同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)下冊練習(xí)題

1、 、 () 2 2 、 () 2 2 一、選擇題：第章 測題( , )；( 2 , 、若 ，為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積 、已知球面經(jīng)過( 1 ) 且與 面交成圓周 ； 02，則此球面的方程是 ；cos( , b ) 2y22 z 16 0； 向量 與向量 共面；共；及的位置關(guān)系 x222 z ； 垂直；斜 2 2 ；、設(shè)向量 與軸正向夾角依次為 ，當(dāng) x y 2 2 0時，有、列方程中所曲面是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的 ( A 面；( B ; x222 ； 2y2 z；( ) xoz; ( D Q xoz 2 42；2 z 9 16 2； 2；二、已知向量a , b的夾角等于3，且 ，求2 、平面

2、方程為2 ； Bx D 0 ， B , ，( a ) 則平面平行 x軸 平行 ； 3,4三、求向量在向量四、設(shè)平行四邊形二邊為向量 上的投影 經(jīng)過 y ； 經(jīng) 軸 b 1,3 b ，求其面積 .、設(shè)直線方程為A x B D 1 1B y D 02 且五 、 已 知 a 為 兩 非 零 共 線 向 量 ， 求 證 ： ( a ) a ) a ) A , B , B 0 1 1 1 2則直線六、一動點(diǎn)與點(diǎn)M ( 0 0 )的距離是它到平面 4的距 過點(diǎn)；平行 ；離的一半，試求該動點(diǎn)軌跡曲面與面的交線方程 .平行 軸；平行 軸 七 、 求 直 線 ： t在 三 個 坐 標(biāo) 面 上 及 平 面x y

3、、曲面 z 2 yz x 與直線 3z 的交點(diǎn)是7 1, 2 3 ) , ( ) ； ( 1, 2 , ) z t x z 上的投影方程 .x y z 八 、 求 通 過 直 線 2 2總結(jié)且 垂 直 于 平 面2 2 2 2 2 2 2 2 2y 4 ； 1 x 3 3 -2 2 2 2 2 2 2 2 2y 4 ； 1 x 3 3 3 y 的平面方程 . x2( y 1 ) ； (1 )2；九、求點(diǎn)( , , 3 )并與下面兩直線 ( 1 y) ；x x(1y 21： x ，L2 2 t : z 都垂直的直線、 lim( x y ) x y x 0y 0； 方程 ；e十、求通過三平面： y

4、 0，、函數(shù)f ( x )在點(diǎn) ( , ) 0 0處連續(xù)且個偏導(dǎo)數(shù)x 0 和 y 0的交點(diǎn)且平行于f ( x y f ( y ) 在是 ( y) x 0 y 充分條件但不是必要條件；在該點(diǎn)可微( 平面x y 0的平面方程 .必條件但是充分條件； 充必要條件；十一、在平面x y 0，求作一直線，使它通過既不是充分條件也不是必要條件直線 y x 0與平面的交點(diǎn)，且與已知直線垂直 、設(shè)f ( x, )( 2 2 )sin y22 2, x2y20十二、判斷下列兩直線L :1x y z 1 1 2則在原點(diǎn) 處 ( x, ) 偏導(dǎo)數(shù)不存在不微；x y L : 是在同一平面上同 一面 1 3 4上求交點(diǎn)，

5、不在同一平面上求兩直線間的距離 偏數(shù)存在且連續(xù)；可 . z f x, ( , y ) 其f v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則2 第章驗(yàn) f ； ；一、選擇題、二元函數(shù) x24y2x21y2的定義域 f ( ) ； (D) . 是 、曲面 xyz a3 a 0)的切平面與三個坐標(biāo)面所圍 1 4；成的四面體的體積 2 3 ； 3a ； a ； a 、二元函數(shù) x ) x3 的極值點(diǎn)是 、設(shè) f ( xy, ) x y )2則f ( x y) ； ；、函數(shù) sin z滿足總結(jié)dxdy1 f ( x ) dy； -dxdy1 f ( x ) dy； x y ( 0, z 2； 1 ； .6 8的條件極值 等于零

6、 x 八、求平面 和面 x3 xoy 面距離最短的點(diǎn) 2y2的交線上與、函數(shù) ( x, ), ( y ) 在點(diǎn) ( x y )的某鄰九、在第一卦限內(nèi)作橢球面 2 y 2 z a b2 c 的切平面 , 使域內(nèi)可微分則 在 grad (uv) ( y )處有該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最 小求這切平面的切點(diǎn)并求此最小體積 .( A( B )( )( )gradu gradv ; ;v .一、選擇題1 、第章 測 驗(yàn) 題f ( x ) 二討論函數(shù)z y y 3的連續(xù)性并出間斷點(diǎn)類00 1f x ) ； 1 1f x, ) dx；0 0 0 三、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)1 1 1f ( x,

