(通用版)高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)17《平面向量的概念及其線性運算》(含詳解)_第1頁
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1、考點17 平面向量的概念及其線性運算1平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景.(2)理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.2向量的線性運算(1)掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義.(2)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.一、平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或;?;蚱矫嫦蛄渴亲杂上蛄苛阆蛄块L度等于0的向量,方向是任意的記作零向量的方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平

2、行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為二、向量的線性運算1向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其幾何意義、運算律2共線向量定理向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù),使得.【注】限定a0的目的是保證實數(shù)的存在性和唯一性考向一 平面向量的基本概念解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點:(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即平行向量,它們均與起點無關(guān)(4)相等向量不

3、僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量(5)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量解題時,不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談(6)非零向量a與的關(guān)系:是a方向上的單位向量(7)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負(fù)實數(shù),故可以比較大小.典例1 下列命題正確的是A單位向量都相等 B模為0的向量與任意向量共線C平行向量不一定是共線向量 D任一向量與它的相反向量不相等【答案】B【解析】對于A,單位向量的模長相等,方向不一定相同,A錯誤;對于B,模為0的向量為零向量,零向量和任一向量平行,B正確;對于C,共線向量是方向相同或相反的向量,

4、也叫平行向量,C錯誤;對于D,例如零向量,與它的相反向量相等,D錯誤.故選B1給出下列四個命題:若,則;若是不共線的四點,則是四邊形為平行四邊形的充要條件;若,則;的充要條件是且.其中正確命題的序號是A BC D考向二 向量的線性運算平面向量線性運算問題的求解策略:(1)進(jìn)行向量運算時,要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算,實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技

5、巧:觀察各向量的位置;尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;運用法則找關(guān)系;化簡結(jié)果.典例2 若、是平面內(nèi)任意四點,給出下列式子:,其中正確的有A3個 B2個C1個 D0個【答案】B【解析】的等價式是=,左邊=+,右邊=+,不一定相等;的等價式是=,左邊=右邊=,故正確;的等價式是=+,左邊=右邊=,故正確.所以正確的有2個,故選B【名師點睛】熟練掌握向量的線性運算法則是解題的關(guān)鍵2如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點,F(xiàn)為CE的中點,則ABCD典例3 如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,則_.【答案】2【解析】由平行四邊形法則,得,故=2.3如圖,在中,若,則的值為ABCD考向三 共線向量定理

6、的應(yīng)用共線向量定理的主要應(yīng)用:(1)證明向量共線:對于非零向量a,b,若存在實數(shù),使a=b,則a與b共線(2)證明三點共線:若存在實數(shù),使,則A,B,C三點共線【注】證明三點共線時,需說明共線的兩向量有公共點.(3)求參數(shù)的值:利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值典例4 已知兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線. 【解析】(1)AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab),BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=5(a+b)=5AB,BD共線,又它們有公

7、共點B,A,B,D三點共線.(2)ka+b與a+kb共線,存在實數(shù),使得ka+b=(a+kb),(k)a=(k1)b.a,b是兩個不共線的非零向量,k=k1=0,k21=0,k=1或1.【名師點睛】利用向量證明三點共線時,一般是把問題轉(zhuǎn)化為證明過同一點的兩條有向線段所在的向量共線.對于第(2)問,解決此類問題的關(guān)鍵在于利用向量共線的條件得出ka+b=(a+kb),再利用對應(yīng)系數(shù)相等這一條件,列出方程組,解出參數(shù).4如圖,M,N是平行四邊形ABCD的邊AD,CD的中點,E,F是對角線AC的三等分點,求證:B,E,M三點共線,且B,F,N三點共線.1下列說法正確的是A向量與向量是共線向量,則點必在

8、同一條直線上B兩個有共同終點的向量,一定是共線向量C長度相等的向量叫做相等向量D兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同2已知O是正六邊形ABCDEF的中心,則與向量平行的向量為A BC D3設(shè)是平行四邊形的對角線的交點,為任意一點(且不與重合),則等于ABCD4設(shè)D為所在平面內(nèi)一點,則A BC D5已知為非零不共線向量,向量與共線,則ABCD86已知為兩非零向量,若,則與的夾角的大小是A BC D7已知非零向量,且,則一定共線的三點是AA、B、D BA、B、CCB、C、D DA、C、D8如圖,在的內(nèi)部,為的中點,且,則的面積與的面積的比值為A3 B4C5 D69已知為內(nèi)一點,且,若,三點共

