課件：《信號與系統(tǒng)》第四章

1、第四章 傅立葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 第二、三章分別討論了連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的時域分析。以沖激函數(shù)或單位序列為基本信號，任意信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位序列，從而系統(tǒng)的響應(yīng)（零狀態(tài)）是輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的卷積。其中h(t)或h(k)反映了系統(tǒng)的特性。 第四、五、六章將分別討論連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的變換域分析頻域、復(fù)頻域、Z域分析。第四章 傅立葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 第二、三章分別討論 變換域分析的基本思想：將復(fù)雜的信號分解為基本信號之和或積分的形式，再求出系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，從而求出系統(tǒng)對給定信號的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。(虛指數(shù)函數(shù))為基本信號. 它是以正弦函

2、數(shù)或任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數(shù)函數(shù)之和。任意非周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數(shù)函數(shù)積分。 本章著重討論連續(xù)時間信號的傅立葉變換和連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析。 變換域分析的基本思想：將復(fù)雜的信號分解為基本信號之和具有一定幅度和相位，角頻率為的虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI連續(xù)系統(tǒng)時，所引起的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))是同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，可表示為：系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為頻率響應(yīng)函數(shù)，它是信號角頻率的函數(shù)，而與時間t無關(guān)，用于系統(tǒng)分析的獨立變量為，故稱之為頻域分析。可推出：具有一定幅度和相位，角頻率為的虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI連續(xù)系激勵信號信號頻域表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)響應(yīng)信號(零狀態(tài)）系統(tǒng)

3、頻域表示響應(yīng)頻域表示頻域分析時域分析 逆變換激勵信號信號頻域表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)響應(yīng)信號(零狀態(tài)）系統(tǒng)頻域本章的主要內(nèi)容:4.1信號分解為正交函數(shù)(自學） 4.2傅里葉級數(shù) 4.3周期信號的頻譜 4.4非周期信號的頻譜-傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 4.6能量譜和功率譜4.7周期信號的傅里葉變換 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析 4.9 取樣定理（模擬信號數(shù)字化傳輸?shù)睦碚摶A(chǔ)）4.10序列的傅立葉分析（數(shù)字信號處理的內(nèi)容）4.11離散傅立葉變換及其性質(zhì)（數(shù)字信號處理的內(nèi)容）連續(xù)時間信號的頻域表示-信號的分解.本章的主要內(nèi)容:4.1信號分解為正交函數(shù)(自學） 4.2 傅里葉級數(shù)（針對周期信號 ）

4、將周期信號 在區(qū)間 內(nèi)展開成完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為“三角型傅里葉級數(shù)”或“指數(shù)型傅里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。 三角函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集 4.2 傅里葉級數(shù)（針對周期信號 ） 將周期信號 在區(qū)一、周期信號的分解（傅里葉級數(shù)的三角形式）二、奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式一、周期信號的分解（傅里葉級數(shù)的三角形式）二、奇、偶函數(shù)的傅一、周期信號的分解（傅里葉級數(shù)的三角形式）設(shè)有一個周期信號 ，它的周期是 ，角頻率 ，它可分解為：其中 稱為傅里葉系數(shù)， 。一、周期信號的分解（傅里葉級數(shù)的三角形式

5、）設(shè)有一個周期信號 由上式可見， 是 的偶函數(shù) ， 是 的奇函數(shù)， 由于是同頻率項,因此可將其合并.得到三角型傅里葉級數(shù)的簡潔形式。由上式可見， 是 的偶函數(shù) ，由于是同頻率項,因式中： 則有 可見， 是 的偶函數(shù)，即有 而 是的奇函數(shù)，即有 式中： 則有 可見， 是 的偶函數(shù)，即有 而 一般任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直流分量 ;一次諧波或基波 ，它的角頻率與原周期信號相同;二次諧波 ， 依此類推，三次，四次等諧波。 一般而言 稱為 次諧波 ， 是 次諧波的振幅， 是其初相角。 *結(jié)論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。 一般任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直一般而一般而

