2004年高等代數(shù)試題解答_第1頁
2004年高等代數(shù)試題解答_第2頁
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文檔簡介

1、武漢大學(xué)2004年高等代數(shù)試題解答以下如有不妥之處還請大家批評與指正！Godyalin于2006年2月14日星期二解 解 為此我們先證明這樣一個(gè)事實(shí)：設(shè)是可逆矩陣，則有，兩邊取行列式有，兩邊取行列式有由（1）（2）知回到本題的計(jì)算。將改寫為一列兩個(gè)方陣之和的行列式，再湊成的形狀想辦法再把的形式變成（*）中所需要的形式，由（*）式得，解，故存在可逆矩陣，使得，其中是Y階單位矩陣記，此時(shí)有。解由已知，將代入得（*）下證（*）式可逆的可逆性由兩邊取行列式，可得，得證。（2）的可逆性由變形兩邊取行列式，可得，得證。（3）的可逆性由變形兩邊取行列式，可得，得證。由（1）（2）（3）可得，所以B可逆。分別

2、由（1）（2）（3）可得解，又故時(shí)，時(shí)，若 若綜上所述，解 我們先證明這樣一個(gè)事實(shí)：引理：給定兩個(gè)正定矩陣C，D，則方程的根都大于0由C正定，則存在實(shí)可逆矩陣T，使得，此時(shí)仍為正定矩陣，故存在正交矩陣P，使得，此時(shí)，令M=TP故存在一個(gè)實(shí)可逆矩陣M，使得C，D同時(shí)化為對角形，即，知（1），正定，也正定，從而由的根全大于0，即 的根全大于0，這說明AB的特征根全大于0（2），為正定矩陣七、解 方法一、化為對角形方法二、，又當(dāng)時(shí)有n-1個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而A可對角化，又與的根集相同，解欲證 是的不變子空間，即即可，從而證任取，則由是的屬于的特征向量有將限于到上看，即在其上任取一組基知在下的矩陣為，則在復(fù)數(shù)域上必有根，不妨設(shè)為其一根，則由解出，令 知，同時(shí)有從而至少有一個(gè)公共特征向量。解 其詳細(xì)證法，以及多種證法和其歸納見我論壇上的的文章矩陣的秩與矩陣相等十、（暫未做出）以下如有

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