二、三重積分中值定理地證明與應(yīng)用

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔文檔數(shù)學(xué)分析自主研究課題:二、三重積分中值定理的證明和應(yīng)用 摘要：本報(bào)告探究的是由積分第一中值定理和推廣的 積分第一中值定理引伸出的推廣形式的二重積分中值 定理和二、三重積分中值定理的證明及其相關(guān)應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：積分第一中值定理，推廣形式的二重積分中 值定理，二、三重積分中值定理一、引言在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中我們已經(jīng)詳細(xì)了解了的積分第一中值定理（一重積分中值定理） 及其證明和應(yīng)用，而對二、三重積分中值定理并沒有給出詳細(xì)的證明和應(yīng)用，所以本報(bào)告將詳細(xì)的對其作出證明和說明其簡單的應(yīng)用二、積分第一中值定理（一重積分中值定理）（積分第一中值定理）若f在a,b上連續(xù)，則至少存

2、在一點(diǎn)&a,b,使得bf(x)dx f( )(b a).a和（推廣形式的積分第一中值定理）若f和g都在a,b上連續(xù)，且g（ x）在a,b上不變號，則至少存在一點(diǎn)a，b,使得bbf(x)g(x)dx f( ) g(x)dxaa(明顯當(dāng)g (x)1時，即為積分第一中值定理)三、推導(dǎo)二、三重積分中值定理及證明由積分第一中值定理我們類似的推導(dǎo)出二重積分中值定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在(,)D，使得f (x, y)d f( , )SdD這里Sd是區(qū)域D的面積.證明：由于f(x, y)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，Sd為這個區(qū)域的面積存在最大值M和最小值m，得m f (x, y) M, (x

3、, y) d ,使用積分不等式性質(zhì)得mSD f(x,y)d wMSd,D1即m f (x, y)d M.Sd d再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點(diǎn) (，)D,使1f( , )f(x, y)d ,Sd d即f(x,y)d f( , )SdD由此定理得證.那對于二重積分是否也存在推廣形式的二重積分中值定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，g(x,y)在D上可積且不變號，則存在一點(diǎn) (，)D，使得f(x, y)g(x, y)dDf(x, y)g(x, y)dDf( , ) g(x,y)dD顯然定理是存在的，下面我們就來證明一下證明：由于f(x,y)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，所以f(x,y)在D 上

4、存在最大值M和最小值m，有m f (x, y) 0時，有m g(x, y) f (x, y) ? g(x,y) 0時，由上式得Df(x,y)g(x, y)dg(x,y)dD知，至少存在一點(diǎn)(，)M ,M ,由閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)的介值定理D，使f(,)g(x, y)d ，f (x, y)g(x,y)dDf( , ) g(x,y)df (x, y)g(x,y)dDf( , ) g(x,y)dD同理可證當(dāng)g(x,y) 0時，f (x, y)g(x, y)d f (f (x, y)g(x, y)d f (,Dg(x，y)d也成立.由此，定理得證.特別的，當(dāng)g(x,y) 1時，即為二重積分中值定理三重積分中

5、值定理：若f(x,y,z)在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域V上連續(xù)，則存在(，)V,使得f (x, y,z)dV f( , , )VvV這里Vv是積分區(qū)域V的體積.證明：由于f(x,y,z)在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域V上連續(xù)，Vv為這個區(qū)域的體積.存在最大值M和最小值m,有m f (x, y, z) M,(x, y,z) V .使用積分不等式性質(zhì)得m Vvf(x,y,z)dV M Vv ,V1即m f (x, y,z)dV M.再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點(diǎn)(，)V使f(f(x,y,z)dVf(即f(x, y,z)dV f ( , , )Vv .V由此定理得證.同樣的，對于三重積分中值定

6、理，也有推廣形式的三重積分 中值定理，這里不詳細(xì)證明了.四、二、三重積分中值定理的應(yīng)用設(shè)f(x,y) ( f(x,y,z)有界閉區(qū)域 D(V)上的連續(xù)函數(shù)，D( V)是包含定點(diǎn) Po(xo，y0)( Po(xo，y0，Z0)的 D(V)的有界閉 子域，由積分中值定理得，存在(，)D(，) V),使f (x, y)d f ( , )S dD(f(x,y,z)dV f( , , )Vv)V其中顯然(，)D( ( , , ) V)，Sd(Vd)是區(qū)域D(V)的面 積(體積).當(dāng)D( V)的區(qū)域d趨于零，便有實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2x文檔2x文檔1ldm0S7 / （x，y）ddimV（，）f（x，

7、y。）.1（lim /（x，y，z）dV dim0f（，）f（x，y，z。）這個極限過程與證明變上限定積分對上限求導(dǎo)的極限過程 是類似的，所以上式的極限為重積分在點(diǎn)Po（Xo,yo）（Po（Xo,yo，Zo）處對區(qū)域的導(dǎo)數(shù).根據(jù)重積分中值定理，可以證得一個連續(xù)函數(shù)的重積分對區(qū)域的導(dǎo)數(shù)等于其被積函數(shù)例：估計(jì)積分1例：估計(jì)積分1|x |y 10 100 cos2x cos2 y 的值 .解：由于f(x, y)2 2loo cos x cos y在有界閉區(qū)域D (x,y)|x10上連續(xù)，則2D 1oo cos x12 2 cos y 100 cos礦？解：由于f(x, y)2 2loo cos x

8、cos y在有界閉區(qū)域D (x,y)|x10上連續(xù)，則2D 1oo cos x12 2 cos y 100 cos礦？（D ).而Sd 2oo,丄1o2121oo cos2COS10051my| 1100 cos2x cos2 y求極限:例1.求lim例1.求limof(x,y)d2 2y,其中f（x, y）為連續(xù)函數(shù)解：由積分中值定理，至少有實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔文檔D=(x,y)| x2 y22,使12f(x,y)df(,),lim0f(x, y)d2lini f( , ) f (0,0)0例2.證明limn.n /2sin (xy2)d(x,y)|0 x2y2證明：對（0,2）存在08e,有n 2sin (x0 x2 y2 -2y2)dn 2sin (xy2)dx2n :sin (x2yy2)d0 x2n 2|sin (x2y)|d2x2n 2|sin (x2y 2y2)dnsinx2nsin0,2-,所以|sin EN 時，有nsin a故上式為: n 22sin (x y )d0 x2 y2 -2lim sinn(x2 y2)d0nD五、體會通過這次的自主探究實(shí)踐， 讓我得出所研究課題的結(jié)論，讓我體會到數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系， 在學(xué)習(xí)的過程中不斷積累知識，從而去解決更深一層的問題， 做到不拋開條件去解決問題， 比如在證 明過程中用到