新教材人教B版高中數(shù)學必修第三冊81向量的數(shù)量積-教學課件

1、8.1向量的數(shù)量積8.1.2向量數(shù)量積的運算律 P26 8.1.3向量數(shù)量積的坐標運算 P51 8.1.1向量數(shù)量積的概念 8.1向量的數(shù)量積8.1.2向量數(shù)量積的運算律 P26 1.回顧物理學中力對物體做功:(1)小車在水平向右、大小為10 N的拉力F作用下向右產生了6 m的位移,那么拉力F對小車做的功是多少?(2)如果拉力F與位移的夾角為60,且拉力的大小仍為10 N,小車的向右的位移仍為6 m,那么拉力F對小車做的功是多少?(3)如果拉力F與位移s的夾角為,那么拉力F對小車做的功是多少?1.回顧物理學中力對物體做功:提示:(1)W=106=60(J).(2)W=106cos 60=30(

2、J).(3)W=|F|s|cos (J).提示:(1)W=106=60(J).2.向量的夾角:正方形ABCD,如圖. (1)向量 的夾角等于_,表示為_.(2)向量 的夾角等于_,表示為_.2.向量的夾角:正方形ABCD,如圖.【概念生成】1.兩個向量的夾角已知兩個非零向量a,b,在平面內任選一點O,作 =a, =b,則稱0,內的_為向量a與向量b的夾角,記作_.(1)兩個向量的夾角的取值范圍是_,且=_.(2)當=_時,稱向量a與向量b垂直,記作_.AOB0,ab【概念生成】AOB0,ab2.向量數(shù)量積的定義一般地,當a與b都是非零向量時,稱_為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內積),即ab=_.

3、(1)當 時,ab_0;當= 時,ab_0;當 時,ab_0.|a|b|cos|a|b|cos=2.向量數(shù)量積的定義|a|b|cos|a|b|(2)兩個非零向量a,b的數(shù)量積的性質:(2)兩個非零向量a,b的數(shù)量積的性質:3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(1)設非零向量b所在的直線為l,向量a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影.(2)一般地,如果a,b都是非零向量,則稱_為向量a在b上的投影的數(shù)量.(3)兩個非零向量a,b的數(shù)量積ab,等于a在向量b上的_與b的模的乘積.這就是兩個向量數(shù)量積的幾何意義.|a|cos投影的數(shù)量3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義|a|cos投探究點一計算

4、平面向量的數(shù)量積【典例1】已知等邊三角形ABC的邊長為6,求 的值.【思維導引】先明確向量的夾角,再計算平面向量的數(shù)量積.【解析】因為等邊三角形ABC的邊長為6,所以 =18+36-18=36.探究點一計算平面向量的數(shù)量積【類題通法】關于向量數(shù)量積的幾點注意事項兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)的積有很大區(qū)別:(1)兩個非零向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cos 的符號所決定.(2)計算兩個平面向量的數(shù)量積,首先要明確兩個平面向量的長度和夾角,再利用向量的數(shù)量積公式計算ab=|a|b|cos.提醒:牢記特殊角的余弦值:如cos 0=1, 【類題通法】關于向量數(shù)量積的幾點注意事項【定向訓練】1.已知

5、向量|a|=2|b|=4,且cos=- ,則a2+ab等于()A.8B.10C.16D.22【解析】選B.由向量|a|=2|b|=4,得|b|=2,且cos= ,則a2+ab=16+42 =10.【定向訓練】2.已知向量|a|=2,|b|=3,且ab,則ab=.【解析】因為|a|=2,|b|=3,且ab,所以當a,b方向相同時,=0,ab=|a|b|cos=23=6.當a,b方向相反時,=,ab=|a|b|cos=23(-1)=-6.答案:62.已知向量|a|=2,|b|=3,且ab,則ab=探究點二求平面向量的夾角【典例2】(1)已知向量|a|=2,|b|= ,且ab=-3,則=() (2)

