2021年全國初中數學聯(lián)合競賽試題(pdf版,)

1、2021 年全初中數學聯(lián)合賽試題參考答及評分標準說明：閱試時，依本評標第試選題和空只設 分和 0 分檔；第二各題， 請照評分準定的分次給果生的解答法和本解不同，只思路理步驟確在評 卷請照本分準劃的次，予應的第試A)一、選擇題：（本題滿 ，每小題 分）1 已實數a, , 滿2 ，3a ，3b a （ ）A. 2B. C. D. 【答】已等可變?yōu)?( a 3(3 b ) ， a 2b) (3 b c 72，得a 2b ，3b 3 ，以a 1.2知 ABC 的三邊長分別是ab, c，以三個論（1）a 為長三角一存在（2）a, 為長三角一存在（3 ） a b c a | 為長三角一存在 其正結論個為A

2、0 B1 C D 【答】C.不設 a b c ，有 c .（ ）（1）為 b ，以 bc a 邊的角形定在；， ( b ， b c a，以 , b 為（2 ） 2, c 4 為長可構三角，以 4, 為長三角不在；（3）因為 ，| a | ，三邊| 大或于其兩， | a | ， 以 | b | c 為 邊的三角形定存在 .3正整a, , c 滿 a 且 2(a )，稱( , )為數.那么，好數的個數為（ ）A. 1【答】C.B2 C3 D4若(a, c)為數，則a a b ) 6c，以ab 顯然，a只為 1 或 2.若 a 2， ab 可 b 或 3 時可得 c ， 時得 5（是數若 a ， b

3、 )2，是(b 2)( 6 ，求得 , , )，3），4，2 2 2 2 1 2005）.2 2 2 2 1 200綜可：共 3 個好數組，別為2，2，8和，4）.4 O 是四形 的對線 AC BD BAD 180DOAC ， AB 6，則 （ ）OB10 8 6 A. B. C. D. 9 7 5 BC D，AD ，E【答】A.過 作 / ， 交 的 延 長 線 于 點 ， 則 C，以ABCAEB，以ACBC，以OAB EBAB 18EB .AC 5 5DO AD 10再 ，得 OB 18 9.AB5 是 BC 為徑圓上一， AD 于 點 D 點 E 在段 上點 F 在 的延線， 滿 BAF

4、 . 已知 BC ， BF ， BD 3 ，則 （ ）A. 3 B. 2 13 C.214D. 15 A【答】B.如，為 BAF ，以 BAE CAE ，.FAE BAC 又為 AD ， DC .F D EC而 ， BD 3 12 以 AD 以 AD 6 DE .從 62 13.6于正數n ，設a 是接近nn的數則11 a a1 21 1 a 3 200（）A.1917 B.1927C.1937 D.1947【答】A.1對任自然 ， (k )2 11不整，所，于正數 ， 一定是整數2 1設 是接近 的整數，則 ， 1 .21 1 易： m ， ( ) m ) 1.2 2 于可：對定正整 ，當整

5、n 滿 m n m 時m 是最近n 的整，即a 所，使 a 的整數 的數為 n n注到132 182 ，此 a , , 中有2 個 1，4 個 2，6 個 3，a a a 1 2 3 ， 于 是 有 ) m 2 3 45 3 3 28 a a a 1 2 3 ， 于 是 有 ) m 2 3 45 3 3 2所1 1 a2001 1 1 191 2 1 13 14 .二、填空題：（本題滿 ，每小題 分）1得等 1a 3 a成的數a的為【答】8.由給式可(11 ) 3 a2.令 a ， 則 x ， 且 a 2 3 2 2， 整 理 后 因 式 分 解 得 ( 3)(x ，得 0， ， （去以a 或

6、a .1 a 驗可：所，a .是方的增，a 是方的根.交如，行四形 中 72 BD 于 ， DE AB ，則 ， AF BC于F，M【答】66.E取DE的點M，RtADE中有AM EM 12DE .B設 ， ，ABM .又 ，以 ，得 .3 m 正整， m .若 與 9 的兩數字同則 的小為 【答】.由意，9m 9n 是 100 的數所 是 100 的數所 的兩數 字 01，然， 是數設 （t是整9m 2 t.計可： 81 的兩數字 61， 81 的末兩數是 41， 的兩數是 ， 的兩 數是 所t 的小值 ，從而得 n 的小值 10.實數, 滿 xy 則 x y的小為【答】因12.0 3y3

