集合論習(xí)題解析

1、集合論習(xí)題解析第1頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四一、集合基礎(chǔ)1.1 與1.2 集合運(yùn)算1.3 冪集第2頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.1 與1 設(shè)A, B, C是任意3個(gè)集合，如果AB, B C, 則AC可能嗎？ AC常真嗎？舉例說(shuō)明。第3頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四AC可能A=1, B=1, C=1, 1AC不常真A=1, B=1, C=1第4頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2 設(shè)A, B是任意2個(gè)集合， A B與 AB同時(shí)成立，這可能嗎？第5頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20

2、日，1點(diǎn)22分，星期四可能A=1, B=1, 1.第6頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四3 設(shè)A, B, C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1) AB, BC AC;2) AB, BC AC;3) AB, BC AC;4) AB, BC AC;5) aA, AB aB.第7頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1）假A=1, B=2, C=2 2）假A=1, B=2, C=13）假A=1, B= 1, C=1, 1第8頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四4）假A=1, B=1, 1，C=1, 2

3、5）真子集定義第9頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四4 設(shè)A, B, C是U的子集，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1) ABAB=B;2) ABAB=A;3) ABAB=A;4) ABAB=B;5) ABA(B-A)=B;6) BA(A-B)B=A;第10頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1）假， A=B時(shí)不成立/* 與不同*/分析：I) ABAB=B： 因?yàn)锽AB；對(duì)于任意xAB，如果xA, 因?yàn)锳B, 所以xB, 則對(duì)任意的xAB， xB成立。所以AB=B。II) A=B AB=B，但AB不成立。第11頁(yè)，共126

4、頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2）假， A=1，B=1，2，不成立；3）假， A=B時(shí)不成立；4）假， A=1，B=1，2，不成立；5）假， A=B時(shí)不成立6）假， A=1，2，B=1，不成立；第12頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.2 集合運(yùn)算5 設(shè)A, B, C是任意3個(gè)集合，（1）AB=AC，則B=C嗎？（2）AB=AC，則B=C嗎？（3） AB=AC且AB=AC，則B=C嗎？第13頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（1）假A=1, 2, B=1, C=2（2）假A=1, B=1, 2, C=1, 3（3）真/*基本法、

5、反證法證明*/ 設(shè)xB，假設(shè)xC。因?yàn)閤B，所以xAB；因?yàn)锳B=AC，所以xAC；因?yàn)閤C，所以xA；又因?yàn)閤B，所以x AB；因?yàn)锳B=AC ，所以xAC；則xC，這與xC矛盾。所以B=C。第14頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四6 設(shè)A, B是任意2個(gè)集合，（1）若A-B=B，則A與B有何關(guān)系？（2）若A-B=B-A，則A與B有何關(guān)系？（3）若AB=AB，則A與B有何關(guān)系？（4）若AB=A，則A與B有何關(guān)系？/*用文氏圖輔助*/第15頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：(1)由A-B=B，可得出A=B=。第16頁(yè)，共126頁(yè)，2022年

6、，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四(2)由A-B=B-A，可導(dǎo)出A=B。第17頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四(3) A=B第18頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四(4) B=第19頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四7 給出下列命題成立的充分必要條件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推導(dǎo)*/第20頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四解：(1)1) ：設(shè)(A-B)(A-C)=A，對(duì)任意的x，xA，則xA-B 或 xA

7、-C；則有第21頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2）：設(shè)ABC=，對(duì)任意的x，xA，則xB或xC，則有第22頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四 對(duì)任意的x，x(A-B)(A-C)，則xA-B或 xA-C，則有第23頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（2） (A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)= AB并且ACABC所以，充要條件為ABC。第24頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（3） 1) 設(shè)(A-B)(A-C)=，對(duì)任意的x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；則

8、有xB或xC；得xBC。 所以ABC。 2) ABC AB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。 從而， (A-B)(A-C)= ABC。第25頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（4） (A-B)(A-C)= (A-B)-(A-C) (A-C)-(A-B) = (A-B)(A-C) 并且 (A-C)(A-B) (A-B)=(A-C)第26頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.3 冪集7 設(shè)A, B是任意2個(gè)集合，證明：（1） ABP(A)P(B)（2） P(A)P(B) A B（3） P(A)=P(B) A=B第27頁(yè)，共12