6、已知ABC中,AB=4,BC=2, =-4,則向量 與 的夾角為,向量 與 的夾角為.探究點二求平面向量的夾角【思維導引】(1)由平面向量的夾角公式計算夾角的余弦值再求角.(2)先由向量的數(shù)量積公式計算B,再由平面幾何性質計算ACB,BAC,最后求向量的夾角.【解析】(1)選D.因為向量|a|=2,|b|= ,且ab=-3,所以cos= 又0,所以= 【思維導引】(1)由平面向量的夾角公式計算夾角的余弦值再求角(2)在ABC中,因為AB=4,BC=2, =-4,所以| | |cos =-4,得42cos(-B)=-4,所以cos B= ,得B=60.如圖,延長BC到D,使CD=BC,連接AD,

7、則ABD為等邊三角形,所以ACBC,BAC=30,所以向量 與 的夾角為90, 與 的夾角為150. 答案:90150(2)在ABC中,因為AB=4,BC=2, =【類題通法】求平面向量的夾角的方法技巧(1)已知平面向量的長度和數(shù)量積,利用夾角余弦公式計算cos= ,若是特殊角,再求向量的夾角.(2)在ABC中,注意三角形的內角與平面向量的夾角的區(qū)別和聯(lián)系,常常利用幾何圖形確定是“相等”還是“互補”的關系.提醒:在ABC中,向量的夾角和三角形內角的關系可能相等,也可能互補,如=B,=-B.【類題通法】求平面向量的夾角的方法技巧【定向訓練】(2020全國卷)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=

8、6,ab=-6,則cos=()【解析】選D.由a(a+b)=|a|2+ab=25-6=19,【定向訓練】探究點三平面向量數(shù)量積的幾何意義【典例3】(1)已知向量b的模為1,且b在a方向上的投影的數(shù)量為 ,則a與b的夾角為()A.30B.60C.120D.150(2)已知平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,則a在b上投影的數(shù)量為,b在a上投影的數(shù)量為.探究點三平面向量數(shù)量積的幾何意義【思維導引】(1)向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos,再求向量的夾角.(2)先由平面向量數(shù)量積的公式計算cos,再計算投影的數(shù)量.【解析】(1)選A.因為向量b的模為1.且b在a方向上的投影的數(shù)量為

9、,則|b|cos= ,得cos= ,因為0,所以= =30.【思維導引】(1)向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos(2)因為平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,所以|a|b|cos=-4,得cos=- .所以a在b上投影的數(shù)量為|a|cos=- ,b在a上投影的數(shù)量為|b|cos=-2.答案:- -2(2)因為平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,【類題通法】關于平面向量數(shù)量積的幾何意義的兩點注意事項1.向量a在b所在直線上的投影是一個向量,向量a在b所在直線上的投影的數(shù)量為|a|cos,這是一個實數(shù).2.向量b在向量a上的投影的數(shù)量是|b|cos,與|a|cos不能混為一

10、談.【類題通法】關于平面向量數(shù)量積的幾何意義的兩點注意事項【定向訓練】1.如圖,圓心為C的圓的半徑為r,弦AB的長度為2,則 的值為()A.rB.2rC.1D.2【定向訓練】【解析】選D.如圖,作AB的中點H,連接CH,則向量 在 方向上的投影的數(shù)量為| |=| |cosCAB,所以 =| | |cosCAB=| | |=2.【解析】選D.如圖,作AB的中點H,連接CH,2.已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且ab=4,則向量a在b方向上的投影數(shù)量是()A. B. C.2 D.1【解析】選A.設向量a與b的夾角是,則向量a在b方向上投影數(shù)量為|a|cos = 2.已知平面向量a,b

11、滿足|a|=2,|b|=3,且ab=【課堂小結】【課堂小結】8.1.2向量數(shù)量積的運算律 8.1.2向量數(shù)量積的運算律 1.根據(jù)實數(shù)乘法的交換律,得到向量數(shù)量積的交換律:(1)實數(shù)a,b的乘法交換律:ab=_.(2)向量a,b的數(shù)量積的交換律:ab=_.2.根據(jù)實數(shù)乘法的結合律,得到數(shù)乘向量數(shù)量積的結合律:(1)實數(shù)a,b,c的乘法結合律:abc=_=_.(2)向量a,b的數(shù)量積的交換律:(a)b=_.baba(ab)ca(bc)(ab)1.根據(jù)實數(shù)乘法的交換律,得到向量數(shù)量積的交換律:baba3.根據(jù)實數(shù)乘法的分配律,得到向量數(shù)量積的分配律:(1)實數(shù)a,b,c的乘法分配律:(a+b)c=_

