線性代數復習

1、線性代數期末復習提綱第一部分：基本要求（計算方面）1 四階行列式的計算；2 N 3 4 5 含參數的線性方程組解的情況的討論；6 7 討論一個向量能否用和向量組線性表示；8 討論或證明向量組的相關性；9 求向量組的極大無關組，并將多余向量用極大無關組線性表示；10將無關組正交化、單位化；11求方陣的特征值和特征向量；12討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；13通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；14寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化，寫出變換矩陣；15判定二次型或對稱矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1行列式的定義aaaaaa112112221n2n2n

2、an稱為 階行列式。用個元素組成的記號ij aaan1n2nn（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 個元素乘積的代數和；（2）展開式共有 項，其中符號正負各半；2行列式的計算 a1 一階行列式 a，二、三階行列式有對角線法則；2 N 階（n3）行列式的計算：降階法定理：n 階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。 0，利用定理展開降階。3 特特情況（1）上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為 0 的幾種情況： 行列式某行（列）元素全為 0； 行列式某行（列）的對應元素相同； 行列式某行（列）的元素對應成比例； 奇數

3、階的反對稱行列式。二矩陣12矩陣的運算（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；（2）關于乘法的幾個結論：矩陣乘法一般不滿足交換律（若 ABBA，稱 A B矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若 A、B 為同階方陣，則 kn A；3矩陣的秩（1）定義 非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為 0 求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4逆矩陣（1）定義：、B 為 n 階方陣，若 BAI，稱 A可逆，B 是 A B A A1（2）性質：， A；1111

4、（3）可逆的條件：AI 0A； r(A)=n; （4）逆的求解伴隨矩陣法 A1 1 A ；* AAI 換 IA1初等變換法5用逆矩陣求解矩陣方程： B A，則 X A B；1 AX XB1，則 X BA ；AXBC ，則 X A CB11三、線性方程組1線性方程組解的判定 r(,b) r()r(,b) r() n r(,b) r() n定理： ( ) ，只有零解r A nr()，有非零解；AX O ，特別地：對齊次線性方程組A 0A再特別，若 為方陣，A =02齊次線性方程組（1）解的情況：0 D）只有零解； 0）有無窮多組非零解。（2）解的結構：X cc2 cnr nr。1 12（3）求解的

5、方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應同解方程組；移項，利用自由未知數表示所有未知數；表示出基礎解系；寫出通解。3非齊次線性方程組（1）解的情況：利用判定定理。（2）解的結構：X ucc2 cnr nr。1 12（3）無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法：四、向量組1N 維向量的定義2向量的運算：（1 a b a b a b（2）向量內積（3）向量長度；1 12 2n n a a 2 a2212n；（4）向量單位化1（5）向量組的正交化（施密特方法） , ,設線性無關，則12n ，11 2 1，221 1 3 13 2，。3312 2 1

6、123線性組合（1 若可以用向量組 k 是向量組 , , kk1 122的一個線性表示。nn12n , ,12n（2）判別方法 將向量組合成矩陣，記 , , , , , )()，B=(12n12n , ,的一個線性表示；若 r (A)=r ，則 可以用向量組1，則 不可以用向量組2n , ,的一個線性表示。若 r (A) r (B)12n（3）求線性表示表達式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數。4向量組的線性相關性（1）線性相關與線性無關的定義0，k k設k1 122nn,k ,k若k1若k1不全為0，稱線性相關；全為0，稱線性無關。2nn,k ,k2（

7、2）判別方法： , , r()n，線性相關；)=n，線性無關。12n , ,r(12n若有 n 個n 維向量，可用行列式判別：aaaaaa112112221n2n0，線性相關（ 0無關） aaan1n2nn5極大無關組與向量組的秩（1）定義 極大無關組所含向量個數稱為向量組的秩 , ,（2）求法 設 ()，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非12零元所在列的向量就構成了極大無關組。n五、矩陣的特征值和特征向量1定義 對方陣 A，若存在非零向量X 和數 使AX X，則稱 是矩陣 A 的特征值，向量X 稱為矩陣A 的對應于特征值 的特征向量。2特征值和特征向量的求解： 0 的根

8、即為特征值，將特征值 代入對應齊次線性方程組( I-A)X0 中求求出特征方程 I A出方程組的所有非零解即為特征向量。3重要結論：（1）A 可逆的充要條件是A 的特征值不等于0；（2）A 與A 的轉置矩陣有 A 有相同的特征值；（3）不同特征值對應的特征向量線性無關。六、矩陣的相似1定義 對同階方陣 A、B，若存在可逆矩陣P，使P AP B ，則稱 A 與B 相似。2求 A 與對角矩陣相似的方法與步驟（求P 求出所有特征值；1求出所有特征向量；若所得線性無關特征向量個數與矩陣階數相同，則 A n 個線性無關特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣 P，依次將對應特征值構成對角陣即為。3求通過正交變換 Q 與實對稱矩陣A 相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型 n,x ,x a x xa 0 i j，則稱為二交型1定義 n 元二次多項式 f x稱為二次型，若12nijijij的標準型。i,j12二次型標準化：配