概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用課后答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark260 o Current Document 2)似然函數(shù)為L(zhǎng)( )i12nx 2xixi /xi 3e xi/i 1 3in e i 1 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然2 32 3ni1ln L( ) 2ln xi 3nl n2( )xi / 。i1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為n?1xxi 。3n i 133) 因?yàn)?X B(m, p), 其分布律為PX x Cmxpx(1 p)m x, x 0,1,2, m所以， 似然函數(shù)為L(zhǎng)(p) i 1C

2、mxipxi(1 p)m xii 1Cmxinnx所以， 似然函數(shù)為L(zhǎng)(p) i 1Cmxipxi(1 p)m xii 1Cmxinnximnxipi 1(1 p) i 1 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為L(zhǎng)(p) ln p xii1nxi ln(1 p)ln Cmxi 。i1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)p 的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到p 的最大似然估計(jì)值為mnnxii18，設(shè)總體X 具有分布律X123pk22 (1)(1)2其中參數(shù)(01)未知。 已知取得樣本值x1 1,x22,x3 1， 試求 的最大似然估計(jì)值。解 ：根據(jù)題意，可寫(xiě)出似然函數(shù)為3L( ) PXxi2 2 (1)2 2 5(1)，i1相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函

3、數(shù)為ln L( ) ln2 5ln l n1( )。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為? 5/6。9，設(shè)總體X N( , 2) ， Y N( , 2) ，, 未知，2已知，X1,X2, ,Xn和 Y1,Y2, ,Yn分別是總體X和 Y的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求 , 最大似然估計(jì)量。解 ：根據(jù)題意，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)于總體X 和 Y 的似然函數(shù)分別為L(zhǎng)( ) i L( ) i 1(Xi )21 e 22n(Xi)21i11 e 22，n2相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為n1L( 相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為n1L( )1i1 2(Yi)2e 22n(Yi)2i1e 22，lnL( )ln L( )nlnL

4、( )ln L( )n2(Xi)2i122n2(Yi)2i122ln 2 n ，ln 2 n ，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)和 的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到X，Y，算出 , 最大似然估計(jì)量分別為? X 2 Y ，? X 2 Y 。10， ( 1)驗(yàn)證均勻分布U (0, )中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量。( 2) 設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù)Y ( ) ， 設(shè) Y1,Y2, ,Yn是來(lái)自總體Y的樣本。驗(yàn)證Y是 的無(wú)偏估計(jì)量。設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為Z 3Y Y2，求 E(Z)。n( 3)驗(yàn)證U 3Y 1Yi2是 E(Z)的無(wú)偏估計(jì)量。ni1解 ： ( 1)均勻分布U (0, )中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為

5、? 2X。由于E(?) 2E(X) 2 ，所以 ? 2X 是 的無(wú)偏估計(jì)量。2n( 2)因?yàn)镋(Y) 1E(Yi) 1 n ，所以 Y是 的無(wú)偏估計(jì)量。 TOC o 1-5 h z ni1nE(Z)3E(Y) E(Y2)3(2)42。1n1(3)因?yàn)?E(U ) 3E(Y) 1 E(Yi2)31 n( 2) 42 E(Z)，ni1n所以， U 是 E(Z)的無(wú)偏估計(jì)量。11，已知X1,X2,X3,X4是來(lái)自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量11T1 (X1 X2) (X3 X4)， 63T2 (X1 2X2 3X3 4X4)/5，T3 (X1 X2 X3 X4)/4。指 出 T1

6、,T2,T3中哪幾個(gè)是的無(wú)偏估計(jì)量。在 上述 的無(wú)偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解 ： ( 1)因?yàn)?TOC o 1-5 h z 1111E(T1)(E(X1) E(X2)(E(X3) E(X4)()()6363E(T2) (E(X1) 2E(X2) 3E(X3) 4E(X4)/5 2 ，E(T3) (E(X1) E(X2) E(X3) E(X4)/4。所以，T1,T3是的無(wú)偏估計(jì)量。( 2)根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出111221222/18D(T1)(D(X1) D(X2 )(D(X3 ) D(X4)( 22)( 22 ) 5 2/18369369D(T3) (D(X1) D(

