微積分第三版課件第三章第四節(jié)

1、第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分本節(jié)要點 本節(jié)通過有理函數(shù)的高斯分解建立了有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的不定積分二、可化為有理形式的三角函數(shù)的積分三、可化為有理形式的簡單無理函數(shù)的積分方法, 并討論某些可以化為有理函數(shù)的積分.本節(jié)要點 本節(jié)通過有理函數(shù)的高斯分解建立了有理函數(shù)的積一、有理函數(shù)的不定積分 1.有理函數(shù)的部分分式分解方法 有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù), 即具其中 為非零整數(shù), 都是實數(shù), 且有如下形式的函數(shù):一、有理函數(shù)的不定積分 1.有理函數(shù)的部分分式分解方法 有理函數(shù)可以分解成多項式與若干個部分分式之和, 假設(shè)多項式 之間沒有公因式, 且 的的次數(shù)

2、大于或等于 的次數(shù), 此時稱該有理函有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù), 它們一定可以通過有理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反正切函數(shù)表出.次數(shù)小于 的次數(shù), 此時稱該有理函數(shù)為真分式. 若數(shù)為假分式. 利用多項式的除法, 可將一個假分式化為一個多項式與一個真分式之和的形式. 有理函數(shù)可以分解成多項式與若干個部分分式之和, 例如 例如 由代數(shù)學知道, 多項式 總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分 其中 因此有理函數(shù)中的真分解成一次因式與二次因式的乘積, 即式可以分解成若干個部分分式之和. 由代數(shù)學知道, 多項式 總可以在理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)其中 等都是需要確定的常數(shù),方法一: 將部分分式通分后, 再比較分子系數(shù), 通

3、過解比較分子系數(shù), 得方程組:它們可以通過下面方法確定:方程組確定系數(shù). 例如:其中 即:方法二: 部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的 值從而確定常數(shù). 例如即:方法二: 部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的令 得 ;令 得 ; 將及 代入上式得 因此即:令 得 ;令 例 分解解 因 所以即有令 令令例 分解解 因 所以即有令 即有即有 2.部分分式的不定積分 當有理函數(shù)分解成多項式與若干個部分分式之和后, 只出現(xiàn)多項式與下列形式的部分分式. 故只需考慮下列形式的部分分式的不定積分. 2.部分分式的不定積分 當有理函數(shù)分解成多項式具體解法如下:具體解法如下:其中而其中而即于是 總

4、之, 有理函數(shù)分解成多項式與若干個部分分式之和以后, 各部分的不定積分都可以得到.即于是 總之, 有理函數(shù)分解成多項式與若干個部分分式例1 求積分解 例1 求積分解 例2 求積分解 因故例2 求積分解 因故例3 求積分解 因故例3 求積分解 因故例4 求積分解 因故例4 求積分解 因故例5 求積分解 設(shè)例5 求積分解 設(shè)即有因此有即有因此有因而相應(yīng)的積分為因而相應(yīng)的積分為 考慮下列形式的不定積分 其中 為有理函數(shù). 由于二、可化為有理形式的三角函數(shù)的積分 考慮下列形式的不定積分 令 則， 而 故即令 這里所用的變量代換 對三角函數(shù)的有理式都適用, 故此代換又稱為萬能代換.這里所用的變量代換 對

5、三例6 求積分解 令 , 則例6 求積分解 令 理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)例7 求積分解 令 則原積分為例7 求積分解 令 理學微積分第三版課件第三章第四節(jié) 一些特殊形式的三角有理函數(shù)有下面一些特殊的方法:若 則可用代換:若 則可用代換:若 則可用代換: 一些特殊形式的三角有理函數(shù)有下面一些特殊的方法:若例8 求積分解 由上面的討論, 做變換 則:例8 求積分解 由上面的討論, 做變換 理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)例9 求積分解 例9 求積分解 理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)例10 求積分時為零, 且解 設(shè) 比較等式兩邊的系數(shù), 得到其中 不同例10 求積分時為零, 且解 設(shè) 比較等式兩理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)例11 求積分 其中解 因其中 則例11 求積分 理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)例12 求積分解 因其中例12 求積分解 因其中理學微積分第三版課件第三章第四節(jié)三、可化為有理形式的簡單無理函數(shù)的積分 考慮下列形式的簡單無理根式的不定積分：令 其中 為 的最小公倍數(shù). 這樣上述形式的簡單無理根式的不定積分可化為有理函數(shù)的不定積分.三、可化為有理形式的簡單無理函數(shù)的積分 考慮下列形式的例13 求積分解 令 即 故積分為例13 求積分解 令 例14 求積分解 令 即例14 求積分解 令 例15 求