人口模型及生態(tài)模型

1、實(shí)驗(yàn)八人口模型及生態(tài)模型一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及微積分，介紹利用微積分建立簡單數(shù)學(xué)模型的基本思想和方法，掌握Maple 在微分方程中的應(yīng)用。二、實(shí)際問題馬爾薩斯人口模型馬爾薩斯（ 17661834，是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會學(xué)家）在研究百余年的人口統(tǒng)計(jì)時發(fā)現(xiàn)：單位時間內(nèi)人口的增加量與當(dāng)時人口總數(shù)是成正比的。馬爾薩斯于 1798 年提出了著名的人口指數(shù)增長模型。模型的基本假設(shè)：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口數(shù)成正比。以 N (t ) 表示第 t 年時的人口數(shù)，N (tt) 就表示第 tt 年時的人口數(shù)。N ( t ) 是整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將( t )

2、視為連續(xù)、可微函數(shù)。這樣有N (tt )N ( t )tkN (t )其中 k 為人口的增長率，當(dāng)t0 時，由上式得dN ( t )（）dtkN (t )設(shè)初始條件為 t0時， N(0)N 0 ，馬爾薩斯人口按幾何級數(shù)增加 ( 或按指數(shù)增長 ) 的結(jié)論就是來源于方程（） 。方程（）稱為 馬爾薩斯人口發(fā)展方程 。邏輯斯蒂克人口模型這里將考慮自然資源和環(huán)境對人口的影響。以 N m 記自然資源和環(huán)境條件所能允許的最大人口數(shù)。把人口增長的速率除以當(dāng)時的人口數(shù)稱為人口的凈增長率。按此定義，在馬爾薩斯人口模型中凈增長率等于常數(shù)1dN (t )N ( t)dtk在馬爾薩斯后，荷蘭數(shù)學(xué)家威赫爾斯特（Verhu

3、lst ）提出一個新的假設(shè)：人口的凈增長率隨著N (t ) 的增加而減小，且當(dāng)N (t )N m 時，凈增長率趨于零。因此人口方程可寫成dN (t )r (1N ( t) )N ( t )（）dtN m其中 r 為常數(shù)。模型（）稱為 邏輯斯蒂克人口模型 。馬爾薩斯模型對于1800 年以前的歐洲人口擬合得較好。 而此處的邏輯斯蒂克模型對于 17901930 年間的美國人口擬合較好，但對于 1930 年以后的人口估計(jì)不準(zhǔn)。 但是邏輯斯蒂克模型在生物總數(shù)分析中還是有其廣泛的應(yīng)用的。只要某種特定自然環(huán)境中該物種是獨(dú)立生存的，或與其它物種相比它占有絕對優(yōu)勢。捕食者食餌模型自然界中不同種群之間存在著這樣一

4、種非常有趣的相互依存、相互制約的生存方式，種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群乙靠捕食甲為生，兔子和山貓、落葉松和蚜蟲都是這種生存方式的典型。生態(tài)學(xué)上稱種群甲為食餌 （Prey ），稱種群乙為捕食者Predator ）, 二者共處組成捕食者食餌生態(tài)系統(tǒng)。 下面是由意大利數(shù)學(xué)家 Volterra 提出的一個簡單的生態(tài)學(xué)模型：食餌甲和捕食者乙在時刻 t 的數(shù)量分別記作 x ( t) 、 y(t ) ，當(dāng)甲獨(dú)立生存時它的（相對）增長率為r ，即 x (t )rx ，而乙的存在使甲的增長率減小，設(shè)減小的程度與種群數(shù)量成正比， 于是 x( t ) 滿足方程x(t )x( ray)rxaxy（）比例系數(shù)a

5、是反映捕食者掠取食餌的能力。捕食者離開食餌無法生存，設(shè)乙獨(dú)自存在時死亡率為d ，即y( t )dy ，甲為乙提供食物相當(dāng)于使乙的死亡率降低，并促使其增長。設(shè)這個作用與甲的數(shù)量成正比，于是y( t ) 滿足方程y(t)y(dbx )dybxy（）比例系數(shù) b 是反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。設(shè)食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為x (0)x 0 , y( 0)y0（）微分方程（）、（）及初始條件（）確定了食餌和捕食者數(shù)量x (t ), y( t)的演變過程，但是該方程組無解析解。三、練習(xí)與思考1.取 N 03.910 6 ， k0.31，求方程（）的解析解，并描繪解的圖形。2. 方程（）是個分離變量方程，

6、 取 N 03.9 10 6 ，r0.31 ，N m19710 6 ，求方程（）的解析解，并描繪解的圖形。求lim N ( t ) 。t1650 年世界人口為 5 億，當(dāng)時的年增長率為 3，用指數(shù)增長模型計(jì)算什么時候世界人口達(dá)到10 億（實(shí)際上 1850 年前已超過 10 億）。 1970 年世界人口為 36 億，年增長率為21，用指數(shù)增長模型預(yù)測什么時候世界人口會翻一番（這個結(jié)果可信嗎）。你對用同樣的模型得到的兩個結(jié)果有什么看法4.假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻t 的人口為N (t ) ， t 到 tt 時間內(nèi)人口的增長與N mN (t ) 成正比，其中N m 為環(huán)境的最大容量。試建立模型并求解，作出解的圖形。對于由微分方程 （）、（）及初始條件（）確定的方程組，試用數(shù)值解討論以下問題：1）設(shè) r1, d0.5, a0.1, b0.02, x 025, y02 ，求方程（）、（）在條件（）下的數(shù)值解，畫出函數(shù)x( t), y( t) 的圖形以及相圖( x , y) ，觀察解 x (t ), y( t ) 的周期變化，近似地確定解的周期和x, y的最大、最小值，近似計(jì)算x, y 在一個周期內(nèi)的平均值。2）從方程（）、（）消去 dt ，得到dxx (ray)（）dyy(dbx )解方程（），得到解即相