7、X2) D(X3) D(X4)/162/4 D(T1)，所以，T3是比T1更有效的無(wú)偏估計(jì)量。12，以X 表示某一工廠制造的某種器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），設(shè)X N（ ,1296），今取得一容量為n 27的樣本，測(cè)得其樣本均值為x 1478，求（1） 的置信水平為0.95的置信區(qū)間，（ 2）的置信水平為 0.90的置信區(qū)間。解 ： 這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為1 的置信區(qū)間為x Z / 2 。n的置信水平為0.95的置信區(qū)間為129614781296 Z 0.025147848 1.961478 13.581464.42,1491.58 。271296

8、147827 Z1296147827 Z0.05147848 1.6451478 11.401466.60,1489.40 。13，以X 表示某種小包裝糖果的重量（以 g 計(jì)） ，設(shè) X N （ ,4），今取得樣本（容量為n 10） ：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46求 的最大似然估計(jì)值。求 的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ： （ 1）根據(jù)已知結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同：? X 。所以 的最大似然估計(jì)值為? x 56.8。2）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為56.8

9、4Z1056.84Z100.02556.80.4 1.9656.8 1.2455.56,58.04 。14，一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30 車葡萄中采樣測(cè) 得的糖含量（以某種單位計(jì)） TOC o 1-5 h z 16.0, 15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.115.8, 15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.415.4, 13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N（ , 2），, 2均未知。求 , 2 的無(wú)偏估計(jì)值。求

10、 的置信水平為90%的置信區(qū)間。解 ： （ 1）, 2 的無(wú)偏估計(jì)值為21n2? x 14.72，s2（xi x）2 1.9072。n 1i12） 的置信水平為90%的置信區(qū)間為s1.38075x s t0.05(n 1)14.72.1.699114.72 0.42814.292, 15.148 TOC o 1-5 h z n3015， 一油漆商希望知道某種新的內(nèi)墻油漆的干燥時(shí)間。在面積相同的12 塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄干燥時(shí)間(以分計(jì))， 得樣本均值x 66.3分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 9.4分。 設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知。求干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解

11、： 這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)已知結(jié)論，干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間為s9.4x s t0.025(n 1)66.3.2.201066.3 5.9760.33, 72.27 。n .1216， Macatawa 湖(位于密歇根湖的東側(cè))分為東、西兩個(gè)區(qū)域。下面的數(shù)據(jù)是取自西區(qū)的水的樣本，測(cè)得其中的鈉含量(以ppm 計(jì))如下： 13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9,20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1,25.1, 16.8, 20.4, 17

12、.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4,16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ：根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本均值x 19.07，樣本方差s 3.245。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為x s t0.025nx s t0.025n(n 1)19.07.2.039519.07 1.1717.90, 20.243217， 設(shè) X 是春天捕到的某種魚(yú)的長(zhǎng)度（以 cm 計(jì)） ， 設(shè) X N（ , 2）， , 2均未知。下面是X 的一個(gè)容量為n 13 的樣

13、本：5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0求2 的無(wú)偏估計(jì)；求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得s2 37.75。（ 1） 方 差 2 的無(wú)偏估計(jì)即為樣本方差s2 37.75。(n 1)s2 0.025(n 1)(n1)s22 0. 975 (n 1)s2 0.025(n 1)(n1)s22 0. 975 (n 1)12 37.7512 37.75,19.41, 102.86 ，23.3374.404所以 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為22(n 1)s22(n 1)s(n 1

