動力學問題解法的研究

1、PAGE 27 - 動力學問題解法的研究 學 生： 院 系： 專 業(yè)： 年 級： 學 號： 指導教師： 職 稱： 答辯日期： 答辯成績： 摘要理論力學中，靜力學研究物體的平衡規(guī)律，沒有考慮物體在不平衡力作用下的運動，運動學只研究物體的運動的幾何性質，沒有考慮物體的運動與作用在它上面的力之間的關系，而動力學是研究物體的運動變化和作用于物體上的力之間的關系，顯然動力學是理論力學的最一般的問題，也是難度最大的問題，所以要深入地研究它的解法。解決動力學問題常用的方法有：質點運動微分方程動力學普遍定理達朗伯原理（動靜法）動力學普遍方程和拉格朗日方程要解一個動力學問題，首先要根據題意選擇適當的解題方法（定

2、理或者公式），其次才是應用定理按解題步驟求出結果。這里選擇適當的解題方法是至關重要的，也是比較難的，尤其是初學者看到題后常常猶豫不定，遲遲不能下手。因而我們對各種解題方法進行討論 分析 比較 使學生能迅速恰當的選擇解題方法。關鍵字：動力學問題 一題多解 解法AbstractIn Theoretical mechanics, The statics research object balanced rule, had not considered the object under Balance Strength the function movement, the kinematics onl

3、y does not study the object the movement geometry nature, has not considered the object the movement and the function above it between the strength relations, but dynamics is studies the object the secular variation and the function on between the object strength relations, the obvious dynamics is t

4、he theoretical mechanics most general question, also is the difficulty most major problem, therefore must thoroughly study its solution .The solution dynamics question commonly used method includes: Particle motion differential equation dynamics generally decides the dalemberts principle (sound of s

5、omething astir law) the dynamics universal equation and the Lagrange equation must solve a dynamics question, first must choose the suitable problem solving method according to topic Italy (theorem or formula), next is the application theorem extracts the result according to the problem solving step

6、. Here chooses the suitable problem solving method is very important, also is quite difficult, after the beginner saw in particular the topic frequently hesitates does not decide, slowly cannot start. Thus we carry on the discussion to each problem solving method to analyze the comparison to enable

7、the student the rapid appropriate choice problem solving method first to discuss the above problem solving method application the situation, again carries on the analysis comparison to them, finally discusses several methods the synthesis applications。Keywords：Dynamics question Topic multi-solutions

8、 Solution目錄摘要（2）前言（5）一、常用解題方法的應用場合（5）1.1質點運動微分方程（5）1.2動力學普遍定理（6）1.2.1動量定理 和質心運動定理（6）1.2.2動 量矩定理和剛體定軸轉動微分方程 （8）1.2.3動能定理和機械能守恒定律（9）1.3達朗伯原理（ 動靜法）（10）二、常用解題方法的 對照比較（13）2.1用多種方法求解質點的動力學問題（13）2.2用多種方法求解單個剛體的動力學問題（15）2.3用多種方法求解剛體系統的動力學問題（18）三、解題方法的綜合應用（22）謝詞（27）四、參考文獻（27）前言理論力學是物理專業(yè)的一門重要的基礎理論課，它是普通物理力學的延

9、續(xù)和提高課程，又是由普通物理進入理論物理臺階的第一門理論物理課程，起著承上啟下的作用。理論力學的基本概念、理論和方法具有很強的基礎性、應用性和經典意義，對后續(xù)課程的學習和培養(yǎng)創(chuàng)新素質和能力具有重要作用。理論力學的任務和目標是全面闡述經典力學的基本概念和基本理論，使學生對弱引力場中宏觀低速的機械運動的基本規(guī)律有全面系統的認識，掌握處理力學問題的一般方法，培養(yǎng)抽象思維和嚴密的邏輯推理能力，認識數學與物理的密切聯系，培養(yǎng)運用高等數學工具分析解決力學問題的能力。一 常用解題方法及應用場合1.1 質點運動微分方程質點運動微分方程是描述動力學普遍規(guī)律的即反映質點受力與運動變化的關系的。它是一般的表示了上述

10、關系，理論上可以說所有的動力學問題都可以用這種方法求解。它是研究質點動力學問題的基本方法。把質點運動微分方程應用于研究系統中的每個質點，對于n個質點組成的質點系可列出 3n個微分方程。只要知道足夠的初始條件即可求解。但是在一般情況下質點數目較多（對剛體而言是無窮多）要積分這樣多的復雜的聯立方程在數學上是非常困難的，此法實用價值不大。用質點運動微分方程可解兩類基本問題，現舉例如下：例1：一個質量為m=9.8kg的物體，在不均勻介質中做水平曲線運動，其阻力按g(n)規(guī)律變化，設t=0時物體初速度=5m/s,=0,試求物體的運動方程。已知：m=9.8kg,g(N) v=5m/sS=0求：s=s(t)