9、6頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四/*利用基本法證明集合的包含關(guān)系*/證明：(1)對(duì)任意的xP(A), 有xA, 又因?yàn)锳B，所以xB, 即xP(B) ；所以P(A)P(B) 。(2)/*證明方法同(1)；*/對(duì)任意的xA, 則xP(A)，又因?yàn)镻(A)P(B)，所以x P(B)，即xB；所以A B。(3)由(1)和(2)的證明導(dǎo)出。第28頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四二、二元關(guān)系1 設(shè)R是集合A上的關(guān)系（1）R是自反的，則RR是自反的；（2）R是對(duì)稱的，則RR是對(duì)稱的；（3）R是反自反和傳遞的，則R是反對(duì)稱的；第29頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月2

10、0日，1點(diǎn)22分，星期四/*證明思想：根據(jù)定義給出的性質(zhì)證明*/證明：（1）證明思想與（2）和（3）相同（2）設(shè)(a, b)RR, 則存在c, (a, c)R, (c, b)R; 因?yàn)镽是對(duì)稱的，所以(b, c)R, (c, a)R; 所以(b, a)RR。則RR是對(duì)稱的。（3）假設(shè)(a, b)R, (b, a)R。因?yàn)镽是傳遞的，所以(a, a)R，(b, b)R；因?yàn)镽是反自反的，所以導(dǎo)致矛盾。第30頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2 設(shè)R是A上的關(guān)系，若R是自反的和傳遞的，則RR=R。 其逆命題也成立嗎？證明思想：證明RR=R，1）證明RRR； 2） 證明RRR

11、：第31頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：1）證明RRR： 設(shè)(a, b)RR，存在cA, 使得(a, c)R, (c, b)R，因?yàn)镽是傳遞的，所以(a, b)R；則RRR；2） 證明RRR： 設(shè)(a, b)R，R是自反的，(b, b)R，所以(a, b)RR；則RRR。所以RR=R。第32頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四自反不成立傳遞成立第33頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四特殊關(guān)系3 設(shè)S=1, 2, 3, 4，并設(shè)A=SS，在A上定義關(guān)系R為：（a, b）R（c, d）當(dāng)且僅當(dāng)a+b=c+d。（1）證明R

12、是等價(jià)關(guān)系；（2）計(jì)算出A/R。第34頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（1）證明：/*根據(jù)等價(jià)關(guān)系的定義證明*/1） /*證明R是自反的；*/ 對(duì)于任意的(a, b)SS，因?yàn)閍+b=a+b，所以(a, b) R (a, b)，即R是自反的。2） /*證明R是對(duì)稱的；*/ 如果(a, b) R (c, d)，則a+b=c+d，那么有c+d=a+b； 所以(c, d) R (a, b)，即R是對(duì)稱的。3） /*證明R是傳遞的；*/ 如果(a, b) R (c, d)， (c, d) R (e, f)，則a+b=c+d，c+d= e+f；所以a+b= e+f，得(a, b

13、) R (e, f)，即R是傳遞的。第35頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（2）如果(a, b) R (c, d)，則a+b=c+d，所以根據(jù)和的數(shù)來(lái)劃分。第36頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四4 設(shè)R, S是A上的等價(jià)關(guān)系，證明：RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR。第37頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明思想：1）RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR；證明(i)RSSR； (ii)SR RS；2） RS=SR RS是A上的等價(jià)關(guān)系；證明RS是(i)自反的；(ii)對(duì)稱的；(iii)傳遞的；第38頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，

14、5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：1）RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR： 如果(a, b)RS, 因?yàn)镽S是對(duì)稱的，所以(b, a)RS, 所以存在cA, 使得(b, c)R, (c, a)S；因?yàn)镽和S是對(duì)稱的，所以(c, b)R, (a, c)S； 則(a, b)SR； 同理，SR RS；第39頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2） RS=SR RS是A上的等價(jià)關(guān)系：/*證明RS是自反的、對(duì)稱的比較容易*/第40頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四傳遞性證明：對(duì)任意a, b, cA，如果(a, b)RS, (b, c)RS，因?yàn)镽S=SR，則有

