充分條件和必要條件 教案 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊(cè)（2022-2023學(xué)年）

1、1.2.2充分條件和必要條件最新課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.2.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.學(xué)科核心素養(yǎng)1.能對(duì)充分條件、必要條件、充要條件進(jìn)行判斷.(邏輯推理)2.能從集合的觀點(diǎn)理解充分條件、必要條件.(直觀想象)3.能利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍.(邏輯推理)新知初探教材要點(diǎn)要點(diǎn)一充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系由p可以推出q，記為：_由p不能推出q，記為：_條件關(guān)系p是q的_p不是q的_q是p的_q不是p的_狀元隨筆

2、若pq，則p是q的充分條件，所謂“充分”，即要使q成立，有p成立就足夠了；q是p的必要條件，所謂“必要”，即q是p成立的必不可少的條件，缺其不可.要點(diǎn)二充要條件如果既有pq，又有qp，就記作_.即p既是q的充分條件，又是q的必要條件，此時(shí)我們稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件.換句話說，如果一個(gè)命題和它的_都成立，則此命題的條件和結(jié)論互為充分必要條件.狀元隨筆對(duì)于充要條件，要熟悉它的同義語“p是q的充要條件”可以說成“p與q是等價(jià)的”“q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立”“q成立必須且只需p成立”.基礎(chǔ)檢測(cè)1.思考辨析(正確的畫“”，錯(cuò)誤的畫“”)(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯

3、關(guān)系，只是說法不同.()(2)p是q的必要條件的含義是：如果p不成立，則q一定不成立.()(3)p是q的充分條件只反映了pq，與q能否推出p沒有任何關(guān)系.()(4)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.()2.“x1”是“x22x10”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3.“x0”是“x1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.ABC是銳角三角形是ABC為銳角的_條件.題型探究題型1充分條件、必要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：

4、四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是矩形；(3)p：平行四邊形，q：正方形；(4)p：m1，q：x2xm0無實(shí)根.方法歸納充分條件、必要條件判斷方法(1)定義法分清命題的條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論.找推式：判斷“pq”及“qp”的真假.根據(jù)推式及條件得出結(jié)論.(2)集合法：寫出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)特殊值法：對(duì)于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來說明由條件(結(jié)論)不能推出結(jié)論(條件)，但是這種方法不適用于證明題.跟蹤訓(xùn)練1(1)祖暅原理：”冪勢(shì)既同，則積不容異”，它是中國(guó)古代一個(gè)涉及幾何體體積的原理，意思是兩個(gè)等高的幾何體，若在同

5、高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積相等.q：A，B在同高處的截面積恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，q是p的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選)設(shè)xR，則使x3.14成立的一個(gè)充分條件是()A.x3.5B.x3C.x4D.x4題型2充要條件的判斷例2(1)(多選)下列結(jié)論中，正確的有()A.“x24”是“x38”的必要不充分條件B.在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC為直角三角形”的充要條件C.若a，bR，則“a2b20”是“a，b不全為0”的充要條件D.x，y均為奇數(shù)是xy為偶數(shù)的必要不充分條件(

6、2)已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：s是q的什么條件？r是q的什么條件？p是q的什么條件？方法歸納判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假.(2)集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷.(3)等價(jià)法：利用pq與qp的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要條件也有傳遞性.跟蹤訓(xùn)練2(1)a，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是()A.ab0B.ab0C.a2b20D.a2b20(2)如果甲是乙的必要條件，丙是乙

7、的充分條件，但不是乙的必要條件，那么()A.丙是甲的充分不必要條件B.丙是甲的必要不充分條件C.丙是甲的充要條件D.丙是甲的既不充分又不必要條件題型3充分條件、必要條件和充要條件的證明例3求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.方法歸納充要條件的證明思路(1)根據(jù)充要條件的定義，證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明.一般地，證明“p成立的充要條件為q”；充分性：把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；必要性：把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.解題的關(guān)鍵是分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，至于先證明充分性還是先證明必要

8、性則無硬性要求.(2)在證明過程中，若能保證每一步推理都有等價(jià)性()，也可以直接證明充要性.跟蹤訓(xùn)練3求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0.題型4充分條件、必要條件和充要條件的應(yīng)用例4設(shè)p：|4x1|1，q：axa1，若q是p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式探究設(shè)p：|4x1|1，q：axa1，若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.方法歸納根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，主要根據(jù)充分條件、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練4集合Ayy=x2-32x+1，34x