11、 解：研究對象：物體，視為質點受力分析：阻力R其方向與速度V的方向相反。重力G的方向與速度V的方向垂直。坐標系：以運動軌跡作自然軸是切向單位矢量運動分析：此為變速曲線運動，其初速度=5m/s列沿切向的質點運動微分方程： 代入m和g的值之后可有 =- 解方程：為更進一步揭示各變量的內在聯系，進行變換： ， 代入上式有 s =-，分離變量 =- 兩邊積分，初始條件t=0時，s=0, s=5m/s = - ln = ln即s=5() 此為速度公式再分離變量積分（3+s）ds= 45dt(3+s) = 45t s=3(-1)m 此為運動方程或稱為路程方程1.2動力學普遍定理1.2.1動量定理和質心運動

12、定理 動量定理建立了質點或質點系的動量與沖量的關系。一般用來解移動問題或復雜運動物體或系統質心運動的問題。在解已知V.V. F.t四個量中的三個量，求第四個量的動力學問題時用動量定理為宜。對第二類基本問題，若力是時間的函數或為常量時亦用動量定理求解。動量定理不反映內力，一般不用它來求內力。如若用它求內力時，則需取分離體，把欲求的內力暴露出來求解。動量定理可以用來求約束反力。 當外力在某坐標軸上的投影的代數和等于零時，可以用動量守恒定律求速度。 質心運動定理建立了質點系質心運動與外力主矢的關系。 質心運動守恒定律用來解決剛體的 移動問題，當各外力在某坐標軸上的投影的代數和為零時，可用質心運動守恒

13、定律求位移或運動規(guī)律。質心運動定理可用來求約束反力。飛機的質量為15000kg, 將質量為7kg的炮彈570m/s的出口速度向前直射出去，求飛機前進的速度減少多少？已知：m1=15000kg m2=7kg v=570m/s求：v解：研究對象：飛機炮彈系統受力分析：飛機重力G1，炮彈重力G2，飛機升力N這些力均為鉛垂方向，垂直于水平方向（即運動方向）所以在水平方向的所有 外力投影的代數和為0，此為求速度的問題，可用動量守恒定律求解選坐標系：X軸沿水平方向（即運動方向）列方程式 KX = KX 即（m+m）v=m (v- v)+m (v+v)解方程得v=0.266m/s例3、質量為M的駁船靜止于水

14、面上，船上有一質量 為m的汽車。若汽車向船頭移動距離a，求駁船移動的距離b（不計水的阻力）已知：M m a求：b解：研究對象：船、車系統整體受力分析：P，Q，N（浮力）。這些力均為垂直方向，在水平方向不受力，即外力主矢為0，此為求位移的問題，可用質心運動守恒定律求解。坐標系：X軸（水平方向）列方程式：汽車移動前系統質心位置坐標X=汽車移動距離a后系統質心坐標X=因外力主矢為0，故質心運動守恒。開始時靜止，質心位置不變，即X= X =解方程得 b=1.2.2動量矩定理和剛體定軸轉動微分方程 動量矩定理建立了質點或點系的動量對某固定點（或固定軸）的矩的變化與作用在該質點或點系上力系對同一點（或軸）

15、的主矩之間的關系。對于求解轉動或擺動剛體的動力學問題適宜用動量矩定理或剛體定軸轉動微分方程。動量矩定理不反映內力，不能用他來求內力，如若用它來求內力，則須取分離體，把欲求的內力暴露出來求解。動量矩定理可用來求約束反力。當約束反力與某固定軸相交或平行時，應用質點系動量矩定理求解。在解剛體系統動力學問題時，若各外力對某軸之矩的代數和為0時，用動量矩守恒定律。 例4、飛輪重為G半徑為R，對轉軸O的轉動慣量為J，以角速度繞水平軸Z轉動，制動時閘塊對輪緣的法向壓力為Q，設閘塊與輪緣間的滑動摩擦系數為f并保持不變，軸承的摩擦忽略不計，求制動時所需的時間t. 已知：G R J Q f 求：t 受力分析：G