15、(b, c)SR，即存在e, fA，使(a, e)R，(e, b)S，(b, f)S，(f, c)R。因?yàn)镾是傳遞的，(e, b)S，(b, f)S，所以(e, f)S；因?yàn)?a, e)R，所以(a, f)RS；RS是對(duì)稱的，則(f, a)RS；因?yàn)镽是對(duì)稱的，(f, c)R，則(c, f)R。因?yàn)?f, a)RS，則存在gA，使得(f, g)R，(g, a)S；因?yàn)镽是傳遞的，由(c, f)R，(f, g)R，則(c, g)R；因?yàn)?c, g)R，(g, a)S，所以(c, a)RS。因?yàn)橐呀?jīng)證明，RS是對(duì)稱的，所以(a, c)RS。第41頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，

16、星期四函數(shù)12 設(shè)f: XY是函數(shù)，A, B是X的子集，證明：（1）f(AB) f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A) - f(B) f(A-B)第42頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四/*基本法證明*/證明：（1）對(duì)任意的yf(AB)，存在x，x AB，使得y=f(x)。因?yàn)閤A，所以yf(A)；因?yàn)閤 B，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。則f(AB) f(A)f(B)。第43頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四13 設(shè)R是A上的一個(gè)二元關(guān)系，S=(a, b) | a,bA并且對(duì)于某個(gè)cA，有(a, c)R且(c

17、, b)R。證明：若R是A上的等價(jià)關(guān)系， 則S是A上的等價(jià)關(guān)系。/*證明是S自反、對(duì)稱和傳遞*/第44頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四四、概念綜合練習(xí)一、選擇題（北京理工大學(xué)2000考研）1 下列集合運(yùn)算中（ ）對(duì)滿足分配律。A) B) C) D) 第45頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2 A、B是集合，P(A)、P(B)為其冪集，且AB=，則P(A)P(B)=（ ）A) B) C) D) , 第46頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四3 A、B是集合，以下各式除（ ）之外，均與AB等價(jià)。A) ABBB) AB=BC)

18、AB=AD) ABB2第47頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四4 R是集合A上的自反關(guān)系，則（ ）A) R RB) RR RC) RR-1=IAD) R R-1=IA第48頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四5 集合A中有n個(gè)元素，則A上共有（ ）個(gè)既對(duì)稱又反對(duì)稱的關(guān)系。A) 0B) 2nC) n2D) 2n第49頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四6 R是可傳遞的二元關(guān)系，則在RR-1,RR-1, R-R-1, R-1-R中，有（ ）個(gè)一定是可傳遞的。A) 1B) 2C) 3D) 4第50頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20

19、日，1點(diǎn)22分，星期四7 函數(shù)f: RR，其中R為實(shí)數(shù)集合，下列四個(gè)命題中（ ）為真。A) f(x)=5是內(nèi)射的B) f(x)=5是滿射的C) f(x)=5是雙射的D) A), B), C)都不真第51頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四8 集合A到B共有64個(gè)不同的函數(shù)，則B中元素不可能是（ ）個(gè)。A) 4B) 8C) 16D) 64第52頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四二、選擇題（北京理工大學(xué)1999）1 已知AB=1, 2, 3，AC=2, 3, 4 ，若2B，則 。A) 1CB) 2CC) 3CD) 4C第53頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，

20、5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2 對(duì)任何二元關(guān)系R，在RR-1, RR-1, RR-1, RR-1中有 個(gè)一定是對(duì)稱關(guān)系。A) 1B) 2C) 3D) 4第54頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四3 R=(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3), 則 t(R)。A) (1, 1)B) (1, 2)C) (1, 3)D) (1, 4)第55頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四集合論考研習(xí)題考研習(xí)題一、集合基礎(chǔ)二、二元關(guān)系三、函數(shù)第56頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四一、集合基礎(chǔ)1.1 集合運(yùn)算容斥原理1.2

