210 i3120F上向量空間V若含有一個(gè)非零向量，則它必含有無(wú)窮多個(gè)向量.三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共10分）設(shè)x ,x ,x 是 AX = b 的解其中 A 為 5乂 4矩陣（A） = 3.。若x = （1,2,0,1），1231x 2 + 3x3 = （2,1,5,試

43、寫(xiě)出該方程組的全部解.已知P可由a 1，a 2，a線(xiàn)性表出，那么，在什么情況下，表示 法唯一四、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1.試將P1.試將P用向量組以，a2，a3，a4線(xiàn)性表出，其中a1 = （1,5,4,1）r，a =(-1,0,1,1)，a =(2,4,2,1)， a a =(-1,0,1,1)，a =(2,4,2,1)， a =(1,2,0,1)，234P = (1,3,1,0).2.已知W = I a, b e R, W = 20 I a ,c e R,是M (R)的兩個(gè)子0)1 12空間，求WC W2,W + W2的一個(gè)基和維數(shù).3已知a關(guān)于基吧,P2, P3的坐標(biāo)為（1，0，

44、2），由基aa2,a3到基P ,6 ,6 的過(guò)渡矩陣為31 2 3224，求 a關(guān)于基a1 0,a2,a3的坐標(biāo).x + x - 3x - x = 2、 、. ，卜卜x x + 2x x = 1上,人.一4.求非齊次線(xiàn)性方程組234.的全部解.4 x - 2 x + 6 x + 3 x - 4 x = 8123452 x + 4 x - 2 x + 4 x - 7 x = 9五、證明題（每小題9分，共18分）1A1 .設(shè)A是任一矩陣，將A任意分塊成A= .2 ,證明：n元齊次線(xiàn)性. TOC o 1-5 h z 方程組AX = 0的解空間V是齊線(xiàn)性方程組A工=0的解空間U的交，Z = 1,2,.

45、,s. ii2.設(shè)向量組a , a ,，a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量0可由它線(xiàn)性表示，而向12m1量B不能由它線(xiàn)性表示.證明：m+l個(gè)向量a , a ,，a ，/P+P必線(xiàn)212m12性無(wú)關(guān).線(xiàn)性空間習(xí)題一、填空題/ 00 a1、已知u = 是R 3x3的一個(gè)子空間，則維(V )=,oc + bojV的一組基是. TOC o 1-5 h z 2、在 R 中，若 a =(1,2,0,1),a = (1,1,1,% =(1人,l,l),a = (0,1/,1)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，1234則化的取值范圍3、已知。是數(shù)域P中的一個(gè)固定的數(shù)，而W = (q,x,)|x e P,z = 1,2, ,1 n i是Pn的一個(gè)子空間

46、，則。,而維(W) =. . 4、設(shè)月是數(shù)域P上的維列向量空間，Ae尸 x 且A2 =A，記W =AX|X gP, W =XX ePnAX =0. TOC o 1-5 h z 則w、w都是月的子空間，且w +w =, w w =.1212125、設(shè)上，8是線(xiàn)性空間V的一組基，+x +xs P則由基8點(diǎn)點(diǎn)到基123112233123 土 土的過(guò)渡矩陣T=，而a在基8 ,8 ,8下的坐標(biāo)是.123123二、判斷題1、設(shè)U = Rx，則W = A|AePx，|A| = 0是V 的子空間.2、已知V = 0 + bi,c + di) Q,b,c,d cR)為R上的線(xiàn)性空間，則維(V ) =2.3、設(shè)A

47、, B e P心,V是：j X = 0的解空間，V 1是AX =0的解空間，V 2是k B )(A + B) X=0的解空間，則V=匕匕.4、設(shè)線(xiàn)性空間V的子空間W中每個(gè)向量可由W中的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組，氣線(xiàn)性表出，則維(W ) = s .5、設(shè)W是線(xiàn)性空間V的子空間，如果a, P e V,但辱 W且0任W，則必有a + 務(wù)任W.三、計(jì)算題1、在線(xiàn)性空間P2x2中，1 2-1 12 -11 -1、A =,A =,B =,B =1J 0)，223 7 )求L(A1,A2)L(B1,B2)的維數(shù)與一組基.求L(A1, A2) + L(B1,B )的維數(shù)與一組基.2、在線(xiàn)性空間P4中，求由基a ,a ,a ,a到基0 ,0,0 ,0的過(guò)渡矩陣，并求 12341234a = (1,4,2,3)在基ai,a2,a3,a4下的坐標(biāo)，其中ai = (1,0,0,0), a2 = (4,1,0,0),氣=(-3