變化率問題和導數(shù)概念

1、關于變化率問題與導數(shù)的概念第1頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題1.氣球平均膨脹率.吹氣球時,會發(fā)現(xiàn):隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢,能從數(shù)學的角度解釋這一現(xiàn)象嗎?解:可知:V(r)= r3 即：r(V)= 當空氣容量從增加時，半徑增加了 r(1)r(0)= 0.62 氣球平均膨脹率： 第2頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題1.氣球平均膨脹率.當空氣容量從加時，半徑增加了 r()r()= 0. 氣球平均膨脹率： 可以看出，隨著氣球體積變大，它的平均膨脹率變小 思考：當空氣容量從V1增加到V2 時,氣球的平均膨脹率是多少呢?第3

2、頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題2.平均速度.物體自由落體的運動方程是: S(t)= gt2, 12求s到s時的平均速度 解： S2S1= =14.7t2t1= 1V = 第4頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題2.平均速度.思考：求t1s到t2s時的平均速度 V = 第5頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四平均變化率如果上述的兩個函數(shù)關系用f(x)表示那么當自變量x從x1變化到x2時，函數(shù)值就從y1變化到y(tǒng)2則函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率：它的幾何意義是什么呢？第6頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四

3、問題：瞬時速度物體自由落體的運動方程是: S(t)= gt2, 12如何求t=3這時刻的瞬時速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一時刻的瞬時速度？ （我們可以取t=3臨近時間間隔內(nèi)的平均速度當作t=3時刻的平均速度，不過時間隔要很小很?。?第7頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題：瞬時速度物體自由落體的運動方程是: S(t)= gt2, 12如何求t=3這時刻的瞬時速度呢？ 解：取一小段時間：3,3+t = g(3+t)2gV = t(6+t)第8頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四問題：瞬時速度解：取一小段時間：3,3+t = g(3+t)2gV =

4、t(6+t)當t 0時，v 3g =29.4（平均速度的極限為瞬時速度） 第9頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四瞬時速度：（平均速度的極限為瞬時速度） 即：limt 0S(3+t)S(3)t= 29.4 思考：在t0時刻的瞬時速度呢？limt 0S(t0+t)S(t0)t第10頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四瞬時變化率：思考：我們利用平均速度的極限求得瞬時速度，那么如何求函數(shù)f(x)在x=x0點的瞬時變化率呢？可知:函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率為：limx 0f(x0+x)f(x0)xlimx 0fx=第11頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四導數(shù)函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率為：limx 0f(x0+x)f(x0)xlimx 0fx=我們稱它為函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)記作：f(x0)=limx 0f(x0+x)f(x0)x第12頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四小結：由定義知，求f(x)在x0處的導數(shù)步驟為：第13頁，共15頁，2022年，5月20日，3點4分，星期四例1.求y=x2在點x=