21、 集合運(yùn)算證明1.3 冪集1.4 相類似的練習(xí)題目第57頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.1 集合運(yùn)算容斥原理中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化所1997120個(gè)學(xué)生參加考試，考試有A、B和C3道題，考試結(jié)果如下：12個(gè)學(xué)生3道題都做對(duì)了，20個(gè)學(xué)生做對(duì)A和B，16個(gè)學(xué)生做對(duì)A和C，28個(gè)學(xué)生做對(duì)B和C，做對(duì)A的有48個(gè)學(xué)生，做對(duì)B 的有56個(gè)學(xué)生，有16個(gè)學(xué)生一道也沒(méi)有做對(duì)。試求做對(duì)了C的學(xué)生有多少個(gè)？直接使用容斥原理第58頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四解：設(shè)做對(duì)A題的學(xué)生集合為PA，做對(duì)B題的學(xué)生集合為PB，做對(duì)C題的學(xué)生集合為PC。/*根據(jù)容斥原理，

22、列出計(jì)算式*/|PAPBPC|=12, |PAPB|=20, |PAPC|=16, |PBPC|=28, |PA|=48, |PB|=56, 第59頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四/*根據(jù)容斥原理，進(jìn)行計(jì)算*/|PAPBPC|=120-16, |PAPBPC|= |PA|+ |PB|+ |PC|- |PAPB|- |PAPC|-|PBPC|+ |PAPBPC|, 所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做對(duì)C題的學(xué)生為52人。第60頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四容斥原理解題總結(jié)使用容斥原理時(shí)，首先搞清論域，劃定全集；

23、其次對(duì)全集進(jìn)行分類，列出計(jì)算式；最后根據(jù)容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算。第61頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京師范大學(xué)2001證明容斥原理：設(shè)A1, A2, , An都是有限集，則|A1A2An|=其中：i1, i2, in是遍歷1, 2, , n的所有k元子集。/*證明思想：數(shù)學(xué)歸納法*/第62頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：1）歸納基礎(chǔ)： 當(dāng)k=2時(shí)，集合A1和A2的公共元素個(gè)數(shù)為|A1A2|，這些元素中的每一個(gè)在|A1|+|A2|里計(jì)算了兩次，但在|A1A2|中是作為一個(gè)元素計(jì)算的。因此有|A1A2|= |A1|+|A2|-|A1A2

24、|。 所以，當(dāng)n=2時(shí)，命題成立。第63頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2）歸納步驟：第64頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四 當(dāng)k=n時(shí)，|A1A2An|= |(A1A2An-1)An|= |(A1A2An-1)|+|An|-|(A1A2An-1)An| 因?yàn)閨(A1A2An-1)An|= |(A1An) (A2 An) (An-1An)|/*n-1個(gè)集合的并，根據(jù)歸納假設(shè)展開(kāi)*/第65頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京師范大學(xué)2000設(shè)S為任一集合，證明在S與其冪集P(S)之間不存在1-1對(duì)應(yīng)。第66頁(yè)，共126

25、頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.2 集合運(yùn)算證明基本法、公式法第67頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四中國(guó)科學(xué)院軟件所19981 對(duì)于任意集合A和B，證明: (1) P(A)P(B)P(AB), (2) P(A)P(B)=P(AB)；并舉例說(shuō)明P(A)P(B)P(AB)。/* 冪集的定義：P(A)=x|xA */第68頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（1）/*基本法*/ 對(duì)任意的xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，則xA，所以xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B) ，則xB，所以xAB，即xP(AB

26、)。 綜上所述， P(A)P(B)P(AB)。第69頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（2） /*基本法*/ 對(duì)任意的xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA并且xB，則xAB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。 對(duì)任意的xP(AB)，有xAB，即xA并且xB，所以xP(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。 綜上所述，P(A)P(B)=P(AB)。第70頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四舉例說(shuō)明P(A)P(B)P(AB)。A=1, B=2, AB=1, 2;P(A)=, 1, P(B)=, 2, P(A)P

