專題03 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（講義）（教師版）

1、專題03 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【重難點知識點網(wǎng)絡】：1函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系在某個區(qū)間內(nèi)，如果_，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果_，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減注意：在某個區(qū)間內(nèi)，（）是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于02函數(shù)圖象與之間的關系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較_，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些【重難點題型突破】：一、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（1）利用導數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單

2、調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立一般步驟如下：求導數(shù)；判斷的符號；給出單調(diào)性結(jié)論（2）在利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點（3）當求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，”或“和”字等隔開，不要用符號“”連接例1（2021湖北高二開學考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）ABCD【答案】C【分析】求得導函數(shù)，利用，及定義域解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】當時，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【變式訓練1-

3、1】（2021全國高二單元測試）在內(nèi)的單調(diào)性是（ ）A增加的B減少的C在內(nèi)是減少的，在內(nèi)是增加的D在內(nèi)是增加的，在內(nèi)是減少的【答案】C【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的定義為，且，令，即，可得；令，即，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C.【變式訓練1-2】（多選題）函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）ABC若有兩個不相等的實根，則D若均為正數(shù)，則【答案】BD【分析】求出導函數(shù)，由導數(shù)確定函數(shù)日單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A，由函數(shù)性質(zhì)判斷BC，設，且均為正

4、數(shù)，求得，再由函數(shù)性質(zhì)判斷D【詳解】由得：令得，當x變化時，變化如下表：x0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，在上遞增，在上遞減，是極大值也是最大值，時，時，且時，時，A，故A錯B，且在單調(diào)遞增，故：B正確C有兩個不相等的零點不妨設要證：，即要證：在單調(diào)遞增，只需證：即：只需證：令，則當時，在單調(diào)遞增，即：這與矛盾，故C錯D設，且均為正數(shù)，則且，故D正確故選：BD例2（2021全國高二課時練習）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】首先求出定義域，再求出導函數(shù)，分和兩種情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：因為，所以的定義域為，當時，則在上是增函數(shù)；當時，所以；或；，所以在上是減函數(shù)

5、，在和上是增函數(shù).【變式訓練1-2】（2021江蘇泰州市泰州中學高二月考）設函數(shù)，其中若，討論的單調(diào)性；【答案】在內(nèi)單調(diào)遞增；【詳解】解：由已知，的定義域為，且，因此當時，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增【變式訓練1-3】（2021浙江高三其他模擬）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，令，若函數(shù)的圖象與直線相交于不同的兩點，設，（）分別為點，的橫坐標，求證：【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【分析】（1）求導后，分類討論，利用導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出的解析式，利用斜率公式求出，將所證不等式化為（），再構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導數(shù)可證結(jié)

6、論成立.【詳解】（1）的定義域為，且當時，則在上單調(diào)遞增當時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當時，所以，所以，所以要證，即證因為，所以，即證令，則，即證（）令（），則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，（）令（），則，所以在上單調(diào)遞增，則，即（）綜合得（），所以.【點睛】關鍵點點睛：將所證不等式化為（），再構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式成立是解題關鍵.【變式訓練1-4】（2021全國高二單元測試）求下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=2x3-3x2；（2）【答案】（1）遞增區(qū)間是(-，0)和(1，+)；遞減區(qū)間是(0

7、，1)；（2）遞增區(qū)間是(0，e)，遞減區(qū)間是(e，+)【分析】（1）先求定義域，利用導數(shù)求解單調(diào)性即可；（2）先求定義域，利用導數(shù)求解單調(diào)性即可；【詳解】解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為R，且，令，即6x2-6x0，解得x1或x0；令，即6x2-6x0，解得0 x1.所以f(x)的遞增區(qū)間是(-，0)和(1，+)；遞減區(qū)間是(0，1)；（2）函數(shù)f(x)的定義域為(0，+)，且令，即，得0 xe，所以f(x)的遞增區(qū)間是(0，e)，遞減區(qū)間是(e，+)【變式訓練1-5】（2021全國高三月考（文）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性；（2）若方程有唯一實根，求證：.【答案】（1）在上是減函數(shù)，在上是

8、增函數(shù)；（2）證明見解析.【分析】（1）求得，分析的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件得出，其中為函數(shù)的極小值點，可得出，消去可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理證得，即可得出.【詳解】（1）因為，所以，則，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以，當時，；當時，.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）設，則，因為是增函數(shù)，又，所以存在唯一的，使得.當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，.方程有唯一實根，則，且，即，消去得，設，則，所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，因為，所以，即.【點睛】方法點睛：利用導

9、數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.二、函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系判斷函數(shù)與導數(shù)圖象間對應關系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導函數(shù)的圖象，其次對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導函數(shù)，則應注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間

