高等數(shù)學(xué)第二節(jié)對(duì)面積的曲面積分

1、高等數(shù)學(xué)第二節(jié)對(duì)面積的曲面積分第1頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四一、對(duì)面積的曲面積分的定義二、 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算四、對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用第2頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四 把曲面分成n片小曲面, 這些小曲面為S1,S2, ,Sn, Si也表示Si的面積(i=1,2,n).一、對(duì)面積的曲面積分的定義 設(shè)有一曲面形構(gòu)件, 它所占位置的空間曲面見圖9-4, 面密度為連續(xù)函數(shù)u=f(x, y, z), 利用分割、作和、取極限的方法求該構(gòu)件的質(zhì)量. 在Si上取點(diǎn) Mi(i, i, i), 稱Si任意取兩點(diǎn)間距離的最

2、大值為Si的直徑,Si圖9-4,第3頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四則曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為式中為n片小曲面直徑中的最大值.Si圖9-4,第4頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四 定義2 設(shè)是光滑曲面, 函數(shù)u = f ( x, y, z ), 在上有界,分為n片小曲面, 這些小曲面為S1, S2, , Sn, Si 也表示Si 的面積 ( i =1, 2, , n ).如果存在, 則稱該值f ( x, y, z )在上的對(duì)面積的曲面積分, 也稱為第一型的曲面積分, 記成 在Si上取點(diǎn)Mi(i, i, i), 記為n片小曲面直徑的最大值.其中f (

3、x, y, z ) 稱為被積分函數(shù), 稱為積分曲面.第5頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四如果是閉合曲面上的積分, 又可記成 定理1 當(dāng)f ( x, y, z )在光滑或分段光滑曲面上連續(xù)時(shí),存在.第6頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四二、 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì) 設(shè)下面所涉及的曲面積分是存在的, 則有下述性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)k為常數(shù), 則性質(zhì)2 第7頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四性質(zhì)3 將分成1 與2, 則 k為常數(shù), A為的面積.性質(zhì)4性質(zhì)5 若在上 f ( x, y, z ) g ( x, y, z ), 則第8頁(yè)，共

4、19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四 性質(zhì)7 當(dāng) f ( x, y, z )在光滑曲面上連續(xù)時(shí), 必有 (, , )在上, 使得性質(zhì)6 在上若沒m f ( x, y, z ) M, 則其中A表示的面積.第9頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 定理2 設(shè)曲面: 在z = z ( x, y ), 它在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy, z = z ( x, y ) 在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), f ( x, y, z ) 在上連續(xù), 則有公式如果曲面投影到y(tǒng)Oz或 zOx面, 則有下述計(jì)算曲面積分的公式第10頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月

5、20日，21點(diǎn)30分，星期四 定理3 設(shè) f ( x, y, z )與滿足定理 2 的條件, 若 f ( x, y, z ) = f ( x, y, - z ), 關(guān)于xOy對(duì)稱, 1表示的位于xOy面上方的部分, 則有若f ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) , 則有第11頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四例1 求其中為平面 中解出在第一卦限中的部分.將在xOy面上投影區(qū)域記為Dxy, 如圖9-5第12頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四圖9-5第13頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四例2 求其中 :

6、x2 + y2 = R2, 0 z h (R 0) 解法1 把分成前后兩部分1與2, 則Dyz: - R y R, 0 z h解法2 面積的微分dS = 2Rdz,故第14頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四 設(shè)有一分布著質(zhì)量的光滑曲面, 在點(diǎn) ( x, y, z )處的面密度為連續(xù)函數(shù)f ( x, y, z ), 利用微元分析法不難推得下面各公式.四、 對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用 質(zhì)量 設(shè)重心為則第15頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中Ix, Iy, Iz, Io, 分別表示曲面對(duì)x軸, y軸, z軸以及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第16頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四例3 求拋物面殼的質(zhì)量 此殼面密度為 = z.所求質(zhì)量為第17頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四故所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 例4 求面密度為常數(shù) 0的半球殼 x2 + y2 + z