最小二乘法擬合曲線在施工中的應用概要

1、最小二乘法擬合曲線在施工中的應用重點詞：最小二乘法擬合曲線施工應用概括工程施工中，我們會常常獲得一些有關的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)來常常自與施工親密有關的丈量或試驗中，比方石灰劑量的滴定試驗中，EDTA用量與灰土劑量存在某種關系；又如預應力千斤頂與油表的配套校驗中，油表讀數(shù)與千斤頂實質(zhì)張拉力又有一種關系，這些原始數(shù)據(jù)一般是5組以上。我們能夠經(jīng)過作圖或多段插值獲得變量之間的聯(lián)系，但作圖和插值查圖常常誤差較大，這時可采納最小二乘法先擬合出一個多項式(也稱經(jīng)驗公式），再依據(jù)此多項式求解任一自變量所對應的因變量較精準的結果，據(jù)此畫圖可獲得較精確、較合理的曲線。最小二乘法原理現(xiàn)實中經(jīng)過丈量或試驗獲得的各組數(shù)據(jù)（x

2、i，yi）其自己不能夠防范的地帶有測試偏差，假如結構一個較為簡單的插值法P（x）來迫近真切函數(shù)f（x)，當個別數(shù)對偏差影響較大時就會惹起插值函數(shù)發(fā)生嚴重顛簸，進而影響迫近精度，由于插值法要求插值函數(shù)在節(jié)點(已知數(shù)對)處知足標準條件，即P（xj）fxj），（j0，1，n)。這時候，為盡可能減小測試偏差對迫近精度的影響，我們能夠用另一種方法結構一個經(jīng)驗公式，使得該公式在每一個節(jié)點上所求得的結果與原測試結果的差的平方和最小，即曲線擬合的偏差最小，精度最高，這就是最小二乘法原理，用定義表述為：設有n對數(shù)據(jù)（xi、yi)，（j0，1，n），經(jīng)過這些數(shù)據(jù)找一個m次近似多項式P（x）a0axamxm（mn）

3、，適入采納a，a，am，則稱P（x）為最小二乘擬合多項式，或稱x、y之間的經(jīng)驗公式。最小二乘原理應用的詳細做法依據(jù)定義，我們最后目的是依據(jù)已知數(shù)據(jù)組求出適合的系數(shù)ai，使多項式?漬ai）獲得最小值，運用多元函數(shù)求極值的方法可導出以下方程組：這是以ai為未知數(shù)的m1階線性方程組，寫成矩陣形式有所以，我們只需求出S0，S1，S2，Sm，S2m以及T0、T1、Tm，成立正規(guī)方程組即可求出系數(shù)ai，代入多項式P(x)即得擬合曲線方程。應用實例4.1灰劑量EDTA滴定法標準曲線繪制備5種試樣共10個樣品的灰土混淆料，其石灰劑量為已知，在6%18%范圍內(nèi)按3%劑量遞加，該范圍已涵蓋2：8灰土到3：7灰土(

4、V：V)的石灰劑量范圍。分別對樣品進行滴定，測得耗量(ml)以下：EDTA標準液步驟1：作草圖，先將數(shù)據(jù)點畫在座標紙上，連線分析其變化的粗拙趨勢，確立多項式的大概形式，能夠看出，本例為一和緩拋物線。步驟2：設擬合曲線方程為y=abxcx2，列表乞降計算Sk、Tk（見下表）步驟3：成立正規(guī)方程組5a179.5b7563.25c=60179.5a7563.25b353603c=2471.17563.25a353603b17637875c=113851.6解得c0.0013b0.382a0.253所以得方程y0.2530.382x0.0013x2該經(jīng)驗公式求得的結果與測試數(shù)據(jù)的最大離差0.2，離差的

5、平方和最小為0.06，據(jù)此可繪制石灰劑量(%)與EDTA耗量(ml)關系的標準曲線，應用中當已知某灰土樣品液滴定的EDTA耗量x時，直接代入公式或查標準曲線即可獲得較為精準的待測灰土的石灰劑量，方便、迅速而又正確。4.2求解張拉千斤頂與油表讀數(shù)的回歸方程預應力千斤頂與油表的配套校驗中，分級張拉數(shù)據(jù)可達到520組，而張拉力與油表讀數(shù)實質(zhì)為線性關系，一般只需兩組數(shù)據(jù)即可確立其關系式，但數(shù)據(jù)越多，回歸方程越真切，越精準。此時采納最小二乘法可使每一組數(shù)據(jù)參加回歸。對線性方程yaxb用最小二乘法公式求系數(shù)a、b(斜率和截距)，公式簡化為：則有a0.035b0.68，故得經(jīng)驗公式y(tǒng)0.035x0.68回歸

6、有關系數(shù)r0.99993，精度較高。應用時將所需張拉力的值代入公式即可獲得相應張拉力下的油表讀數(shù)，以控制張拉力。結語最小二乘法作為函數(shù)迫近的一種重要方法，在工程技術中的曲線擬合、求取經(jīng)驗公式等方面有著寬泛的應用，但一般來說擬合式不高于三次多項式，不然在計算大將十分繁瑣，且擬合精度將遇到影響甚至出現(xiàn)病態(tài)。而實質(zhì)工程應用中擬合的曲線多為一次線性或二次拋物線型，所以，最小二乘法擬合曲線在工程應用中仍據(jù)有重視要的地點。參照文件：袁慰平，張令敏，黃新芹，聞震初.計算方法.東南大學第一版社.1996.注：本文中所波及到的圖表、講解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文內(nèi)容總結（1）最小二乘法擬合曲線在施工中的應用重點詞：最