14、)s02.025(n 1) ,02.975(n 1)19.41,102.864.406, 10.142 。18， 為比較兩個(gè)學(xué)校同一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的成績(jī)，隨機(jī)地抽取學(xué)校A 的 9 個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為xA 81.31，方差為s2A 60.76；隨機(jī)地抽取學(xué)校B 的 15 個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為xB 78.61 ，方差為sB2 48.24。設(shè)樣本均來(lái)自正態(tài)總體且方差相等，參數(shù)均未知，兩樣本獨(dú)立。求均值差A(yù) B的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ： 根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，均值差 A B的置信水平為0.95的置信區(qū)間為2.7 2.7 sw19115t0.025 (22)

15、xA xB swt0.025(n1n22)n1n2112.7 112.7 swt0.025(22)9 152.7 7.2662.07399 152.7 6.353.65, 9.0519， 設(shè)以 X,Y 分別表示有過(guò)濾嘴和無(wú)過(guò)濾嘴的香煙含煤焦油的量(以mg 計(jì)) ，設(shè) X N( X, 2X)， Y N( Y, 2Y) ，X, Y , 2X , Y2均未知。下面是兩個(gè)樣本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.1兩樣本獨(dú)立。求2X/ 2Y

16、的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ： 根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得s2X ， s2Y 。 (未完) 根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，2X / 2Y的置信水平為0.95的置信區(qū)間1sX1sX2F0.025(8,10), sY24.30(0.148,2.446)。 TOC o 1-5 h z 1sX 1sX4.30(0.148,2.446)。2,2F0.975(8,10)sY23.85 sY220， 設(shè)以 X,Y 分別表示健康人與懷疑有病的人的血液中鉻的含量(以10億份中的份數(shù)計(jì))， 設(shè) X N( X , 2X)， Y N( Y, 2Y)， X, Y, 2X, Y2均未知。下面是分別來(lái)自X

17、和 Y 的兩個(gè)獨(dú)立樣本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求 2X/ 2Y的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限，以及 X的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解 ：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到sX26.82 46.24，sY29.627292.682X / 2 Y的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為2X146.24X3.68 1.836。F095(7,9) 92.682 (8 1)sX0.95 (8 1)2X 2 (8 1)sX0.95 (8 1)7 46 247 46.24 149.37，2.

18、167所以， X的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為(8 1)s(8 1)sX202.95 (81)149.37 12.22。21，在第17 題中求魚(yú)長(zhǎng)度的均值的置信水平為0.95 的單側(cè)置信下限。解 ：根據(jù)單側(cè)區(qū)間估計(jì)的結(jié)論，正態(tài)總體均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為6.144131.7823 11.676.144131.7823 11.67t0.05(n 1) 14.71 n22，在第18題中求 A B的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限。解 ：兩個(gè)正態(tài)總體的均值差A(yù) B 的置信水平為0.90 的單側(cè)置信上限為_(kāi)AB_xA xBsw 11 t0.1(22) 2.7 7.266 0.42

19、2 1.3212 6.75。9 156 章習(xí)題解答完畢）第 7章假設(shè)檢驗(yàn)1，一車床工人需要加工各種規(guī)格的工件，已知加工一工件所需的時(shí)間服從正態(tài)分布N（ , 2），均值為18 分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.62 分。現(xiàn)希望測(cè)定， 是否由于對(duì)工作的厭煩影響了他的工作效率。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 20.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90試依據(jù)這些數(shù)據(jù)（取顯著性水平0.05） ，檢驗(yàn)假設(shè)：H0 :18, H1 :18。解 ：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Z x 18。Z。/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到Z 20

20、.874 18 1.8665。4.62 / 9檢驗(yàn)的臨界值為Z0.05 1.645。因?yàn)?Z 1.8665 1.645，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)H 0 ，即認(rèn)為該工人加工一工件所需時(shí)間顯著地大于18 分鐘。2， 美國(guó)公共健康雜志（1994 年 3 月）描述涉及20143 個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)大規(guī)模研究。文章說(shuō)從脂肪中攝取熱量的平均百分比是38.4%（范圍是6%到71.6%） ， 在某一大學(xué)醫(yī)院進(jìn)行一項(xiàng)研究以判定在該醫(yī)院中病人的平均攝取量是否不同于38.4%，抽取了15 個(gè)病人測(cè)得平均攝取量為40.5%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.5%。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2) ，, 2 均 未 知 。 試 取