7、 ) dx .、 z xln ；00 00、設(shè) D 為 x222當(dāng) 時、 f ( , xy, ), , )；a2 2 y、 f x, ) 22 22 20D ； ；四、設(shè) f ( , z )而 ( y)是由方程 x y( z )所3； 3確的函數(shù)求五設(shè)z ( x u y其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)、當(dāng) 是 圍的區(qū)域時二重積分 1.D數(shù)求(A) x軸 y軸 2 x y x 1 , ;2 (C) x, 軸及 y (D) x 六設(shè)x u cos y usin z 試求 和 . 、的 值 為 其 區(qū) 域 為七 、 設(shè) x 軸 正 向 到 方 向 l 的 轉(zhuǎn) 角 為 求 數(shù)D x y 0.f ( , y x

8、2xy y2在點(diǎn) 沿向 l 的向數(shù) 并1 1 ; e ;e e 分別確定轉(zhuǎn)角,使這導(dǎo)數(shù)有 最值； 最值； 、設(shè) I ( x2 ) dxdy 其D由 2y2a2所D總結(jié)2 2 a 2 2 2 2 2 2 2 21 2 y 3 3 rdr1 11 1 y2 1 1-2 2 a 2 2 2 2 2 2 2 21 2 y 3 3 rdr1 11 1 y2 1 1圍成則I 勻2aa2 rdr 設(shè)面密度為 的面薄關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量0 d0 0 01r 22r dr 3 34I x 3 ； 5 20d02 4 .二、計(jì)算下列二重積:、設(shè) 是三個坐面與平面x 所成的、( x2 y ) d 其 是區(qū)空間區(qū)域則 D

9、 y ,0 x 1 1 1 ； ； ； 48 48 24 2 x 2 、 錐面 ( 0, 2 2 與平、 Dx 4, x 其中 D 是直 0 及周y , x 所成的在第一象面x 0, y z 所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的部限內(nèi)的閉區(qū)域 .、 9) d其中D是閉區(qū)分則zdxdydz 域Dx y2R21 c a 36 361 b c a ； c ab 36 、計(jì)算 I b ；2 x y 2 , z 圍成的、 d 其中 D : D三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次 、 ( y ) f ( x, ) 0 1 0立體則正確的解法( 和 、 1 f x, ) dy；I 2d1 1zdz；、adf

10、( r r 00 000I 2d zdz；四、將三次積分f ( x , z ) dz改換積分次序?yàn)镮 000 r d0 rrdr；0 x 五、計(jì)算下列三重積:I 1dz2dzrdr、 , 拋物柱面 y 000面 2 2包含在圓柱x2y2 x內(nèi)部的那及平 z o, x 2所圍成的區(qū)域 .部分面積s 、( y2 ,其中是由平面上曲線3；y22 繞 軸轉(zhuǎn)而成的曲面與平面 x 5 所5 2 2 x y y 2 、直線所圍成的質(zhì)量分布均成的閉區(qū)域 .總結(jié)1 y1 2 r 2 2 2 2 22 2D 2 2 1 y1 2 r 2 2 2 2 22 2D 2 2 、 x x y 2 dv其中 是由球面 x2

11、22所圍成的閉區(qū)域 六、求平面的面積 x a b c被三坐標(biāo)面所割出的有限部分 、若 為 z 2 )在面上方部分的曲面 七、設(shè)f ( x)在0,1上連續(xù)試證則ds等于 0 x 1f ( x) f ( y) f ( z dxdydz 60f x) 0d01 r2 d0 01 r2 ;2d 21 r2 .00、若 為面 x222R2的外側(cè)則第一測題xyzdxdy等于 一、選擇題設(shè) L 為 x x 0 y 032則L ds的值為 2 2 R 2 2 y 2 4 x ， 6 , 6 0 設(shè) L 為線 y 上點(diǎn)0 , 0到點(diǎn)B (3 y 0的有D D 2 2 22 2 dxdy 向直線段則2dy 、曲面

12、積分 dxdy在數(shù)值上等 L y0向量z 2 i穿過曲面的流量； t 若 L 是上半橢圓 取順時針方向則y t 面密度為的曲面的質(zhì)量；ydx 的值為 向量 z k 穿曲 的量 L2ab ab 、設(shè) 是面 x y R 的側(cè) D 是 xoy 面上的圓域 x 下述等式正確的 、設(shè) ( x, ) ( )在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則在 D 內(nèi)L 路徑無關(guān)的條件22zds D2222y2； ( , y ) D 是 ( 2y ) dxdy 2y ) ；充分條必條件充條、設(shè) 為面 y 其上半球面則1 D222 式正確、 空間區(qū)域 的外表面下述計(jì)算中運(yùn)用高總結(jié)0 n n n n -0 n n n n 公式