10、內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致例2（多選題）定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是（ ）A-3是的一個極小值點；B-2和-1都是的極大值點；C的單調(diào)遞增區(qū)間是；D的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】ACD【分析】由導函數(shù)與單調(diào)性、極值的關系判斷【詳解】當時，時，是極小值點，無極大值點，增區(qū)間是，減區(qū)間是故選：ACD.【點睛】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關系，一定要注意極值點兩側(cè)導數(shù)的符號相反【變式訓練2-1】（2021全國高二課時練習）導函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf (x)的圖象可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)圖象

11、得出導數(shù)正負判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】由圖可知當x0時，f (x)0，當x0時，f (x)0，所以函數(shù)f (x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，對照圖象，D選項符合.故選：D.【變式訓練2-2】（多選題）如圖是的導函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（ ）.A在上是增函數(shù)；B當時，取得極小值；C在上是增函數(shù)、在上是減函數(shù)；D當時，取得極大值.【答案】BC【分析】這是一個圖象題，考查了兩個知識點：導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關系，若在某個區(qū)間上，導數(shù)為正，則函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，若導數(shù)為負，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)；極值判斷方法，在導數(shù)為零的點處左增右減取到極大

12、值，左減右增取到極小值【詳解】解：由圖象可以看出，在，上導數(shù)小于零，故不對；左側(cè)導數(shù)小于零，右側(cè)導數(shù)大于零，所以是的極小值點,故對；在，上導數(shù)大于零，在上導數(shù)小于零，故對；左右兩側(cè)導數(shù)的符號都為正，所以不是極值點，不對故選：BC【點睛】本題是較基礎的知識型題，全面考查了用導數(shù)與單調(diào)性，導數(shù)與極值的關系，是知識性較強的一個題三、導數(shù)在解決單調(diào)性問題中的應用（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍問題，是一類非常重要的題型，其基本解法是利用分離參數(shù)法，將或的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（2）利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利用導數(shù)判斷在

13、所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解例3（2021全國高二月考（理）已知在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知條件得出在上恒成立，利用參變量分離法得出，結(jié)合基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，由條件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，當且僅當，即時，取等號，故的最小值為4，故只需.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號零點；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)

14、間，使得成立.【變式訓練3-1】(多選)已知函數(shù),其中正確結(jié)論的是( )A當時,函數(shù)有最大值.B對于任意的,函數(shù)一定存在最小值.C對于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù).D對于任意的,都有函數(shù).【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)和函數(shù)的最值的關系,逐項判斷,即可求得答案.【詳解】對于A,當時,函數(shù),根據(jù)指數(shù)單調(diào)性可知,此時是單調(diào)增函數(shù),故無最大值,故A錯誤; 對于B,對于任意的, ,易知是在單調(diào)增函數(shù),當時, 當時, 存在 當時, ,單調(diào)遞減 當時, ,單調(diào)遞增 故B正確;對于C,對于任意的, 函數(shù) , ,可得:,故函數(shù)是上的增函數(shù).故C正確;對于D,對于任意的, 函數(shù) , ,可得:,故函數(shù)是上

15、的增函數(shù).當時,可得:,故D錯誤.故選:BC.【點睛】本題考查了根據(jù)導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性和判斷函數(shù)是否有最值,解題關鍵是掌握用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的求法和最值的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.【變式訓練3-2】（2020江蘇星海實驗中學高二期中）已知在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【分析】求出導函數(shù)，由在上恒成立可得的范圍【詳解】，由題意在時恒成立，即在時恒成立，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，所以，所以，即故答案為：【點睛】本題考查用函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)性，解題方法是把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解題基礎求出導函數(shù)【變式訓練3-3】（2021全國高三

16、專題練習）已知函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值即可得解.【詳解】（1）在上是單調(diào)遞增函數(shù),在上，即恒成立， 設， ， 當時， 在上為增函數(shù)，當時， 在上為減函數(shù)， ， ， ， 即.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：若在上恒成立，則；若在上恒成立，則；若在上有解，則；若在上有解，則.【變式訓練3-4】（2021全國高三專題練習）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；【答案】當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【分析】求出導函數(shù)后，分類討論，利用導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)性

17、.【詳解】的定義域為，.當時，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當時，且不恒成立，所以在單調(diào)遞減.當時，令得，或.當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【點睛】關鍵點點睛：分類討論，利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題關鍵.【變式訓練3-5】（2021陜西榆林市高三二模（文）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）在和上遞增，在上遞減；（2）.【分析】（1）直接求函數(shù)的導數(shù)，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，可知，分別求函數(shù)最值即可.【詳解】（1）由，得，當或，當時，所以，在和上遞增，在上遞減；（2）因為在上遞減，在上遞增，所以，因為，所以恒成立，令，則，即：在上恒成立，令，則，所以在上遞增，在上遞減，所以，故的取隨范圍的.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理【變式訓練3-6】（2021全國高二課時練習）設函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案