21、 顯 著 性 水 平 0.05檢 驗(yàn) 假 設(shè) ：H0 :38.4, H1 :38.4。解 ：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題， 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x 38.4s/ n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t 40.5 38.4 1.0844。7.5/ 15檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(14) 2.1448。t 1.0844 2.1448，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故接受原假設(shè)H 0，即認(rèn)為平均攝取量顯著地為38.4%。3， 自某種銅溶液測(cè)得9 個(gè)銅含量的百分比的觀察值為8.3， 標(biāo)準(zhǔn)差為0.025。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平0.01檢驗(yàn)假設(shè)：H0

22、 :8.42, H1 :8.42。解 ：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x 8.42s/ n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t 8.3 8.4214.4。0.025/ 9檢驗(yàn)的臨界值為t0.01(8)2.8965。因?yàn)?t 14.42.8965(或者說(shuō)t 14.4 2.8965) ， 所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)H 0，即認(rèn)為銅含量顯著地小于8.42%。4，測(cè)得某地區(qū)16 個(gè)成年男子的體重(以公斤計(jì))為77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.2069.01, 77.63, 74.00, 77.18

23、, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知，試取0.05檢驗(yàn)假設(shè)：H0 :72.64, H1 :72.64。解 ：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x 72.64t。s/ n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t 72.668 72.64 0.0134。8.338 / 16檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(15) 2.1315。因?yàn)?t 0.0134 2.1315，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故接受原假設(shè)H 0，即認(rèn)為該地區(qū)成年男子的平均體重為72.64公斤。5，一工廠的經(jīng)理主張一新來(lái)的雇員在參加某項(xiàng)工作之前至少需要培訓(xùn)

24、 200 小時(shí)才能成為獨(dú)立工作者，為了檢驗(yàn)這一主張的合理性，隨機(jī)選取 10 個(gè)雇員詢問(wèn)他們獨(dú)立工作之前所經(jīng)歷的培訓(xùn)時(shí)間(小時(shí))記錄如下208，180，232，168，212，208，254，229，230，181設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知。試取0.05檢驗(yàn)假設(shè)：H0 :200, H1 :200。解 ：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t x 200 。t。s/ n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t 210.2 200 1.1824。27.28/ 10檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(9) 1.8331。因?yàn)?t 1.1824 1.8331，所以樣本值沒(méi)有落入

25、拒絕域中，故接受原假設(shè) H 0，即認(rèn)為培訓(xùn)時(shí)間不超過(guò)200小時(shí)。6，一制造商聲稱他的工廠生產(chǎn)的某種牌號(hào)的電池的壽命的方差為5000(小時(shí)2) ，為了檢驗(yàn)這一主張，隨機(jī)地取26 只電池測(cè)得樣本方差為 7200 小時(shí)2，有理由認(rèn)為樣本來(lái)自正態(tài)總體?，F(xiàn)需取0.02檢驗(yàn)假設(shè) H0 : 2 5000, H1 : 2 5000。解 ：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2 (n 1)s2 。5000代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2 (26 1) 7200 36。5000檢驗(yàn)的臨界值為02.01(25) 44.313。因?yàn)?2 36 44.313，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè) H

26、 0，即認(rèn)為電池壽命的方差為5000小時(shí)2。7，某種標(biāo)準(zhǔn)類型電池的容量(以安-時(shí)計(jì))的標(biāo)準(zhǔn)差1.66，隨機(jī)地取 10只新類型的電池測(cè)得它們的容量如下146， 141， 135， 142， 140， 143， 138， 137， 142， 136設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N( , 2)，, 2均未知，問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)差是否有變動(dòng)，即需檢驗(yàn)假設(shè)(取0.05) ： H0 : 2 1.662, H1 : 2 1.662。解 ：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2 (n 1)s2。1.662代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2 (10 1)2 12 39.193。1.662檢驗(yàn)的臨界值為02.025(9