16、Q F N N 坐標系：oxyz 列剛體頂軸轉動微分方程 解方程得 因f為常數，故為常數，是勻減速轉動,由運動學公式有1.2.3動能定理和機械能守恒定律 動能定理和機械能守恒定律建立了動能，勢能和功之間的關系。當已知V F S三個量中的兩個量，求第三個量的動力學問題用動能定理解。動能定理可以用來研究物體或物體系統的任何類型的運動。當力是路程的函數或為常數時宜用動能定理解。動能定理可以用來求內力。動能定理中不含不作功的約束反力，因而不能用它來求約束反力。對約束反力不作功的動力學問題，用動能定理解比較簡捷。對剛體系統的動力學問題，可先研究整體，用動能定理求得一個未知數，在拆開研究求得其余未知數。對

17、只有勢力作功的動力學問題用機械能守恒定律解比較適宜。 例5電動提升機構，啟動時電動機的平均轉矩為M，小齒輪和聯軸節(jié)等對軸CD的轉動慣量為J，大齒輪和鼓輪對軸AB的轉動慣量為J，鼓輪半徑為R，已知齒輪的傳動比i= ,被提升重物的質量為m，試求起動階段的加速度。已知：M J J R i= m求：a解：研究對象：系統整體 此為已知力矩求速度問題，可用動能定理解，該系統不計摩擦，是約束反力不作功的動力學問題。受力分析：主動力矩M，重力P，約束反力不作功，可不分析。確定始末位置，計算動能：初始位置選在靜止狀態(tài)其動能T=0，末位置選在起動完成，其動能T= J+mv+ J計算功，轉矩M和重力P作功，其總功為

18、WA=M-mgs列方程，根據動能定理的積分形式T- T=WA有 J+mv+ J-0 = M-mgs 式中與s對應，把各量歸結到軸上去，因為V=R =k =k s=R代入動能定理有 J+m（R）+ J（k） = M k-mgR整理得（J+ mR+KJ）=（MK-mgR）其中 J+ mR+KJ相當于轉動慣量，稱為轉化轉動慣量 MK-mgR相當于力矩，稱為轉化力矩對上式求導數有（J+ mR+KJ）2=（MK-mgR）注意到= = 則得= =R3、達朗伯原理（動靜法） 達朗伯原理是解決動力學問題的普遍方法。它的特點是用靜力學的平衡方程來解決質點系的動力學問題，因而稱為動靜法。這個方法研究問題簡單有效。

19、在工程技術中有著廣泛的應用。用動靜法不僅可以求運動規(guī)律、速度、加速度、角速度、角加速度、外力、外力矩，還可以求軸承的約束反力。用動靜法解題時，要在受力圖上加上慣性力系，之后建立平衡方程，用動靜法求約束反力比較簡單。 例6、車輛的主動輪沿水平直線軌道運動，設輪重為W，半徑為R，對輪的回轉半徑為，車身作用力可簡化為作用于輪的質心g的力T和P及驅動力矩M，輪與軌道間的摩擦系數為f，不計滾動摩擦的影響，求輪心的加速度。已知：W T P R f求：解：研究對象：主動輪受力分析：主動力W T P M約束反力N F 慣性力系：剛體做平面運動，其慣性力系可簡化為一慣性主矢G和一慣性主矩M，他們的大小分別為G=

20、 M=J=它們的方向分別與加速度和角速度相反，如圖所示，有達朗伯原理知上述各力視為一平衡力系，屬于平面一般力系。 坐標系：oxy 列動靜方程（即平衡方程） F-T-G=0 N-P-W=O -M+FR+M=0 這三個方程中包含四個未知量，還必須補充一個方程才能求解。 若車輪作純滾動而不滑動，摩擦力為靜摩擦力則 對瞬心A點列力矩方程 ，（T+G）R+M-M=0 或（T+）R+-M=0 可得a=R要保證車輪純滾動而不滑動，必須FfN由方程（1）得F= T+=由方程（2）得N=W+P因此保證車輪作純滾動的條件為f(W+P)Mf(W+P)可見當M一定時摩擦系數f愈大則車愈不容易滑動，因此雨雪天氣行車常在

21、輪上加防滑鏈或向軌道撒砂以增大摩擦系數。若車輪有滑動，此時的摩擦力位為摩擦力，則有F=f NfN 式中f為動摩擦系數 即T+=f（W+P）則a=此為純滾動時加速度所能達到的最大值。 小結： 動力學普遍方程是以直角坐標系表示的方程，由于系統存在約束，所以在這個方程中的各質點的虛位移可能不全是獨立的，在解方程時還得聯立一系列的約束方程組，找出虛位移間的關系，很不方便。二 .常用解題方法的對照比較一個動力學問題有時可以用幾種方法解，這里首先要考慮根據題意選用適當的解題方法，其次才是對所用的定理要熟練把握。下面針對質點，單個剛體和剛體系統三種情況，對同一問題用不同的方法求解，進行對照比較，以求提高選擇