13、正確的是 x z ) dxdy dxdydz；六、求向量 xi yj zk通過區(qū)域 : x 外側(cè) , z 的邊界曲面流向外側(cè)的通量 ( 3 ) x zdxdy外側(cè) x2 ；七、流體在空間流動流的密度處處相同 已知流速函數(shù) 2 i 2 j 2 k 流體在單位時間x z y ) dxdy =內(nèi)側(cè)內(nèi)流過曲面 : x2 22 z的流量 向外側(cè)和沿曲二、計(jì)算下列各: 、求 其 cos t 為曲線 sin t , (0 ) z ,；線 : 2 2 逆時針方向 的環(huán)流量 從 軸正向看去 sin 2 ) ( y 2)dy 其中 上L半圓周 x ) y 沿逆時針方向 一、選擇題第二測題、下列級數(shù)中收斂的 三、計(jì)

14、算下列各:ds、求 x 2 2其中 是于平面 z H 1； n n n ；之間的圓柱面x y 2；n 32；n ( 、求( dydz z ) xy ) dxdy，、下列級數(shù)中收斂的 其中 為面 z 2 (0 的側(cè)； 其 中 為 曲( x 2 ) ( x ( y 21 ( z 0) 的上側(cè) 5 16 9面 4 ( ) ； ( ) ； 5n n ) ； ( 4 5n 、下列級數(shù)中收斂的 n 四證 ydy 2 在整個平面除去y的負(fù)半軸及 ( n!)2 3 !； n n n ；原點(diǎn)的開區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分 ,并出一 1 n ； n(n n n 個這樣的二元函數(shù) 五、求均勻曲面 2 y 的重心的

15、坐標(biāo) .、部分和數(shù)列 有界是正項(xiàng)級數(shù)n n收斂的總結(jié)- 充分條件；必要條件；、級數(shù) ( n n的收斂區(qū)間 充條件；既充分又非必要條件 n 、設(shè) 為零常數(shù)則當(dāng) 時級數(shù) r n 收斂 1,1； ( 1,1； ( ； r ；r ；二、判別下列級數(shù)的收斂 r a、冪級數(shù)； r . ( x n ( n n 的收斂區(qū)間 ( n!) 、 ；、 2n n 三、判別級數(shù) nn n cos 2 ln 的散性 (0, 2；0,2)；四、求極限1319127 n)13 2 ； 0,2 .n 五、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間、若冪級n nn的收斂半徑為 : 0 R 1 1、n n xn；、n n2 2 n nn的收斂半徑為

16、: 0 R 2 2則冪級數(shù)六、求冪級數(shù) n ( n 的和函數(shù) n ( a ) n nn的收斂半徑至少 七、求數(shù)項(xiàng)級數(shù) !n 的和 ； R 1 2 max 2 1 2八、試將函數(shù)(2 ) 九、設(shè) ( x) 是期為展開成 的級數(shù)2 的數(shù) 它 上的表達(dá)式、當(dāng) 時級數(shù) n 是 為f x ex , 將f ( x)展開成傅立葉級數(shù) 條件收斂；絕對收斂； 發(fā)斂散性與 k 值無關(guān) .十、將函數(shù) 0 x h f x) h 分別展開成正弦級數(shù)、 lim u 0 是數(shù) 收的 n nnn 充分條件；必要條件；和余弦級數(shù) .十一、證明如f ( x ) ( ), f ( x)以2為周期充條件；既充分又非必要條件 則f (

17、 x)的傅立葉系數(shù)a 00 1,2, ) k總結(jié)z z tz tx y 1 -z z tz tx y 1 當(dāng)x y 0時而( y )不是原點(diǎn)時則( y )為可去間斷,為無窮間斷三、z (ln y ) x y xln y；、 u xyz f x 1 2 x 第章 測 驗(yàn) 題 答 一、； 2、； ； 、； 5、； xz xyz ) y y3、； 、； 、； 、； 二、 三 四、 2 z 六、 3 x 0 t 七、 xy 3, x 2 、 f ( x ) 2 y 2 ) 2 2 0 ( y 2 ), x y 0f ( , y ) 2 y ) 2 2 y f f )四、 ( 2 . y y,x y x

18、 y 0八、 z 0五、六、xe2 f f f xy v v sin ) e , v v) 九、 t t z 七、 4 7及4 4十、x y 0八、4 ( 5 ).十一、 y 0 x y 九、切點(diǎn)(,c min十二、直線L 1 為異面直線 第章 測 驗(yàn) 題 答 案、； 、 3； 、； 5； 、 7、； 、； 9、； 、第章 測 驗(yàn) 題 答 一、； 、； 3； 4； 、；二、240 3；、 2 ； 9 64、； 、； 、； 、； 、 二、當(dāng) 0 時在點(diǎn) y ) 函數(shù)連續(xù)；、4R ；、52.總結(jié)2 1 y 3 2 2 3 8 a a1 1 x 1 -2 1 y 3 2 2 3 8 a a1 1 x 1 三、 0、 f ( x, ) dy x2 x, ) ( x ) ；1 n四、 提化 3 ) 1 五、 , ) ； 、 2) 5 、0 0rdr ( r cos1r sin0d六、 ( ) 1 ), ( (0,1) x四、00dzr f x , z )dx 七、 2e . x 五、21612250； 、 、 3八、 ) 2n n xn x 1六、 2