27、) 19.022。因?yàn)?2 39.193 19.022，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假 TOC o 1-5 h z 設(shè) H 0 ，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。8，設(shè)X 是一頭母牛生了小牛之后的305 天產(chǎn)奶期內(nèi)產(chǎn)出的白脫油磅數(shù)。又設(shè)X N( , 2)，, 2均未知。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：425，710，661，664，732，714，934，761，744，653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975試取顯著性水平0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0 :140, H1 :140。解 ：題中所要求檢驗(yàn)的假

28、設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H0 : 2 1402, H1 : 2 1402這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為22 (n 1)s。1402代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2 (25 1) 223827.49 29.177。1402檢驗(yàn)的臨界值為02.05(24) 36.415。因?yàn)?2 29.177 36.415，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè) H 0，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于140。9，由某種鐵的比熱的9 個(gè)觀察值得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 0.0086。設(shè)樣本來(lái) 自 正 態(tài) 總 體 N( , 2)，, 2均 未 知 。 試 檢 驗(yàn) 假 設(shè) (0.05)H0 :0.0100, H1

29、:0.0100。解 ：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H0 : 20.01002, H1 : 2 0.01002這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2 (n 1)s20.0122代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2 (9 1) 0.00865.9168。0.012檢驗(yàn)的臨界值為02.95(8) 2.733。因?yàn)?2 5.9168 2.733，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè) H 0，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.0100。10， 以 X 表示耶路撒冷新生兒的體重(以克計(jì))， 設(shè) X N( , 2)，, 2均未知?，F(xiàn)測(cè)得一容量為30 的樣本，得樣本均值為3189，樣本標(biāo)準(zhǔn)

30、差為488。試檢驗(yàn)假設(shè)（0.1） ：H0 :3315,H1 :3315。H 0 :525,H 1 :525。解 ： （ 1）這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x 3315t。s/ n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t 3189 33151.4142。488/ 30檢驗(yàn)的臨界值為t 0.1 （29）1.3114。因?yàn)?t 1.41421.3114， 所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為3315。（ 2）題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H 0 : 2 5252 , H 1 : 2 5252這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2

31、2 （n 1）s 。52522代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2 （30 1） 248825.0564。5252檢驗(yàn)的臨界值為02.05（29） 42.557。因?yàn)?2 25.0564 42.557，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于525。11， 兩個(gè)班級(jí)A 和B ， 參加數(shù)學(xué)課的同一期終考試。分別在兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)地取9 個(gè)， 4個(gè)學(xué)生，他們的得分如下： TOC o 1-5 h z A 班656872758285879195B 班50597180設(shè) A 班、 B 班考試成績(jī)的總體分別為N ( 1 , 2)， N( 2, 2) ，1, 2, 2均未知，兩樣本獨(dú)立。試取0.05

32、檢驗(yàn)假設(shè)H0 : 12, H1 : 12。解 ：這是兩個(gè)正態(tài)總體(方差相等但未知)均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為xA xB 0 sw TOC o 1-5 h z n1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 80 65 02.2111 94檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(11) 1.7959。 因?yàn)?t 2.21 1.7959， 所以樣本值落入了拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為A 班的考試成績(jī)顯著地大于B班的成績(jī)。12，溪流混濁是由于水中有懸浮固體，對(duì)一溪流的水觀察了26 天，一半是在晴天，一半是在下過(guò)中到大雨之后，分別以X,Y 表示晴天和雨天水的混濁度(以NTU 單位計(jì))的總體，設(shè)X N( 1