22、題方法的能力。2.1 用多種方法求解質點的動力學問題例9、建立單擺振動微分方程解法一、用質點運行微分方程研究對象：擺錘M受力分析： 坐標系：自然軸系，切向單位矢量建立質點運動微分方程=-mgsin解方程： V= 對微幅振動可有sin=線性化為ml=-mg 故 +=0 此為單擺振動微分方程解法二、用質點的動量矩定理 研究對象：擺錘M受力分析：；坐標系:oxyz(z軸垂直于紙面)列方程：在瞬時t，令OM與鉛垂線夾角為，則質點的速度v=動量為,對Z軸的動量轉矩為hz=（1）質點M所受的力、對Z軸的轉矩為M（）=-M（）=0則M= M（）+M（）=-（2）將（1）（2）代入對軸的動量矩定理=M則有 整

23、理：取線性化后得解法三：用動能定理研究對象：擺錘M受力分析：；確定過程的始末位置1（鉛錘位置）動能：末了位置2（極端位置）動能：計算功：列方程：由質點動能定理 有解方程，求導 整理線性化得：+=0解法四：用機械能守恒定律研究對象：擺錘M受力分析：；其中拉力不作功，此為保守系統確定始末位置：初始位置1，末了位置2（極端）計算兩位置的動能和勢能：取最低位置為勢能零點 列方程：由機械能守恒定律 有解方程：求導數并線性化得解法五：用動靜法研究對象：擺錘M受力分析：主動力約束反力慣性力 其中=，=方向如圖坐標系：自然軸系， 為單位矢量冽動靜方程： ， 解方程：線性化得 解得解法六：用動力學普遍方程研究對

24、象：擺錘M受力分析：、 分析約束：理想約束給定擺錘一個虛位移，由圖示知其關系為=列動力學普遍方程解方程：因微幅振動取將方程線性化后解出得2.2用多種方法求解單個剛體的動力學問題例10、勻質的磙子質量為m，半徑為r，對自身軸的回轉半徑為，軸的半徑為r在軸上纏一繩索，沿繩索作用一個常力，與水平傾角為，使磙子沿水平面無滑動滾動。求磙子質心c的加速度。已知：m，r，r，純滾動。求：a解法一：用剛體平面運動微分方程 研究對象：磙子（作平面運動剛體）受力分析：重力，；，坐標系：oxy列剛體平面運動微分方程又由運動學關系有a=r 解方程可得a=解法二、用質點系動量矩定理研究對象：磙子受力分析：，；，磙子作平

25、面運動，是純滾動，A為瞬心，對瞬心軸的轉動慣量為H=J=（mp+mr）列方程：由質點系動量矩定理 即：解方程：上式為a=解法三、用動能定理研究對象：整個剛體（磙子）受力分析：主動力，約束反力，不作功計算動能：計算功： =列方程：由質點系動能定理 有解方程得a=解法四：用達郎伯定理研究對象：磙子受力分析：主動力，約束反力，慣性力系： 慣性主矢：=-m 大小G=m，方向向左慣性主矩= 轉向逆時針列動靜方程，解方程得a=解法五、用動力學普遍定理研究對象：磙子受力分析：主動力，約束反力，慣性力系： 其中G=，方向向左 M=轉向逆時針分析約束：理想約束給定虛位移和求之間關系。 建立動力學普遍方程有解方程

26、得a=2.3用多種方法求解剛體系統的動力學問題例11、兩個滑輪固定在一起，總質量m=10對轉軸的回轉半徑=300兩滑輪的半徑分別是，兩繩下端懸掛物塊A和B其質量分別為，系統從靜止開始運動，求滑輪轉過一圈的角速度和角加速度及軸承的反力。摩擦忽略不計。已知：m,靜止開始轉過一圈求： ，解法一、用剛體定軸轉動微分方程因為固定在一起的兩個滑輪做定軸轉動，所以若用剛體定軸轉動微分方程解題時，必須把機構拆開，分別做研究對象，列出相應的方程。取滑輪為研究對象，由定軸轉動微分方程有（1）取物塊A為研究對象，由牛二定律有 （2）取物塊B為研究對象，由牛二定律有（3）由運動學關系可有（4）（5）上述方程聯立解得可

