一種“有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則”的證明方法

1、一種“有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則”的證明方法1）摘要 以剛體的平面運(yùn)動(dòng)為理論依據(jù)，提出并證明了兩個(gè)關(guān)于虛鉸和無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征定理，在此 基礎(chǔ)上提出了針對(duì)有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的通俗證明方法，填補(bǔ)了現(xiàn)行教材中對(duì)這一規(guī)則沒(méi)有詳細(xì)證明的 空白，為能深刻理解平面體系幾何組成提供幫助，為建立新的平面體系幾何組成分析方法提供思路。關(guān)鍵詞 幾何組成，三剛片規(guī)則，無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸，運(yùn)動(dòng)學(xué)A PROOF OF THREE-RIGID PANEL RULE WITHINFINITE VIRTUAL HINGE1）Abstract Based on the plane motion of the rigid bod

2、y, two theorems of kinematic characteristics of the virtual hinge and the infinite virtual hinge are proposed and proved. On this basis, a proof of the three rigid panel rule with infinite virtual hinge is given, which can help understanding better the geometric composition of the plane system and d

3、eveloping a new geometric composition analysis method of the plane systemKey words geometric composition, three rigid panel rule, infinite virtual hinge, kinematics三剛片規(guī)則是平面體系幾何組成分析的核心方 法，對(duì)于規(guī)則中含有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸（連接兩剛片的兩平 行鏈桿）的情形，往往是教學(xué)難點(diǎn)，由于現(xiàn)行教材璀 中均沒(méi)有對(duì)這一情形詳細(xì)易懂的證明，影響了學(xué)生對(duì) 知識(shí)的理解。相關(guān)文獻(xiàn)3-4雖給出了證明方法，但 采用的是本科階段并未涉及的射影幾何知識(shí)

4、，無(wú)助 教學(xué)應(yīng)用。本文應(yīng)用理論力學(xué)51中剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí), 分析了虛鉸和無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，提出了兩 個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)定理，在此基礎(chǔ)上結(jié)合其他運(yùn)動(dòng)學(xué)基本理 論，針對(duì)有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則，給出了詳細(xì)且 簡(jiǎn)明的證明，方便了學(xué)生更好理解這一規(guī)則，也開(kāi)拓 了平面體系幾何組成分析的新思路。1兩個(gè)定理及其證明1.1定理一：兩剛片（或其擴(kuò)展部分）在虛鉸處速度 相等證明：設(shè)剛片I和剛片II的角速度矢分別為 和32，它們?cè)?。點(diǎn)（兩剛片上或剛片的擴(kuò)展部分上 與虛鉸位置重合的點(diǎn)）的速度矢分別為Vol和VO2, 桿AC和桿BD的角速度矢分別為3AC和3BD， 并設(shè)矢量 AC = aOA，BD = bOB，如圖1。對(duì)

5、剛片I和剛片II，分別以。點(diǎn)為基點(diǎn)，有VA = Vol + 31 X OA（1）VB=Voi + 3i x OB(2)VC=VO2 + 32 x OC =VO2 + (1 + a)32 x OA(3)VD=VO2 + 32 x OD =VO2 + (1 + b)32 x OB(4)對(duì)桿AC和桿BD,分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基 點(diǎn)，結(jié)合式和式有vc = voi + x OA + a!ac x OA (5) vd = voi + !i x OB + bapd x OB (6)式減去式(3),式(6)減去式(4),得voi - V02 = ai + a!AC - (1 + a)a2 x OA =+ b!B

6、D - (1 + b)!2 x OB(7)注意到桿AC和桿BD不平行，即OA和OB 不平行，若要式成立，必有!1 + a! AC (1 + a)!2 =!1 + b!BD - (1 + b)!2 = 0此時(shí)可得：Voi = VO2，于是兩剛片(或其擴(kuò)展部 分)在虛鉸處速度相等”成立。1.2定理二：無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩 剛片，角速度相等證明：設(shè)剛片I的速度瞬心為O點(diǎn)，剛片I和 剛片II角速度矢分別為！i和32,兩平行鏈桿AC 和BD的角速度矢分別為3AC和3BD，如圖2。對(duì) 桿AC和BD，分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn)，有vc = 3i x OA + 3AC x AC(8)vd = 3i