33、, 2) ，Y N( 2, 2) ，1, 2, 2均未知。今取到X 和 Y的樣本分別為X: 2.9, 14.9, 1.0, 12.6, 9.4, 7.6, 3.6, 3.1, 2.7, 4.8, 3.4, 7.1, 7.2Y: 7.8, 4.2, 2.4, 12.9, 17.3, 10.4, 5.9, 4.9, 5.1, 8.4, 10.8, 23.4, 9.7設(shè)兩樣本獨(dú)立。試取0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0 : 12, H1 : 12解 ：這是兩個(gè)正態(tài)總體(方差相等但未知)均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為xy0t11swn1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 6.177 9.477 01.6

34、67。5.047113 113檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(24) 1.7109。因?yàn)?t 1.6671.7105，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接收原假設(shè)，即認(rèn)為雨天的混濁度不必晴天的 高。13，用包裝機(jī)包裝產(chǎn)品，將產(chǎn)品分別裝入包裝機(jī)上編號(hào)為124的 24個(gè)注入口，奇數(shù)號(hào)的注入口在機(jī)器的一邊，偶數(shù)號(hào)的在機(jī)器的另一邊。以 X, Y 分別表示自奇數(shù)號(hào)和偶數(shù)號(hào)注入口注入包裝機(jī)的產(chǎn)品的質(zhì)量(以 g 計(jì)) 。設(shè) X N( X, 2)， Y N( Y, 2) ， X, Y, 2均未知。在總體X 和 Y 中分別取到樣本:X: 1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,10

35、84,1075,1080,1075Y: 1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075設(shè)兩樣本獨(dú)立。試檢驗(yàn)假設(shè)H0 : 12, H1 : 12(0.10)。解 ：這是兩個(gè)正態(tài)總體(方差相等但未知)均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t xy011 swn1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 1076.75 1072.33 05.271112 122.0546。5.271112 12檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(22) 1.7171。因?yàn)?t 2.0546 1.7171 ，所以樣本值落 入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為產(chǎn)品

36、均值有顯著差異。14，測(cè)定家庭中的空氣污染。令X 和 Y 分別為房間中無(wú)吸煙者和有一名吸煙者在24小時(shí)內(nèi)的懸浮顆粒量(以 g/m3計(jì)) 。 設(shè) X N( X, X2)，Y N( Y, Y2) ， X, Y, X2, Y2均未知。今取到總體X 的容量n1 9的樣本，算得樣本均值為x=93 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為sX 12.9；取到總體Y 的容量為 11 的樣本，算得樣本均值為y=132，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為sY 7.1，兩樣本獨(dú)立。( 1)試檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H0 : 2X2Y, H 1: 2X 。2Y(2)如能接受H0， 接著檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H0 :XY,H1: X Y。解 ： ( 1)這是一個(gè)兩個(gè)

37、正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢2驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F s2XsY2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到F 12.923.301。7.12檢驗(yàn)的臨界值為F0.025 (8,10) 3.85, F0.975 (8,10)10.2326 。 因 為.4.30 . 2 3 2 6 F 3 . ， 3 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體方差相等。( 2)因?yàn)閮煽傮w方差相等，所以這是一個(gè)方差相等的兩個(gè)正態(tài)總體的均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為xy 0t11swn1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 93 132 08.5929。10.1119 11檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(18

38、) 2.1009。 因?yàn)?t 8.5929 2.1009， 所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為有吸煙者的房間懸浮顆粒顯著大于沒(méi)有吸煙者的房間。15， 分別在兩種牌號(hào)的燈泡中各取樣本容量為n1 7,n2 10的樣本，測(cè)得燈泡的壽命(以小時(shí)計(jì))的樣本方差分別為s12 9201,s22 4856。設(shè)兩樣本獨(dú)立，兩總體分別為X N( 1, 12)， Y N( 2, 22)分布，1, 2, 12, 22均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H0: 2122, H 1: 21 。 22解 ：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F s12s2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到F

39、9201 1.8948 。4856檢驗(yàn)的臨界值為F0.05(6,9) 3.37。因?yàn)镕 1.8948 3.37，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為第一個(gè)總體的方差不比第二個(gè)總體的方差大。16，在第13 題中檢驗(yàn)假設(shè)(取0.05)2222H0 : X Y, H1 : X Y。2X2Y 是合理的。解 ：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2F s2X ， 代 入 第 13 題 中 的 具 體 數(shù) 據(jù) 得 到 sY解 ：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2F s2X ， 代 入 第 13 題 中 的 具 體 數(shù) 據(jù) 得