9、線,則的值為A BC D10已知等邊三角形中,是線段的中點,垂足為是線段的中點,則ABCD11在中,點M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=_;y12設(shè)向量,不平行,向量與平行,則實數(shù)_13已知正方形ABCD的邊長為1,設(shè),則_.14設(shè),是不共線的兩個非零向量,若,且點,在同一直線上,則_1(年高考新課標(biāo)卷文科)在中,為邊上的中線,為的中點,則ABCD2(年高考新課標(biāo)卷文科)設(shè)非零向量,滿足,則A BC D變式拓展變式拓展1【答案】B【解析】,即的模的大小相等,但方向不一定相同,故兩個向量不一定相等,故錯誤;若是不共線的四點,則且四邊形為平行四邊形,故正確;若,則的

10、模的大小相等,方向相同,若,則的模的大小相等,方向相同,故的模的大小相等,方向相同,即,故正確;的充要條件是且同向,故錯誤故正確命題的序號是,故選B.2【答案】D【解析】根據(jù)題意得:,又,所以.故選D.【名師點睛】高考對向量加法、減法運算的考查,重在對加法法則、減法法則的理解,要特別注意首尾順次相接的若干向量的和為的情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中,常見的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、梯形)、正六邊形等.在解決這類問題時,要注意向量加法、減法和共線(相等)向量的應(yīng)用.當(dāng)運用三角形加法法則時,要注意兩個向量首尾順次相接,當(dāng)兩個向量共起點時,可以考慮用減法.3【答案】A【解析】由題

11、意得:,又,可知:.故選A.【名師點睛】本題考查向量的線性運算問題,涉及向量的數(shù)乘運算、加法運算、減法運算,屬于常規(guī)題型.4【解析】設(shè)AB=a,AD=b,則AM=12b,AE=1BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BM=AM由BM=32BE,得B,同理可得BN=32BF,所以B,考點沖關(guān)考點沖關(guān)1【答案】D【解析】對于A,若向量與向量是共線向量,則或點在同一條直線上,故A錯誤;對于B,共線向量是指方向相同或相反的向量,兩個有共同終點的向量,其方向可能既不相同又不相反,故B錯誤;對于C,長度相等的向量不一定是相等向量,還需要方向相同,故C錯誤;對于D,相等向量是大小相等、方向

12、相同的向量,故兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同,故D正確.故選D【名師點睛】本題考查向量的基本定義,關(guān)鍵是理解向量有關(guān)概念的定義解題時,根據(jù)題意,結(jié)合向量的定義依次分析四個命題,綜合即可得答案2【答案】B【解析】如圖,.故選B【名師點睛】該題考查的是有關(guān)向量共線的條件,在正六邊形中,首先利用向量的加法運算法則,結(jié)合向量共線的條件,對選項逐個分析,求得正確結(jié)果.3【答案】D【解析】為任意一點,不妨把A點看成O點,則,是平行四邊形的對角線的交點,.故選D4【答案】B【解析】.故選B 5【答案】C【解析】向量與共線,存在實數(shù),使得,即,又為非零不共線向量, ,解得.故選C.6【答案】A【解

13、析】因為,即所圍成的平行四邊形的對角線長度相等,所以該平行四邊形為正方形或長方形,由此可得的夾角為90,故選A【名師點睛】根據(jù)向量的加減法則,結(jié)合幾何圖象特征即可.7【答案】A【解析】由向量的加法法則可得,所以與共線,又兩線段過同一點,所以三點一定共線.故選A【名師點睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用,向量的加法法則,考查利用向量的共線來證明三點共線,意在考查靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力.解本題時,由向量加法的“三角形”法則,可得,從而可得結(jié)果.8【答案】B【解析】D為AB的中點,O是CD的中點,SAOC=SAOD=SAOB=SABC.故選B【名師點睛】本題考查了平面向量的幾何運算,屬于中檔

14、題解決向量小題的常用方法有:數(shù)形結(jié)合,向量的三角形法則、平行四邊形法則等;建系將向量坐標(biāo)化;向量基底化,選基底時一般選擇已知大小和方向的向量為基底.解決本題時,根據(jù)平面向量的幾何運算可知O為CD的中點,從而得出答案9【答案】B【解析】設(shè)線段的中點為,則,因為,所以,則,由三點共線,得,解得.故選B【名師點睛】利用平面向量判定三點共線往往有以下兩種方法:三點共線;為平面上任一點,三點共線,且.10【答案】C【解析】是線段的中點,=.是線段的中點,=.又=,令,則=(,解得,故選C11【答案】12【解析】由題中條件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB-AC)=12【答案】【解析】因為向量與平行,所以,則所以13【答案】2【解析】如圖,所以,又,故答案為.【名師點睛】本題考查兩個向量的加減法的法則,及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.向量的運算有兩種方法,一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答,二是坐標(biāo)運算:建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答(求最值與范圍問題,往往利用坐標(biāo)運算比較簡單)運算法則是:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).14【答案】【解析】由題得因為點,在同一直線上,所以故答案為

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