2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(廣東卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷共4頁(yè),21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)

2、使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無(wú)效.5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015廣東,文1)若集合M=-1,1,N=-2,1,0,則MN=()A.0,-1B.1C.0D.-1,1答案:B解析:因?yàn)镸,N的公共元素只有1,所以MN=1.2.(2015廣東,文2)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:

3、(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015廣東,文3)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12xD.y=x2+答案:D解析:A為奇函數(shù),B和C為偶函數(shù),D既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).4.(2015廣東,文4)若變量x,y滿足約束條件x+2y2,x+y0,xA.2B.5C.8D.10答案:B解析:約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示,而z=2x+3y可變形為y=-23x+z3,z3表示直線y=-23x在y軸上的截距,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,-1)時(shí)z取最大值,最大值為z=24+3(5.(2015廣東

4、,文5)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且bc,則b=(A.3B.22C.2D.3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-2b2332,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因?yàn)閎0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,A.2B.3C.4D.9答案:B解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因?yàn)閙0,所以m=3.9.(2015廣東,文9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則ADAC=(A.5B.4C.3D.2答案:A

5、解析:AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3所以ADAC=(2,1)(3,-1)=23+1(-1)=10.(2015廣東,文10)若集合E=(p,q,r,s)|0ps4,0qs4,0rs4且p,q,r,sN,F=(t,u,v,w)|0tu4,0vw4且t,u,v,wN,用card(X)表示集合X中的元素個(gè)數(shù),則card(E)+card(F)=()A.200B.150C.100D.50答案:A解析:E中有序數(shù)組的要求為s均大于p,q,r,當(dāng)s取4時(shí),p可取0,1,2,3,q也可取0,1,2,3,r也可取0,1,2,3,此時(shí)不同數(shù)組有444=64個(gè);同理當(dāng)s取3時(shí),p,q,r均可從0,1

6、,2中任取1個(gè),此時(shí)不同數(shù)組有333=27個(gè);當(dāng)s取2時(shí),p,q,r可從0,1中任取1個(gè),不同數(shù)組有222=8個(gè);當(dāng)s取1時(shí),p,q,r只能都取0,不同數(shù)組有1個(gè),因此E中不同元素共有64+27+8+1=100個(gè).F中元素要求為tu,v0的解集為.(用區(qū)間表示)答案:(-4,1)解析:不等式可化為x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得-4x1.12.(2015廣東,文12)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的均值x=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值為.答案:11解析:由題意,yi=2xi+1(i=1,2,n),則y=2x+1=25+1=11.13.(2015廣東,文1

7、3)若三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=5+26,c=5-26,則b=.答案:1解析:因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b2=(5+26)(5-26)=1.又b是正數(shù),所以b=1.(二)選做題(14-15題,考生只能從中選做一題)14.(2015廣東,文14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos +sin )=-2,曲線C2的參數(shù)方程為x=t2,y=22t,(t為參數(shù)),則答案:(2,-4)解析:(cos +sin )=-2,曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=-2.由已知得曲線C2的普通方

8、程為y2=8x.由x+y=-2,y2=8x解得y=-4,x=2.所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-4).15.(2015廣東,文15)(幾何證明選講選做題)如圖,AB為圓O的直徑,E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)E作圓O的切線,切點(diǎn)為C,過(guò)A作直線EC的垂線,垂足為D.若AB=4,CE=23,則AD=.答案:3解析:由切割線定理得EC2=EBEA,即12=EB(EB+4),可求得EB=2.連接OC,則OCDE,所以O(shè)CAD,所以EOEA=OCAD,即46三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2015廣東,文16)已知tan =2

9、.(1)求tan+(2)求sin2si解:(1)tan=tan+11(2)sin2=2sin=2sin=2tan=22217.(本小題滿分12分)(2015廣東,文17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量為220,240),240,260),260,280),280,300的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在220,240)的用戶

10、中應(yīng)抽取多少戶?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)20=1,得x=0.007 5,所以直方圖中x的值是0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+2402=230因?yàn)?0.002+0.009 5+0.011)20=0.4553易知x3,所以53x3所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2+y2-3x=053(3)由題意知直線L表示過(guò)定點(diǎn)T(4,0),斜率為k的直線.結(jié)合圖形,x0-322+y02=9453根據(jù)對(duì)稱性,只需討論在x軸下方的圓弧.由F53,-253,則而當(dāng)直線L與軌跡C相切時(shí),3k2-4k在這里暫取k=34,因?yàn)?5734結(jié)合圖形,可得對(duì)于x軸下方的圓弧,當(dāng)0k257或k=34時(shí),直線L與根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)-257k0時(shí),則有2a1,所以a12所以00因?yàn)閒(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,所以f(x)f(2)=-2,而y=-4x在(0,2)上單調(diào)遞增,y2時(shí),f(x)min=f(a)=a-a2,當(dāng)x