7、x OB + 3Bd x BD(9) 對(duì)剛片II，以D點(diǎn)為基點(diǎn)，結(jié)合式有vc = 3i x OB + 3Bd x BD + 32 x DC (10) 式(10)減去式(8)，并將BA = OA - OB和 DC = BA + AC - BD 代入，得(32 3i) x BA = 32 x (BD AC) +3AC x AC 3b d x BD(11)式(11)等號(hào)左側(cè)的結(jié)果矢量在平面內(nèi)垂直BA；由 于桿AC和桿BD平行，故等號(hào)右側(cè)的結(jié)果矢量在 平面內(nèi)垂直AC或BD，又由于BA不可能與AC 或BD平行，若要式(11)成立，必有等號(hào)兩邊都 為0,得：32 = 3i，于是“無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈 桿

8、)連接的兩剛片，角速度相等”成立。圖22有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明2.1有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的情形三剛片規(guī)則中，若有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸，且它不與 另兩鉸的連線平行，規(guī)則仍然成立，即體系是無(wú)多余 約束的幾何不變體系，如圖3。證明：固定剛片III,由定理一可知?jiǎng)偲琁在 虛鉸A處及剛片II在虛鉸B處的速度必均為零, 因此若剛片I和剛片II能動(dòng)，則只能分別繞龍和 B轉(zhuǎn)動(dòng)，又因?yàn)橛脽o(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知 剛片I和剛片II的角速度相等，設(shè)為!，如圖4。 設(shè)A和B到鏈桿CD的距離分別為a和b，不難 得出C和D兩點(diǎn)的速度在鏈桿CD上的投影分別 為：VCD = 3 - a，vDc = 3 - b。在鏈桿GO上

9、根據(jù)速度 投影定理，得VCD = VDC n 3 - a = 3 - b(12)考慮到鏈桿CD與兩虛鉸A和B的連線不平 行，即a = b，若要式(12)成立，只能有3 = 0,這 表明剛片I和剛片II均只能固定不動(dòng)，即體系幾何 不變。2.2有兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的情形三剛片規(guī)則中，若有兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸，且它們不 平行，規(guī)則仍然成立，即體系是無(wú)多余約束的幾何不 變體系，如圖5。證明：固定剛片III，由于與剛片III均由無(wú)窮 遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知若剛片I和剛片II能動(dòng), 則只能分別沿垂直無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動(dòng)，設(shè)它們的 速度矢分別為處和如，如圖6。因?yàn)閮蔁o(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸 不平行，故必有V1 = v2,剛片I和剛

10、片II由虛鉸A 連接，由定理一知它們?cè)谔撱qA處的速度相等，即 V1 = V2,于是只能有V1 = V2 = 0，這也表明剛片I 和剛片II只能固定不動(dòng)，即體系幾何不變。2.3有三個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的情形三剛片規(guī)則中，若連接三剛片的三個(gè)鉸均為無(wú) 窮遠(yuǎn)虛鉸，則體系是幾何可變體系，如圖7。證明：固定剛片III，由于與剛片III均由無(wú)窮 遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知若剛片I和剛片II能動(dòng), 仍只能分別沿垂直無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動(dòng)(即兩剛片 角速度均為0,自然滿足定理二)，設(shè)速度分別為vi 和V2,如圖8。此時(shí)只要vi和V2沿連接剛片I和剛 片II的無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸方向上的分量相等，即滿足速度 投影定理，于是vi和V2可不

11、必都為0,這表明剛片 I和剛片II至少有一個(gè)可動(dòng)，即體系幾何可變。3結(jié)語(yǔ)本文利用理論力學(xué)中剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，解 決了結(jié)構(gòu)力學(xué)中有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明 問(wèn)題，不僅使結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)更易于理解、掌握，也直 觀體現(xiàn)了理論力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在力學(xué)學(xué)習(xí)中的意義與 價(jià)值，還為力學(xué)教學(xué)中各課程的交叉融合提供了很 好示范。以本文對(duì)有無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明為 啟發(fā)，在平面體系尤其是復(fù)雜體系（不能用兩剛片規(guī) 則或三剛片規(guī)則等基本方法分析的體系）的幾何組 成分析中，可嘗試建立基于剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)基本理 論的新的分析方法。以圖9的復(fù)雜體系為例I，簡(jiǎn)要 說(shuō)明這一分析方法。根據(jù)式（13）不難得到和VE均為0,于是各結(jié)點(diǎn) 均固定不動(dòng)，即體系幾何不變，求出體系的計(jì)算自由