2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試課標(biāo)全國(guó)文科數(shù)學(xué)考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).第卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答,答案無(wú)效.3.考試結(jié)束,監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015課標(biāo)全國(guó),文1)已知集合A

2、=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為()A.5B.4C.3D.2答案:D解析:由條件知,當(dāng)n=2時(shí),3n+2=8,當(dāng)n=4時(shí),3n+2=14.所以AB=8,14.故選D.2.(2015課標(biāo)全國(guó),文2)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案:A解析:AB=OB-OA=(3,2)-(0,1)=(3,1),AC=(-BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-73.(2015課標(biāo)全國(guó),文3)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-i

3、B.-2+iC.2-iD.2+i答案:C解析:(z-1)i=1+i,z=1+ii+1=(1+i)(-i)-i2+1=1-4.(2015課標(biāo)全國(guó),文4)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15答案:C解析:從1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù)共有10種不同的取法,其中的勾股數(shù)只有3,4,5,因此3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有一種,故所求概率為15.(2015課標(biāo)全國(guó),文5)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為12,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線

4、與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=(A.3B.6C.9D.12答案:B解析:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),E的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1ca=12b2=a2-c2=12,于是橢圓方程為x216+拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,將其代入橢圓方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.6.(2015課標(biāo)全國(guó),文6)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放

5、的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為h.米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,142R=8,h=5,米堆的體積V=1413R2h=3,V3209(立方尺堆放的米約有32091.627.(2015課標(biāo)全國(guó),文7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=()A.172B.192C.答案:B解析:公差d=1,S8=4S4,8即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1a10=a1+9d=12+9=8.(2015課標(biāo)全國(guó),文8)函數(shù)f(x)=cos(x

6、+)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.k-1B.2k-C.k-14D.2k-1答案:D解析:不妨設(shè)0,由函數(shù)圖像可知,其周期為T=254-所以2=2,解得=所以f(x)=cos(x+).由圖像可知,當(dāng)x=1214+54=3即f34=cos34解得34+=2k+(k解得=2k+4(kZ)令k=0,得=4,所以f(x)=cos令2kx+42k+(k解得2k-14x2k+34(k所以函數(shù)f(x)=cosx+4的單調(diào)遞減區(qū)間為2k-14,9.(2015課標(biāo)全國(guó),文9)執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n=()A.5B.6C.7D.8答案:C解析:由于S=1,n=0

7、,m=12,t=0.01則S=S-m=12,m=m2=14,n=n+1=1,S=14,m=18,n=2,S0.S=18,m=116,n=3,S0.S=116,m=132,n=4,S0.S=132,m=164,n=5,S0.S=164,m=1128,n=6,S0.S=1128,m=1256,n=7,S1時(shí),f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-11.(2015課標(biāo)全國(guó),文11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=

8、()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.S表=2r2r+212r2+r2r+12=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015課標(biāo)全國(guó),文12)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y=2x+a的圖像關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,且f(-2)+f(-4)=1,則a=()A.-1B.1C.2D.4答案:C解析:設(shè)(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的任意一點(diǎn),它關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x),由已知得

9、點(diǎn)(-y,-x)在曲線y=2x+a上,-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.第卷注意事項(xiàng):第卷共3頁(yè),須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答,答案無(wú)效.本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2015課標(biāo)全國(guó),文13)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=.答案:6解析:an

10、+1=2an,即an+1aan是以2為公比的等比數(shù)列.又a1=2,Sn=2(1-2n=64,n=6.14.(2015課標(biāo)全國(guó),文14)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7),則a=.答案:1解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切線斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知點(diǎn)為(1,a+2).而由過(guò)(1,a+2),(2,7)兩點(diǎn)的直線的斜率為a+2-715-a=3a+1,解得a=1.15.(2015課標(biāo)全國(guó),文15)若x,y滿足約束條件x+y-20,x-2答案:4解析:畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(如圖陰影部分所示),由x-2y+1=0,x+y

11、-2=0解得由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直線l0:y=-3x,并平移,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,即z最大.所以zmax=31+1=4.16.(2015課標(biāo)全國(guó),文16)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,66).當(dāng)APF周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為答案:126解析:設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,如圖.由雙曲線的定義知|PF|=2a+|PF1|,APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周長(zhǎng)最小,則應(yīng)使|PA|+|PF

12、1|最小,即P,A,F1三點(diǎn)共線.A(0,66),F1(-3,0),直線AF1的方程為x-3+y66=1,將其代入x2-y28=1得y2+66y-96=解得y=26或y=-86(舍去),因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26SAPF=S=12|F1F|yA-12|F1=12666-126三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國(guó),文17)已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)設(shè)B=90,且a=2,求ABC的面積.解:(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2

13、c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c(2)由(1)知b2=2ac.因?yàn)锽=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2所以ABC的面積為1.12分18.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國(guó),文18)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為63,求該三棱錐的側(cè)面積解:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.5分(2)設(shè)AB=x,在菱形A

14、BCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=因?yàn)锳EEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x由BE平面ABCD,知EBG為直角三角形,可得BE=22x由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=1312ACGDBE=6故x=2.9分從而可得AE=EC=ED=6所以EAC的面積為3,EAD的面積與ECD的面積均為5故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+25.12分19.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國(guó),文19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi

15、(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.xywi=18(xi-xi=18(wi-wi=18(xi-x)(yi-i=18(wi-w)(yi-46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),

16、年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為解:(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.2分(2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于d=c=y-dw=563-686所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68x.(3)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值y=100.6+6849=576.6年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.60.2-49=66.32.9分根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=0.2

17、(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12所以當(dāng)x=13.62=6.8,即x=46.24故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分20.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國(guó),文20)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求解:(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以|2k-解得4-7所以k的取值范圍為4-73(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k

18、2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1OMON=x1x2+y1=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.12分21.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國(guó),文21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)a0時(shí),f(x)2a+aln2解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=2e2x-ax(x0)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)沒(méi)有零點(diǎn),當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閑2x單調(diào)遞增,-ax單調(diào)遞增所以f(

19、x)在(0,+)單調(diào)遞增.又f(a)0,當(dāng)b滿足0ba4且b14時(shí),f(b)0時(shí),f(x)存在唯一零點(diǎn).6(2)由(1),可設(shè)f(x)在(0,+)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x)0.故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞減,在(x0,+)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2e2x0所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a故當(dāng)a0時(shí),f(x)2a+aln2a.12請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).22.(本小題滿分10分)(2015課標(biāo)全國(guó),文22)選修41:幾何證明選講如圖,AB是O的直徑,AC是O的切線,BC交O于點(diǎn)E.(1)若D為AC的中點(diǎn),證明:DE是O的切線;(2)若OA=3CE,求ACB的大小.解:(1)連結(jié)AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.連結(jié)OE,則OBE=OEB.又ACB+ABC=90,所以