12、.(2)向量a,b,c的數(shù)量積的分配律:(a+b)c=_.4.根據(jù)實數(shù)的乘法公式,得到向量數(shù)量積的公式:(1)實數(shù)的平方差公式:(a+b)(a-b)=_,向量數(shù)量積公式:(a+b)(a-b)=_.(2)實數(shù)的完全平方公式:(ab)2=_,向量數(shù)量積公式:(ab)2=_.ac+bcac+bca2-b2a2-b2a22ab+b2a22ab+b23.根據(jù)實數(shù)乘法的分配律,得到向量數(shù)量積的分配律:ac+bc【概念生成】兩個向量數(shù)量積的運算律1.交換律:ab=_.2.結合律:(a)b=_.(R)3.分配律:(a+b)c=_4.重要公式:ba(ab)ac+bc【概念生成】ba(ab)ac+bc探究點一利用

13、向量數(shù)量積的運算律計算【典例1】(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,APBD,垂足為P,且AP=3,則 =.探究點一利用向量數(shù)量積的運算律計算(2)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,a= e1-e2,b=e1+e2.若ab,求實數(shù)的值.若a與b的夾角為60,求實數(shù)的值.【思維導引】(1)利用向量垂直的充要條件轉化為向量的數(shù)量積計算.(2)利用平面向量的數(shù)量積公式以及運算律,解方程求參數(shù)的值.(2)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,a= e1-e【解析】(1)在平行四邊形ABCD中,得 由APBD,垂足為P,且AP=3,得 答案:18【解析】(1)在平行四邊形ABCD中,得 (2)由ab,得

14、ab=0,則( e1-e2)(e1+e2)=0,得 + e1e2-e1e2- =0,則 -=0,所以= .因為 e1-e2與e1+e2的夾角為60,所以cos= ,且( e1-e2)(e1+e2)=(2)由ab,得ab=0,則( e1-e2)(e新教材人教B版高中數(shù)學必修第三冊8【類題通法】利用向量數(shù)量積的運算律計算的注意事項(1)計算(a+b)(xa+yb),可以類比多項式乘法運算律,注意實數(shù)的乘法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積在表示和意義的異同.【類題通法】利用向量數(shù)量積的運算律計算的注意事項(2)三個實數(shù)的積滿足結合律(ab)c=a(bc)=(ac)b,而三個向量的“數(shù)量積”不一定滿足結合律,

15、即下列等式不一定成立:(ab)c=a(bc)=(ac)b,這是因為上式的本質為c=a=kb,當三個向量不共線時,顯然等式不成立.提醒:等式(ab)a=ba2也不一定成立.(2)三個實數(shù)的積滿足結合律(ab)c=a(bc)=(ac)【定向訓練】1.已知矩形ABCD的邊長為AB=2,BC=3,E為BC邊上靠近點B的三等分點,則 =.【解析】根據(jù)題意畫出幾何關系如圖所示:【定向訓練】答案:7答案:72.設非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則=.【解析】方法一如圖,因為非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以三個向量圍成等邊三角形ABC,則= .2.設非零

16、向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=方法二因為非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以|a|=|b|=|a+b|,得|a|2=|b|2=|a+b|2,即|a|2=(a+b)2=a2+b2+2|a|b|cos,得cos=- ,又0,得= .答案: 方法二因為非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a探究點二利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題【典例2】如圖,已知ABC中,ACB是直角,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:ADCE.探究點二利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題【思維導引】借助平面向量垂直的充要條件解題,即通過計算 =