7、y)3(3 x2 3xy2 ( y x y2( y 2 3 ( y 2 2 23 2 3 22 2 23 2 3 2 63 2 2 2 2 2 2 22 ( y x2 2 x ( x x ) ( ( y 2 2，所 y 或 y .若 y ， 2.若 ，1 ( ) x ) 1 ) 1 1 ，且當 時號22 成.所， 的最值為12.第試(B)一、選擇題：（本題滿 分，每小題 分）已知二函 ( 的象 x 軸唯一交點二函 a 3的圖與 軸的交點個為A0 B C2 D不確 【答】C.（ ）因二函數 y ax 圖象 軸唯一點所 b 4ac ， 11 1故 次 函 數 y x c 的 判 別 式 ) c b

8、 (4 ac ) b ( ) 15 16 16 16.0，以二次數 3 x 3的象軸兩交2題目和解答與（A）卷第 1 題相同 題和解答與（A）卷第 題相同.4 已正整數a, , c滿a b c ， 0，則 a （）A. 424 【答】C.B. 430 C. 441 D. 由知式消整得( ，3(b 為整，所 .若b ，(a 若b ，(a 227572，正數解，正數解若b，則(a 9) 2 ，正數解若b 4，(a 9)248，正數解若b ，則(a 27，正數解若b，則(a ，得a 9，時c .2 1 5 1 2 2 1 5 1 2 因，a ，b， ，a b 5 O 是四形 的對線DOAC ， AB

9、 6，則 OB4 6A. B. 3 5AC BD BAD 1808 10C. D. 7 BC 3，AD （ ），【答】D.解過與（A）卷 題同6題目和解答與（A）卷第 5 題相同二、填空題：（本題滿 分，每小題 分）1題目和解答與（）卷第 1 題相同2 設 O 是角三形 的外， , 分為段 , 的點， OED ，OED .【答】如 圖 ， 設 x ， 則 B ， 7x DOC BAC ， ，以 x1 1ODE 180 ，所以 OC ，所2 2，OAE以DOC 60 ，而得 10 .DC 題和解答與（A）卷第 題相同 題和解答與（A）卷第 題相同第二 （A）、（本題滿分 20 分已知實, 滿 3

10、，1 21 ， x 的. 解 由1 1 2 x 2可2 x x2y2) x3y3x22xy.設 ， x2 2 x ) 2 9t 3 x y)( ) 2 3(9t)，入上可2(3 t) 3(9) 2，得 .10 分當t 3時 3， ，, y是元次方m 3 的實根，易此方程有數根不題. 當 t 1 時 1， x ，故 , 是元次方m 0的實根，合此5y52y2)( x3y3) y ) x22 2 ) t) 3t2. 分 2 2 b 2 2 b 2 b 二題滿分 25 分 eq oac(,，) eq oac(, )ABC AB 45 BACA的角分線 的外接的點， 點 F 在 且 AB. 已F 1，

11、 BF 5， ABC 的積ABC的接于點解 在 FB 上點 D使 FD，接 并長 eq oac(,交)由 AD AED 是等三角形，以180EADBAC， 分DCG所AG BC，以AC BG，以 ACBG. 分又BAEADEBDG，以 ，所 ACBD514， 分ABC的AB邊的h AC 45 .所， 的面積 1 1 2 2 2 6 .25 、（本題滿分 分）求所的整數數對a, )，得a 498.解 顯，49 為數所以a為數又為a3 49 ，以 a 5 .5 分由a3 可a 49，( 2 . 設( a a 4) ，d 奇 .注到 a a ，以d ，以d1 或 3.若 ，則有 4 3 , 或 a

12、a 2 均正數.15 分 分若d 3，有 4 3 b, 或 a 4 , 2解a ，b .所，足條的整數只一個為，3 25 第二 （B）、（本題滿分 分）已實a, b, 滿a ，a b 16，a b 2 1abc ，4求的.解 設a x，ab ，題有2 2 y )1(16 ) ，理(x 2 1( ，48所 x 或 y x .10 分m m 2m2 2 2 2 （1） x ，a ，m m 2m2 2 2 2 （2） x ，ab a b ，( a 8)( b 8) 0，以a 8或b 8.當a 時結a 可a ，a 矛 當b 時結a 及a 可a ， .綜可： 分、（本題滿分 25 分）求有正整，得2 2m 是全方解 當1 時22 是全方.5 當 時， 2m n2（ 為整數注到22 2 2 2 (2 m )，可m2 )22，10 所22 2m2 mn m.15 分設 m ， ， y， 2 ，以 , 均 方 20 分又 2 2 被 4 除數 ，以只可能 2 ， 2 ， 2 ，得 .綜可：滿條的正數m 有個，別 1 和 3. 分三本題滿分 分）如圖O 為邊形