40、到 sY29.295F1.116326.242檢驗(yàn)的臨界值為1F0025(11,11) 3.48, F0975(11,11)0.2874。因?yàn)?3.480.2874F 1.1163 3.48， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，17，將雙胞胎分開(kāi)來(lái)?yè)狃B(yǎng)，一個(gè)由父母親自帶大，另一個(gè)不是由父母親自帶大。現(xiàn)取14 對(duì)雙胞胎測(cè)試他們的智商，智商測(cè)試得分如下，雙胞胎序號(hào)12345 678910 11 12 13 14父母親代大xi23 31 25 18 19 25 28 18 25 28 22 14 34 36非父母帶大yi22 31 29 24 28 31 27 15 23 27 26 19

41、30 28設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差DiXi Yi(i1,2, 14)是來(lái)自正態(tài)總體N( D, D2)的樣本， D , D2均未知。問(wèn)是否可以認(rèn)為在兩種不同的環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子，其智商得分是不一樣的。即檢驗(yàn)假設(shè)H 0 : D 0,H1 : D0(取0.05)解 ：本題要求一個(gè)基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t D0sD / n代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 1 00.78954.74 / 14檢驗(yàn)的臨界值為t0.975(13)2.1604。因?yàn)?t 0.78952.1604檢驗(yàn)的臨界值為t0.975(13)2.1604。因?yàn)?t 0.78952.1604，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)

42、為兩種環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子智商沒(méi)有顯著差異。18，醫(yī)生對(duì)于慢走是否能降低血壓(以Hg-mm 計(jì))這一問(wèn)題的研究感興趣。隨機(jī)地選取8 個(gè)病人慢走一個(gè)月，得到以下數(shù)據(jù)。病人序號(hào)12345678慢走前xi134 122118130144125127133慢走后yi130 120123127138121132135設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差DiXi Yi(i 1,2, 8)是來(lái)自正態(tài)總體N( D, D2 )的樣本， D , D2均未知。問(wèn)是否可以認(rèn)為慢走后比慢走前血壓有了降低。即檢驗(yàn)假設(shè)H0 : D 0,H1 : D 0(取0.05) 。并求D的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 ：本題要求對(duì)一組成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行t 檢驗(yàn)，

43、且為右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 tD0sD / n代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到t 0.875 0 0.57684.29/ 8檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(7)2.3646。 因?yàn)?t 0.5768 2.3646， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為慢走對(duì)于血壓的下降沒(méi)有顯著效果。D的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(Dt0.025(7) s(Dt0.025(7) sD) (0.87582.36464.29) (0.875 3.587)19， 統(tǒng)計(jì)了日本西部地震在一天中發(fā)生的時(shí)間段，共觀察了527 次地震，這些地震在一天中的四個(gè)時(shí)間段的分布如下表時(shí)間段0 點(diǎn)6 點(diǎn) 6 點(diǎn) 12 點(diǎn) 12 點(diǎn)

44、18 點(diǎn) 18 點(diǎn) 24 點(diǎn)次數(shù)123135141128試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)：地震在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。解 ：根據(jù)題意，要檢驗(yàn)以下假設(shè)：H0 :地震的發(fā)生時(shí)間在(0， 24)內(nèi)是均勻分布的4 f2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2 fi n ，其中pi6/24 0.25。1 npi2222代入本題中的數(shù)據(jù)得到2 123135141128527 1.417， 檢527 0.25驗(yàn)的臨界值為20.05(4 1) 7.815。 因?yàn)?2 1.417 7.815， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為地震在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。20，美國(guó)教育統(tǒng)計(jì)文摘1993年版給出該國(guó)18歲或以上的人持有學(xué)士