9、2，Bx|xm21易錯(cuò)辨析混淆條件與結(jié)論致誤例5使不等式0 x2成立的一個(gè)充分但不必要條件是()A.0 x1B.13xC.1x2D.0 x2解析：設(shè)命題p所對(duì)應(yīng)的集合為A，命題q所對(duì)應(yīng)的集合為B，則“p成立的充分不必要條件是q”BA，所以不等式0 x2成立的充分不必要條件對(duì)應(yīng)的集合是集合x|0 x2的真子集，根據(jù)選項(xiàng)，只有A符合要求，故選A.答案：A易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得混淆條件與結(jié)論容易得出錯(cuò)誤答案C.弄清此類題的條件與結(jié)論.本題條件是“選項(xiàng)”，結(jié)論是“0 x2”，所以“選項(xiàng)”是“0 x2”的真子集.課堂練習(xí)1.命題：p：(ab)(ab)0，q：ab，則p是q的()A.充分條件B.必要條件

10、C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件2.已知xR，則“x2”是“2x1”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.(多選)下列說法中正確的是()A.“m是有理數(shù)”是“m是實(shí)數(shù)”的充分條件B.“xAB”是“xA”C.“x22x30”是“x3”的必要條件D.“x3”是“x24”的充分條件4.函數(shù)yx22xa的圖象與x軸無交點(diǎn)的充要條件是_.5.若“xm”是“x3或x1”的充分條件但不是必要條件，求m的取值范圍.參考答案新知初探要點(diǎn)一pqpq充分條件充分條件必要條件必要條件要點(diǎn)二pq逆命題基礎(chǔ)檢測(cè)1.答案：(1)(2)(3)(4)2.解析：x1時(shí)，x22

11、x10成立，故是充分的，又當(dāng)x22x10時(shí)，即(x1)20，x1故是必要的，因此是充要條件.答案：A3.解析：x0 D/x1但x1x0.“x0”是“x1”的必要不充分條件.故選B.答案：B4.解析：ABC是銳角三角形說明ABC的三個(gè)內(nèi)角都是銳角.ABC是銳角三角形ABC為銳角，反之不一定.答案：充分不必要題型探究例1解析：(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分條件.(2)四邊形的對(duì)角線相等四邊形是矩形；四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線相等，p是q的必要不充分條件.(3)由圖可知BA，所以p是q的必要不充分條件.(4)若方程x2xm0無實(shí)根，則14m0，即m14.m1m14，m1

12、4D/m3.5x3.14，x4x3.14.x3.14成立的一個(gè)充分條件是x3.5或x4.故選AC.答案：(1)A(2)AC例2解析：(1)A中，x24x2D/x38，但x34.A正確；B中，AB2AC2BC2ABC為直角三角形，反之不一定，B不正確；C中，a2b20a，b不全為0，C正確；D中，x，y均為奇數(shù)xy為偶數(shù)，反之不一定，D不正確.故選AC.(2)q是r的必要條件，rq.s是r的充分條件，sr，srq，又q是s的充分條件，qs.s是q的充要條件.由rq，qsr，知r是q的充要條件.p是r的必要條件，rp，qrp.p是q的必要條件.答案：(1)AC(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)a2

13、b20，則a，b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2b20.故選D.(2)如圖所示，甲是乙的必要條件，乙甲.又丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，丙乙，但乙丙.綜上，有丙乙甲，甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.故選A.答案：(1)D(2)A例3證明：充分性：由ac0及x1x2ca0，x1x2ca0，ac0.綜上可知，關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac跟蹤訓(xùn)練3證明：設(shè)p：abc0；q：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1，(1)充分性(pq)：因?yàn)閍bc0，所以cab，代入方程ax2bxc0中，得ax2bxab0，即(x1)(axab)0

14、.所以方程ax2bxc0有一個(gè)根為1.(2)必要性(qp)：因?yàn)榉匠蘟x2bxc0有一個(gè)根為1，所以x1滿足方程ax2bxc0.所以有a12b1c0，即abc0.故關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0.例4解析：由|4x1|1得14x11，故0 x12，由q是p的必要不充分條件，即pq，qp，即x|0 x12x|a解得12a0故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a變式探究解析：q是p的充分不必要條件，qp，pq，x|axa1xa此不等式組無解.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.跟蹤訓(xùn)練4解析：AyBx|xm21x|x1m2，“xA”是“xB”的充分不必要條件，AB，1m2716解得m34或m3故m的取值范圍為m34或m3課堂練習(xí)1.解析：由命題p：(ab)(ab)0，得：|a|b|，推不出ab，由ab，能推出|a|b|，故p是q的必要條件.答案：B2.解析：當(dāng)x1時(shí)，“x2”成立，但2x0 ，故“2x1”，故“x1”等價(jià)于x-2x00 x2，即2x“x1故“x1”的必要不充分條件，故