17、0完成證明.【證明】設此等腰直角三角形的直角邊長為a,則 所以ADCE.【思維導引】借助平面向量垂直的充要條件解題,即通過計算 【類題通法】利用向量法證明幾何問題的方法技巧(1)利用向量表示幾何關系,如位置關系、長度關系、角度關系.(2)進行向量計算,如向量的線性運算、數(shù)量積運算.(3)將向量問題還原成幾何問題,如向量共線與三點共線或者直線平行,向量的夾角與直線的夾角等.【類題通法】利用向量法證明幾何問題的方法技巧【定向訓練】已知四邊形ABCD中, 且 (1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)求四邊形ABCD的面積.【解題指南】(1)根據(jù)相等向量的概念證明四邊形是平行四邊形,利用向量的數(shù)量積運

18、算,再證明平行四邊形的對角線平分對角,從而證明四邊形是菱形.(2)求出菱形的對角線的長度,利用菱形的面積公式計算.【定向訓練】【解析】(1)由 可知ABDC,AB=DC=2,所以四邊形ABCD為平行四邊形.設ABD=1,CBD=2,【解析】(1)由 可知ABDC,AB=DC=化簡得1+cos(1+2)= cos1,cos 60+1= cos 2,得cos 1=cos 2= ,所以1=2=30,所以平行四邊形ABCD為菱形.化簡得1+cos(1+2)= cos1,cos 6新教材人教B版高中數(shù)學必修第三冊8【補償訓練】利用向量法證明:等腰三角形底邊的中線垂直于底邊.已知ABC中,AB=AC,D是

19、BC的中點.求證:ADBC.【證明】如圖,因為在ABC中,AB=AC,D是BC的中點, 【補償訓練】新教材人教B版高中數(shù)學必修第三冊8【課堂小結】【課堂小結】8.1.3向量數(shù)量積的坐標運算 8.1.3向量數(shù)量積的坐標運算 回顧以下知識:1.點的坐標與平面向量的坐標:(1)單位正交基底:在平面直角坐標系中,在x軸、y軸正方向上分別取單位向量e1,e2,則_是一組單位正交基底.(2)平面向量的坐標:如果對于平面向量a,有a=xe1+ye2,則向量a的坐標為_,記作_.e1,e2(x,y)a=(x,y)回顧以下知識:e1,e2(x,y)a=(x,y)(3)單位正交基底向量的坐標:對于單位正交基底向量

20、e1,e2,顯然,其坐標分別為e1=_,e2=_,且e1e2=_,e1e1=e2e2=_.2.兩點間的距離:(1)若點A(-3,0),B(3,0),則| |=_.(2)若點A(-3,3),B(3,-5),則| |=_.(1,0)(0,1)01610(3)單位正交基底向量的坐標:對于單位正交基底向量e1,e2【概念生成】1.向量的數(shù)量積的坐標公式設平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)數(shù)量積公式:ab=_.(2)向量垂直公式:abab=_.x1x2+y1y20 x1x2+y1y2=0【概念生成】x1x2+y1y20 x1x2+y1y2=02.三個重要公式(1)向量的模:a2= |

21、a|=_.(2)兩點間的距離公式:設點A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=| |=_.(3)向量的夾角公式:cos= =_.2.三個重要公式探究點一利用向量數(shù)量積的坐標公式計算【典例1】(1)已知向量a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,2),則a(b+c)=.(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),求ab,|3a-b|,(a+b)(2a-b).【思維導引】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標運算公式進行計算.(2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標公式計算.探究點一利用向量數(shù)量積的坐標公式計算【解析】(1)因為b=(-2,4),c=(-1,2),所以b+c=(-2,4)+

22、(-1,2)=(-3,6).又因為a=(2,3),所以a(b+c)=2(-3)+36=-6+18=12.答案:12(2)ab=12+35=17.因為3a=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),所以3a-b=(1,4),所以|3a-b|= 【解析】(1)因為b=(-2,4),c=(-1,2),因為a+b=(3,8),2a=(2,6),所以2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),所以(a+b)(2a-b)=30+81=8.因為a+b=(3,8),2a=(2,6),【類題通法】1.數(shù)量積坐標運算的技巧(1)進行數(shù)量積運算時,要正確使用公式ab=x1x2+y1y2,并能靈活運用以下幾個關系:

