線性代數(shù)知識點歸納

1、第第1頁哄20頁第第1頁哄20頁線性代數(shù)復(fù)習要點第一部分行列式排列的逆序數(shù)行列式按行（列）展開法則行列式的性質(zhì)及行列式的計算行列式的定義1.行列式的計算：aa11行列式的定義1.行列式的計算：aa1112aa（定義法）D二n2122aan1n2a1na2nann二工(一l)T(jj2丿；)aaa.1j12j2njnj1j2jn思考題；用定義計算行列式-1012D003-2031-1-1r(2134)=1-2t(2143)2-2r(2413)-3-1r(2431)=4故Z?-3+2-l.2-9-4（降階法）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和

2、.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.|a|,i=j,aA+aA+aA丨i1j1i2j2injnI0,i豐j.（化為三角型行列式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.第第2頁 頁9共20頁O：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān);一定有n個線性無關(guān)的特征向量.若a有重的特征值，該特征值九的重數(shù)二n-r（九E-A）；ii必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；兩個實對稱矩陣相似o有相同的特征值.9.正交矩陣AAt=E正交矩陣的性質(zhì)：At=

3、A-1；AAt=AtA=E；正交陣的行列式等于1或-1；A是正交陣，則At，a-1也是正交陣；兩個正交陣之積仍是正交陣；A的行（列）向量都是單位正交向量組.10.求正交矩陣把實對稱矩陣川化為對角陣的方法；解特征方程a-ae=q.求出對稱陣的全部不同的特征值人&對每個特征值人，求出對應(yīng)的特征向量，即求齊次線性方程組-E）x=0的基礎(chǔ)解系。3將屬于每個人的特征向量先正交化，再單位化“這樣共可得到亍兩兩正交的單位特征向量712?施密特正交規(guī)范化4.以巧詡汀，為列向量構(gòu)成正交矩陣丁=%m有7=A施密特正交規(guī)范化Q,卩）R-1p（卩，P）i11卩=U33卩=U3331P（P，P）13=3=技巧：取正交的

4、基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.第四部分二次型1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式3.正定矩陣的判定1-二次型fS兀1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式3.正定矩陣的判定1-二次型fS兀2,xn）=隘axx=（x,x,x）ijij12ni=1j=1zaiia21an1=xtAx其中A為對稱矩陣，A與A與B合同CTAC=B.(A,B為實對稱矩陣,C為可逆矩陣)正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)P負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)r-p符號差2p-r(r為

5、二次型的秩)兩個矩陣合同O它們有相同的正負慣性指數(shù)O他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.兩個矩陣合同的充分條件是：A與B等價兩個矩陣合同的必要條件是：r(A)=r(B)化為f=化為f=dy2標準形|ii12.f(x,x,x)=xTAx經(jīng)過f合同變換x=Cy2.12n可逆線性變換正交變換法用正交變換化二次型為標準形(規(guī)范形)的具體步驟1將二次據(jù)表成越陣J目式f=求出比2,求出d的所有特征值石山“A；3-求出對應(yīng)于特征值的持征向M乩L點：4將特征向量鼻鼻點正交他單位化，得處加皿、記尸=(%/-)：5.作iF殳變換t=卩齊則得/的標準形f=+石必配方法(1)若二次型含有x的平方項，則先把含有X的乘積項集中

6、，然后配方，再對其余的變量同樣進行,TOC o 1-5 h zii直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形；若二次型中不含有平方項，但是aj豐0(i豐j),則先作可逆線性變換x=y-y(k=1,2,(k=1,2,n且k主i,j),0-正定矩陣正定二次型對應(yīng)的矩陣.f(x)=xTAx為正定二次型o(之一成立)：VxHo，xtAx0；A的特征值全大于0；f的正慣性指數(shù)為n；A的所有順序主子式全大于0;A與E合同，即存在可逆矩陣C使得CtAC=E；(6)存在可逆矩陣P，使得A=PTP；(1)合同變換不改變二次型的正定性.A為正定矩陣na.0；|A|0.A為正定矩陣nAt,A-1,A*也

7、是正定矩陣.A與B合同，若A為正定矩陣nB為正定矩陣A,B為正定矩陣nA+B為正定矩陣，但AB,BA不一定為正定矩陣.半正定矩陣的判定實二抿型了的恐.半?yún)d定O秩秩(A)=P(正慣性指數(shù))oA與非負對角陣合同，即存在可逆矩陣U使tAC=Oj=1,2存在Ce,使a=CtCq獰的所有主子式全大于或等于零-一些重要的結(jié)論A可逆r(A)=nA的列(行)向量線性無關(guān)A的特征值全不為0|A|豐0oAx=o只有零解oVxho|A|豐0oV卩w欣n,Ax=卩總有唯一解AtA是正定矩陣A仝EA=pppp是初等陣12si存在n階矩陣B,使得AB=E或AB=E(注：全體n維實向量構(gòu)成的集合底n叫做n維向量空間.A不可逆r(A)n|A|=0oA的列(行)向量線性相關(guān)0是A的特征值A(chǔ)x=o有非零解，其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于九=0的特征向量第第20頁（共20頁第第20頁（共20頁向量組等價具有反身性、對稱性、傳遞性矩陣等價（二）矩陣相