27、見為常量。又運動學關系求角速度不能用剛體定軸轉動微分方程求軸承處的約束反力，因為它在方程中不出現。解法二、用動量矩定理研究對象：系統整體受力分析：，坐標系：oxy系統的動量矩為 =（）列方程：由質點系動量定理（）解方程得由運動學公式求角速度:研究定軸轉動剛體運動時，軸承上的約束反力不能用動量矩定理來求，因為在方程中不出現。解法三、用動能定理研究對象：整個系統。此為已知力求速度的問題，可用動能定理解。受力分析：，確定始末位置，計算功能初始位置：靜止狀態(tài) ，末了位置：滑輪轉一圈， 計算功：列方程：由質點動能定理，則-0=解方程得角速度=對定理的表達式求導數可得角加速度不能用動能定理求約束反力，因為

28、理想約束其約束反力不做功，在方程中不出現。解法四：用達郎伯定理受力分析：主動力， 約束反力，慣性力系：慣性主矢， 慣性主矩其中方向向上 方向向下 轉向逆時針坐標系：oxy列動靜方程：由運動學關系有 解方程得角速度求約束反力解得用達郎伯定理不僅可以求剛體的運動規(guī)律如角速度，角加速度以及外力矩，還可以求軸承處的約束反力。解法五、用動力學普遍方程研究對象：整個系統受力分析：主動力，慣性力系： ，其中慣性主矢方向向上 方向向下，方向如圖 慣性主矩轉向逆時針轉向如圖分析約束：理想約束 給定虛位移，則 列動力學普遍方程即解方程得角速度求約束反力，解除約束代之以約束反力，把它看作主動力，給系統一個向上的虛位

29、移則有解得小結：從上面所列一個問題多種解法的情況可以看出，常用的幾種動力學方法都具有一般性，是普遍適用的，但是針對不同的問題用某些方法比較簡便，而用另外的方法則比較煩瑣，甚至難以求得準確解答。因此。我們要十分注意解題方法的選擇，這是能否順利解決動力學問題的關鍵一般說來，對比較簡單的問題，用質點運動微分方程、動力學普遍定理或動靜法比較方便，容易掌握。對比較復雜的問題，應用動靜法、動力學普遍方程求解。用這些方法解質點或簡單機構動力學問題并不簡便，反倒顯得繁瑣。對復雜的機構，往往先以整體為研究對象，求出一個未知數，再研究局部求出其余未知數。用動力學普遍方程時研究對象必須處于理想約束.三 解題方法的綜

30、合應用有些動力學問題必須聯合應用幾個解法才能解決。此時要仔細研究系統的運動狀態(tài)及受力情況。對于復雜的運動過程還需要分清幾個主要運動階段及各階段的受力情況，分別運用相應的原理求解。一般對剛體系統的動力學問題，先以整體為研究對象用動能定理求出一個未知數來然后拆開分別取研究對象求出其余未知數，若剛體系統有兩個或多個自由度時，就需拆開分別取研究對象求解，或以整體作為研究對象用拉格郎日方程求解。凡是符合守恒條件的，有限考慮用守恒定律求解求系統的速度、角速度、加速度、角加速度時，選用動能定理比較簡捷，也可選用動量矩定理、達朗伯原理或動力學普遍方程解答求約束反力時，選用動量定理，質心運動定理、動量矩定理、達

31、朗伯原理、牛頓第二定律或虛功方程解之。求振動問題，一般用質點運動微分方程或動量矩定理。求碰撞問題，當研究移動剛體在碰撞過程中運動傳遞時用動量定理，當研究轉動剛體在碰撞過程中運動傳遞時用動量矩定理，只有研究碰撞過程中能量變化時才用動能定理。例12、均勻質圓盤半徑為r，沿水平面向右無滑動滾動。當它到達右邊緣B處時，質心c的速度為，此后圓盤在重力作用下從邊緣向下墜落。試求圓盤開始脫離B點時，BC線與鉛垂線間的夾角及此時圓盤質心的速度V。已知：r，在重力作用下墜落 求：及V解：1、用動能定理（積分形式）分析圓盤開始下墜到脫離B點這一過程研究對象：圓盤受力分析：重力，法向反力，摩擦力確定始末位置，計算功能 初始位置：開始下墜，動能： 末了位置：脫離B點，動能：計算功：只有重力做功列方程：由動能定理的微分形式即：= 其中，（圓盤脫離B點時，B點可視為順心或轉動中心），上式為（1）2、用動靜法分析圓盤即將脫離B點時狀態(tài) 研究對象：圓盤 受力分析：主動力 約束反力， 慣性力系， 式中： 方向如圖示，畫出受力圖建立自然軸系，切向單位矢量，法向單位矢量列動靜方程： 當圓盤脫離B點時N=0，上式為 得（2）聯立（1）（2）解得 例13、三棱柱A沿三棱柱B的光滑面移動，各重為P和Q，B的斜面與水平面成角，如開始靜止，不計摩擦，求A和B的加速度及水平面對B的