27、(B)= , 1, 2, P(AB)= , 1, 2, 1, 2; 所以P(A)P(B)P(AB)。 第71頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四中國(guó)科學(xué)院計(jì)算所19982 證明：若(A-B)(B-A)=C，則A(B-C) (C-B)的充分必要條件是ABC=。證明思想：（1）充分性，即證明：若ABC=，則A(B-C) (C-B)；基本法證明；（2）必要性，即證明：若A(B-C) (C-B)，則ABC=；反證法證明。第72頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：（1）對(duì)于任意的aA，因?yàn)锳BC=，所以aBC，則a有3種情況：I) aB，但aC，則aC-

28、B，所以a(B-C) (C-B)；II) aB，但aC，則aB-C，所以a(B-C) (C-B)；III) aB且aC，因?yàn)閍A，所以aA-B，所以a(A-B)(B-A)，即aC，導(dǎo)致矛盾，所以aB且aC不可能出現(xiàn)。綜上所述，對(duì)于任意的aA， a(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明：（2）假設(shè)ABC，則存在a，a ABC，即aA， aB，且aC。所以a B-C，aC-B。則a(B-C)(C-B)。因?yàn)锳(B-C) (C-B)，aA，所以導(dǎo)致矛盾。所以ABC=。第74頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22

29、分，星期四北京大學(xué)19983 給出集合表達(dá)式(A-C)B=AB成立的充要條件.第75頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四 第76頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)1994判斷題，為真給出證明，為假給出反例：1）x-x2）若AB=AC，則B=C。3）R是A上的關(guān)系，則R=R2的充要條件是R=IA。第77頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.3 冪集冪集運(yùn)算：代數(shù)法第78頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)19971 設(shè)A為集合，B=P(A)-A，且B。求偏序集(B, )的極大元，極小元，最

30、小元。第79頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四因?yàn)锽，所以|A|1。對(duì)任意xA, A-x是極大元，x是極小元，無(wú)最小元。第80頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)19992 設(shè)A=, ，計(jì)算P(A)-, P(A)A。第81頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四/* 代數(shù)法求P(A) */設(shè)x=, y=，A=x, y, P(A)=, x, y, x, y;P(A)=, , , , ;P(A)-=, , , ;P(A)A= , , ;第82頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四上海大學(xué)19983 設(shè)A是集

31、合，A的元素也是集合，P(A)是A的冪集。定義A= x | yA, xy （1）計(jì)算a, b, c, a, d, e, a, f；（2）證明P(A)=A；（3）請(qǐng)問(wèn)P(A)=A？解題要素：A（廣義并）和冪集的定義；基本法第83頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（1）計(jì)算a, b, c, a, d, e, a, f解： a, b, c, a, d, e, a, f=a, b, c a, d, e a, f= a, b, c, d, e, f第84頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（2）證明P(A)=A證明： 對(duì)任意xP(A)，則存在yP(A)，xy

32、；因?yàn)閥P(A)，所以yA；因此xy，則有P(A)A ； 對(duì)任意xA，設(shè)y=x，則yA。所以yP(A)。因此xP(A)。 所以P(A)=A。第85頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四（3）請(qǐng)問(wèn)P(A)=A？不成立。反例：（1） A=a, b, c, a, d, e, a, fA=a, b, c, d, e, fP(A)A第86頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四上海交通大學(xué)19984 C是非空集合族，證明：P(C)=P(X)|XC證明方法：基本法，集合族的概念第87頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四證明： 任取xP(C)，則x

33、C，所以對(duì)于任意的ax，有aC；對(duì)于任意的XC，有aX；那么xX，即xP(X)。由X的任意性，也即xP(X)|XC。所以P(C) P(X)|XC。 任取xP(X)|XC，則對(duì)于任意的XC，有xP(X)，即xX。因?yàn)閄C，對(duì)于任意的ax，有aX；因此aC。所以xC，即xP(C)。所以P(X)|XC P(C)。 所以P(C)=P(X)|XC。第88頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四中科院成都計(jì)算所20005 設(shè)A是一有限集，A的基數(shù)為|A|。證明：A的冪集P(A)的基數(shù)|P(A)|=2|A|。第89頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四1.4 相類似的題

34、目1 A, B是兩個(gè)集合，給出AB=B的充分必要條件是什么，并證明你的結(jié)論。/*南京理工大學(xué)2000*/第90頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四2 判斷下列各式是否成立，如果成立，則證明之，否則舉出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB), （2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大學(xué)2001第91頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四3 證明P(A)P(B)P(AB)，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件。上海交通大學(xué)1999第92頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四4 設(shè)A, B, C, D為4個(gè)非空集合，則AB CD的充分必要條件是 。