45、或更高學(xué)位的年齡分布如下年齡1824253435444554556465 或以上百分比52930161010在阿拉斯加州隨機(jī)選擇500 個(gè) 18 歲或以上的持有學(xué)士或更高學(xué)位的一項(xiàng)調(diào)查給出如下數(shù)據(jù)年齡1824253435444554556465 或以上人數(shù)30150155753555試取 0.1 檢驗(yàn)該地區(qū)年齡分布是否和全國(guó)一樣。解 ：根據(jù)題意，要檢驗(yàn)以下假設(shè)：H0 : 阿拉斯加州的年齡分布律為年齡1824253435444554556465 或以上概率0.050.290.300.160.100.106 f2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2fin 。所需計(jì)算列表如下：i1 npiAifipinpi2fi /(n

46、pi )A1300.052536A21500.29145155.172A31550.30150160.167A4750.168070.313A5350.105024.5A6550.105060.56 f22 fi n 506.652 500 6.652，檢驗(yàn)的臨界值為20.1(6 1) 9.236。i 1 npi6.652 9.236， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，21 以下是某地區(qū)100 個(gè)月中各月發(fā)生的較大的地震次數(shù)一個(gè)月的較大的地震次數(shù)01234月數(shù)5731831試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0 :數(shù)據(jù)來(lái)自泊松分布的總體。解 ： 以隨機(jī)變量X 表示該地區(qū)一個(gè)月的較大的地震次數(shù)，則

47、要檢驗(yàn)假設(shè) H0 : X ( )，利用極大似然估計(jì)可以得到0 57 1 31 2 8 3 3 4 1?0.6。1005 f2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2fin ，所需計(jì)算列表如下：i1 npiAifipinpifi2 /(npi )A157e 0.60.548854.8859.202A2310.6e 0.60.329332.9329.183A380.18e 0.60.09889.886.478A430.036e 0.60.01981.984.545A510.0054e 0.60.00300.303.3335 f22 i n 102.741 100 2.741 , 檢 驗(yàn) 的 臨 界 值 為 i 1 npi2

48、0.05(5 1 1) 7.815。 因?yàn)?2 2.741 7.815， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕 域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自泊松分布的總體。22，一供貨商聲稱他們廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))服從均值為 200的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機(jī)地取1000 只此種元件，測(cè)得如下數(shù)據(jù)。 試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0 :這些數(shù)據(jù)來(lái)自均值為200的指數(shù)分布總體。壽命xx 150 150 x 300 300 x 450 450 x 600 600 x 750 x 750只數(shù)543258120482011解 ：要檢驗(yàn)假設(shè)H 0 : 這些數(shù)據(jù)來(lái)自均值為200 的指數(shù)分布總體。檢6 f2驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2 fi n ，

49、所需計(jì)算列表如下：i 1 npiAifipinpi2fi /(npi )A15431501 e 2000.5276527.6558.8495A2258150300e 200 e 200 0.2492249.2267.1108A3120300450e 200 e 200 0.1177117.7122.3449A448450600e 200 e 200 0.055655.641.4388A520600750e 200 e 200 0.026326.315.2091A611750e 2000.023523.55.14896 f22fin 1010.147 1000 10.147 , 檢 驗(yàn) 的 臨 界 值 為i 1 npi20.05(6 1)11.070。 因?yàn)?2 10.147 11.070， 所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域， 因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自均值為200的指數(shù)分布總體。23，一計(jì)算機(jī)程序用來(lái)產(chǎn)生在區(qū)間(0， 10)均勻分布的隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值(即產(chǎn)生區(qū)間(0， 10)上的隨機(jī)數(shù))，以下是相繼得到的 250 個(gè)數(shù)據(jù)的分布情況。試取0.05檢驗(yàn)這些數(shù)據(jù)是否來(lái)自均勻分布U(0,10)的總體。亦即檢驗(yàn)這一程序是否符合要求。數(shù)據(jù)所在區(qū)間01.9923.9945.9