人教版B版高中數(shù)學(xué)選修3-4(B版)正方形的對(duì)稱(chēng)變換群課件

1、正方形的對(duì)稱(chēng)變換群正方形的對(duì)稱(chēng)變換群知識(shí)填充我們已經(jīng)知道了正三角形的對(duì)稱(chēng)變換群。那么對(duì)于正方形，我們也通過(guò)直觀(guān)的圖形變換來(lái)研究它的對(duì)稱(chēng)變換群。我們?nèi)酝ㄟ^(guò)構(gòu)造它的對(duì)稱(chēng)變換群的方法來(lái)研究這個(gè)群。知識(shí)填充我們已經(jīng)知道了正三角形的對(duì)稱(chēng)變換群。知識(shí)填充首先，我們要搞清楚正方形都有哪些對(duì)稱(chēng)變換。我們通過(guò)圖形來(lái)看：1.通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，如圖是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的例子。知識(shí)填充首先，我們要搞清楚正方形都有哪些對(duì)稱(chēng)變換。知識(shí)填充我們知道正方形旋轉(zhuǎn)0度，90度，180度，270度都是保持圖形不變的變換，分別把它們記作s（0），s（90），s（180），s（270）。2.通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換。如圖：我們把對(duì)稱(chēng)軸和水平正向的夾角

2、當(dāng)作參數(shù)，分別記作t（0），t（45），t（90），t（135）知識(shí)填充我們知道正方形旋轉(zhuǎn)0度，90度，180度，270度都要點(diǎn)總結(jié)這樣，我們知道了正方形的對(duì)稱(chēng)變換群D4為：D4=s（0），s（90），s（180），s（270）， t （0），t（45），t（90），t（135）在這里，我們來(lái)看看它是否滿(mǎn)足群的條件。1.可結(jié)合的封閉的二元運(yùn)算。我們定義D4中任意兩個(gè)元素的乘積運(yùn)算為先進(jìn)行右邊的變換，然后進(jìn)行左邊的變換。我們需要驗(yàn)證它是否封閉：要點(diǎn)總結(jié)這樣，我們知道了正方形的對(duì)稱(chēng)變換群D4為：要點(diǎn)總結(jié)s（0）s（0）=s（0）；s（0）s（90）=s（90）；s（0）s（180）=s（180）；

3、s（0）s（270）=s（270）；s（0）t（0）=t（0）；s（0）t（45）=t（45）；s（0）t（90）=t（90）；s（0）t（135）=t（135）；s（90）s（90）=s（180）；s（90）s（180）=s（270）；s（90）s（270）=s（0）； s（90）t（0）=s（270）；s（90）t（45）=s（90）； s（90）t（90）=t（45）；s（90）t（135）=t（90）；要點(diǎn)總結(jié)s（0）s（0）=s（0）；s（0）s（90）=s（要點(diǎn)總結(jié)s（180）s（180）=s（0）；s（180）s（270）=s（90）；s（180）t（0）=t（90）；s（180

4、）t（45）=t（135）；s（0）t（90）=t（0）；s（0）t（135）=t（45）；s（270）s（270）=s（180）；s（270）t（0）=s（45）； s（270）t（45）=t（90）；s（270）t（90）=t（135）；s（270）t（135）=t（0）；要點(diǎn)總結(jié)s（180）s（180）=s（0）；s（180）s（要點(diǎn)總結(jié)t（0）t（0）=s（0）； t（0）t（45）=s（270）；t（0）t（90）=s（180）； t（0）t（135）=t（90）；t（45）t（45）=s（0）； t（45）t（90）=s（270）；t（45）t（135）=s（180）；t（90）t

5、（90）=s（0）； t（90）t（135）=s（270）；t（135）t（135）=s（0）；要點(diǎn)總結(jié)t（0）t（0）=s（0）； t（0）t（45）=s要點(diǎn)總結(jié)通過(guò)上面28種的變換，我們發(fā)現(xiàn)這種封閉的二元運(yùn)算是封閉的，即經(jīng)過(guò)運(yùn)算之后得到的元素仍然在D4中。2.結(jié)合律。我們?nèi)稳4中三個(gè)元素a、b、c，有 （ab）c=a（bc），因?yàn)楦淖冏儞Q的順序不改變變換的結(jié)果。3.單位元。我們很容易看到，s（0）即是D4的單位元。對(duì)于D4中任意的一個(gè)元素a，都有as（0）=s（0）要點(diǎn)總結(jié)通過(guò)上面28種的變換，我們發(fā)現(xiàn)這種封閉的二元運(yùn)算是封要點(diǎn)總結(jié)4.逆元。我們已經(jīng)知道了單位元s（0），在第一步驗(yàn)證乘積

6、運(yùn)算封閉時(shí)，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)D4中8種變換，都可以通過(guò)乘以D4中另外一個(gè)元素得到s（0），即D4中每一個(gè)元素都存在逆元。 這樣，我們便得到了正方形的對(duì)稱(chēng)變換群（D4，）。要點(diǎn)總結(jié)4.逆元。典型剖析我們剛才研究了正方形的對(duì)稱(chēng)變換群，它包含了旋轉(zhuǎn)變換和軸反射變換。那么，對(duì)于一般地情形，我們又有哪些發(fā)現(xiàn)呢？例：現(xiàn)給出平面的旋轉(zhuǎn)反射群其中，s為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，r代表關(guān)于傾角為的直線(xiàn)做反射。那么，變換的合成有哪些固定的形式呢？典型剖析我們剛才研究了正方形的對(duì)稱(chēng)變換群，它包含了旋轉(zhuǎn)變換和典型剖析要解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以借助圖形的輔助。首先，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的疊加容易理解。對(duì)于兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的合成有：這是兩次旋轉(zhuǎn)的疊加。典型剖析要解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以借助圖形的輔助。典型剖析接下來(lái)，我們考慮兩個(gè)對(duì)稱(chēng)情況。通過(guò)圖形，我們很容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，它保持點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不變。那么做變換 就是做一個(gè)旋轉(zhuǎn)，而且旋轉(zhuǎn)的角度是2。 即。那么，對(duì)于兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的合成：典型剖析接下來(lái)，我們考慮兩個(gè)對(duì)稱(chēng)情況。典型剖析 接下來(lái)，我們考慮旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)的合成。 對(duì)于 ，我們先考慮右邊的 運(yùn)算。 通過(guò)剛才的分析，一個(gè)對(duì)稱(chēng)即是 做二倍的傾角的旋轉(zhuǎn)，那我們就有 當(dāng)然，也可以寫(xiě)成 典型剖析 接下來(lái)，我們考慮旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)的合成。典型剖析 那么