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1、第 10 章多元函數(shù)積分的計算方法與技巧一、二重積分的計算法1、利用直角坐標計算二重積分假定積分區(qū)域D可用不等式a xb (x) y (x)表12示,其中(x),1(x在b上連續(xù).2這個先對y ,后對x的二次積分也常記作如果積分區(qū)域D可以用下述不等式表示,且函數(shù) 1y), 2y在c d 上連續(xù), f xy在D上連續(xù), 則d(y)d( y)1 f ( x,y)d 2 f ( x, y)dxdy 12 f ( x,y)dx(2)1Dc1( y)c ( y)顯然,(2xy積分限的確定幾何法.畫出積分區(qū)域D的圖形(假設的圖形如下)在ab上任取一點 x x 作平行于 y 軸的直線,該直線穿DD的邊界有兩

2、個交點 (xx與(x1(x) ,這2里的(x)、(x)就是將x,看作常數(shù)而對y積分時的下限和上12x是在區(qū)間a bx看作變量而對x積分時,積分的下限為a、上限為b .-例1計算xyd,其中D 是由拋物線y2 x及直線y x 2D所圍成的區(qū)域.2.利用極坐標計算二重積分1、rdrd就是極坐標中的面積元素.2、極坐標系中的二重積分,可以化歸為二次積分來計算.其中函數(shù)1(),2(在上連續(xù).則 frco,rsirdr frco,rsirdrD1注:本題不能利用直角坐標下二重積分計算法來求其精確值. 3、使用極坐標變換計算二重積分的原則、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧直線段)；被積函數(shù)表

3、示式用極坐標變量表示較簡單(含(x2 y2 , 為實數(shù)).z.6aaa2x2a2x20 xdy(0)x2 x2 (x2 y2)該區(qū)域在極坐標下的表示形式為二、三重積分的計算1、積分區(qū)域可表示成by2 (x)z2(x,y)則 f(x, y,z)dv dxdyf(x, y,z)dzay1(x)z1(x,y)這就是三重積分的計算公式,它將三重積分化成先對積分變量z,次對y ,最后對x的三次積分.例 1 計算xyzdxdydz,其中為球面x2 y2 z2 1及三坐標面所圍成的位于第一卦限的立體.解在xoy面上的投影區(qū)域為Dxy:x2y21, x 0 , y 0確定另一積分變量的變化范圍2、利用柱面坐標計算三重積分x r cosM 的直角坐標與柱面坐標之間有關系式 y r sinz z體積為dv rdrd dz

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