23、|a|2=aa.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.【類題通法】(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標,一般來說應當先設出向量的坐標,然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關系,利用數(shù)量積的坐標運算列出方程(組)進行求解.(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標,一般來說應當先設出向2.求向量的模的兩種基本策略(1)定義表示下的運算.利用|a|2=a2,將向量的模的運算轉化為向量與向量的數(shù)量積的問題.(2)坐標表示下的運算.若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= .2.求向量的模的兩種基本策略【定向訓練】1.已

24、知O為坐標原點,點A(1,0),B(0,2),若OCAB于點C,則 ( + )=.【定向訓練】【解析】設點C的坐標為(x,y),則 =(x,y),由A(1,0),B(0,2),得 =(-1,2), =(x-1,y),因為OCAB于點C,答案:【解析】設點C的坐標為(x,y),則 =(x,y),由A2.(2020北京高考)已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足 則| |=; =. 【解析】如圖建系,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以 =(2,0), =(2,2), =(2,1),P(2,1), =(-2,1),| |= ,又 =(0,-1),所以 =-1.答案: -1

25、2.(2020北京高考)已知正方形ABCD的邊長為2,點P探究點二向量數(shù)量積的坐標公式與夾角問題【典例2】(1)(2020全國卷)設向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,則m=.(2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,),設a與b的夾角為.若=120,求的值.要使為銳角,求的取值范圍.探究點二向量數(shù)量積的坐標公式與夾角問題【思維導引】(1)根據(jù)向量垂直,結合題中所給的向量的坐標,利用向量垂直的坐標表示,求得結果.(2)由=120求cos = ,建立方程求的值.要使為銳角,則cos 0,且a與b不能共線,建立不等式求的取值范圍.【思維導引】(1)根據(jù)向量垂直,結合題中所給的

26、向量的坐標,利【解析】(1)由ab可得ab=0,又因為a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,即m=5.答案:5【解析】(1)由ab可得ab=0,(2)由于a=(1,3),b=(2,),則ab=2+3,當=120時,cos 120= 得 平方整理得132+24-12=0,解得= ,由于ab=2+30,所以0,且cos 1,因為ab=|a|b|cos 恒大于0,所以ab0,即12+30,解得- .若a平行于b,則1-23=0,即=6.但若a平行于b,則=0或=,與為銳角相矛盾,所以6.綜上所述,- 且6.由為銳角,得cos 0,且cos 1,

27、【類題通法】利用向量法求夾角的方法技巧1.若求向量a與b的夾角,利用公式cos= 當向量的夾角為特殊角時,再求出這個角.2.非零向量a與b的夾角與向量的數(shù)量積的關系:(1)若為直角,則充要條件為向量ab,則轉化為ab=0 x1x2+y1y2=0.(2)若為銳角,則充要條件為ab0,且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同).【類題通法】利用向量法求夾角的方法技巧(3)若為鈍角,則充要條件為ab0,且a與b的夾角不能為(即a與b的方向不能相反).(3)若為鈍角,則充要條件為ab0,且a與b的夾角不能【定向訓練】已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(,6),若向量a-b與c的夾角

28、為鈍角,則實數(shù)的取值范圍是.【定向訓練】【解析】由a=(1,-2),b=(-1,1),得a-b=(1,-2)-(-1,1)=(2,-3),因為a-b與c=(,6)的夾角為鈍角,所以(a-b)c0,得2-180,解得9,又由(a-b)c,得12=-3,即=-4.【解析】由a=(1,-2),b=(-1,1),此時,a-b=(2,-3),c=(-4,6)=-2(a-b),向量a-b與c的夾角為平角,所以=-4不滿足題意.因此9,且-4.答案:(-,-4)(-4,9)此時,a-b=(2,-3),c=(-4,6)=-2(a-b)探究點三向量數(shù)量積的坐標公式的綜合問題【典例3】在邊長為1的正方形ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上運動.(1)求證: 為定值.(2)求 的最大值.探究點三向量數(shù)量積的坐標公式的綜合問題【思維導引】(1)利用向量的投影證明,也可以建立平面直角坐標系,利用向量的坐標計算數(shù)量積.(2)利用向