35、/*重慶大學(xué)1998*/第93頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四二、二元關(guān)系關(guān)系及其性質(zhì)與運(yùn)算等價(jià)關(guān)系與劃分序關(guān)系第94頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四關(guān)系及其性質(zhì)與運(yùn)算第95頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)19971 設(shè)R=(x, y) | x, yN并且x+3y=12，求R2。解題思路：將R的所有元素列出，求R與它本身復(fù)合所得的關(guān)系第96頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四解：R= (0, 4), (3, 3), (6, 2), (9, 1), (12, 0) R2= (3, 3),

36、(12, 4) 第97頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)19902 設(shè)R是復(fù)數(shù)C上的二元關(guān)系，且滿足xRyx-y=a+bi，a和b為非負(fù)整數(shù)，試確定R的性質(zhì)（自反、反自反、對(duì)稱、反對(duì)稱和傳遞），并證明之。第98頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四北京大學(xué)19943 判斷題，為真給出證明，為假給出反例：R是A上的二元關(guān)系，則R=R2R=IA。第99頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四武漢大學(xué)19994 設(shè)A=a, b, c，給出A上的一個(gè)二元關(guān)系R，使其同時(shí)不滿足自反、反自反、對(duì)稱、反對(duì)稱和傳遞性。第100頁(yè)，共126頁(yè)

37、，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四武漢大學(xué)19985 設(shè)A=1, 2, 3，R是P(A)上的二元關(guān)系，且R= (a, b) | ab 。則R不滿足下列哪些性質(zhì)？為什么？1) 自反2) 反自反3) 對(duì)稱4) 反對(duì)稱5) 傳遞性第101頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四等價(jià)關(guān)系與劃分第102頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四中科院成都計(jì)算所20011 設(shè)R是集合A上的一個(gè)傳遞的和自反的關(guān)系，T是A上的一個(gè)關(guān)系，使得(a, b)屬于T當(dāng)且僅當(dāng)(a, b)和(b, a)都屬于R。證明：T是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。第103頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月2

38、0日，1點(diǎn)22分，星期四西南交通大學(xué)19972 設(shè)X和Y都是正整數(shù)集，xiX, yiY, i=1, 2.1下列關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系？證明你的結(jié)論。1) R=(x1, x2), (y1, y2)|x1+y2=x2 +y1 2) R=(x1, x2), (y1, y2)|x1+y1=x2 +y2 2若R是等價(jià)關(guān)系，定義集合M, M=(0, 2), (1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 6), (5, 6), 。試給出它的等價(jià)類。第104頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四西南交通大學(xué)19983 設(shè)S=1, 2, 3，定義SS上的關(guān)系R為：對(duì)任意(a, b),

39、(c, d)SS，有(a, b), (c, d) a+d=b+c，證明：R為SS上的等價(jià)關(guān)系并給出SS/R。第105頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四上海交通大學(xué)20014 設(shè)P是X上的等價(jià)關(guān)系，Q是Y上的等價(jià)關(guān)系，關(guān)系R滿足(x1, y1), (x2, y2)R 當(dāng)且僅當(dāng)(x1, x2)P，(y1, y2)Q，證明： R是XY上的等價(jià)關(guān)系。第106頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四南京理工大學(xué)20005 R是集合A上等價(jià)的二元關(guān)系，證明R2也是A上的等價(jià)關(guān)系。第107頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四序關(guān)系第108頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四西南交通大學(xué)19981 集合A上的二元關(guān)系R如果是傳遞和反自反的，則稱R是A上的擬序關(guān)系，證明：（1）如果R是A上的擬序關(guān)系，則r(R)=RIA是偏序關(guān)系；（2）如果R是A上的偏序關(guān)系，則R-IA是擬序關(guān)系。第109頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期四西南交通大學(xué)19992 設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，且BA，試證明R=R(BB)是B上的偏序關(guān)系。第110頁(yè)，共126頁(yè)，202