6、言 稱為 次諧波 ， 是 次諧波的振幅， 是其初相角。 *結(jié)論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。一般而言 例4.2-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。解： 直流分量的含義：因此可直接看出是否含有直流成分。例4.2-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。解： 直課件：信號與系統(tǒng)第四章課件：信號與系統(tǒng)第四章周期方波信號僅含有一、三、五. 等奇次諧波分量，并且隨著諧波次數(shù)的增大，相應(yīng)的諧波振幅減小。下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數(shù)來逼近的情況：周期方波信號僅含有一、三、五. 等奇次諧波分量，并且隨TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次諧波0T/ 2Tt(c)基波+三次諧波+

7、五次諧波0T/ 2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波圖 4.2-3 方波的組成TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次諧波0（1）級數(shù)所取項數(shù)愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號,其均方誤差越小。（2）級數(shù)所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。（3）即使 ，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有 的偏差。這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。低頻成分-合成波形的主體輪廓。高頻成分-合成波形的細節(jié)部分。（1）級數(shù)所取項數(shù)愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波若給定的 有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零從而式計算較為簡便。（1） 為偶函數(shù)則有 ，波形對稱于縱坐標。

8、二、奇偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)若給定的 有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等（2） 為奇函數(shù)則有 ，波形對稱于原點。（2） 為奇函數(shù)則有 實際上，任意信號都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中奇函數(shù)部分偶函數(shù)部分實際上，任意信號都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中奇函數(shù)部*一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)不僅與其波形有關(guān)，而且與坐標原點的選擇有關(guān)。信號橫坐標上下移動會影響信號的 分量大小。直流信號縱坐標左右移動會影響信號的各次諧波分量 的大小。初相位*一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)不僅與其波形有關(guān)，而且與坐標原如果 的前半周期波形移動 后，與后半周期波形對稱于橫軸即： ，稱為奇諧函數(shù)。 此時傅里葉級數(shù)展開式中將

9、只含有奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即 0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1圖 4.2-6 奇諧函數(shù)（3） 為奇諧函數(shù)如例題中的方波信號就是奇諧函數(shù)。如果 的前半周期波形移動 后，例4.2-2 正弦交流信號 經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如下圖所示。求它們的傅里葉級數(shù)展開式。（a）全波整流信號 （b）半波整流信號解 （1）全波整流信號圖（a）的全波整流信號可寫成（其周期 ， 為原正弦信號角頻率 ） 例4.2-2 正弦交流信號 由于它是t的偶函數(shù)，故 ， 令 ，對上式進行變量替換得:由于它是t的偶函數(shù)，故 ， 課件：信號與系統(tǒng)第四章可見，它除直流外，僅含有 的偶次諧波。 可見，它除直

10、流外，僅含有 的偶次諧波。 想一想：本題中若把 f1(t)看成以T/2為周期，則想一想：本題中若把 f1(t)看成以T/2為周期，則由于它仍是的偶函數(shù)，故 ，由于它仍是的偶函數(shù)，故 ，令 ，則 對上式進行變量替換: 令 ，則 偶諧函數(shù)-僅含偶次諧波分量. 偶諧函數(shù)-僅含偶次諧波分量.（2）半波整流信號圖（b）的半波整流信號可寫為（其周期 ）（2）半波整流信號圖（b）的半波整流信號可寫為（其周期 它的傅里葉系數(shù)可直接由下式求出它的傅里葉系數(shù)可直接由下式求出課件：信號與系統(tǒng)第四章課件：信號與系統(tǒng)第四章課件：信號與系統(tǒng)第四章本題也可將它分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分： 本題也可將它分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)兩

11、部分： 全波整流半波整流 對比分析其特點.全波整流半波整流 對比分析其特點.三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式將上式第三項中的 用 代換，并考慮到 是 的偶函數(shù)，即 ； 是 的奇函數(shù), 即 ，則上式可寫為 :三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式將上式第三項中的 用 如將上式中的 寫成 （其中 ），則上式可以寫成:如將上式中的 寫成 令復(fù)數(shù)量 ，稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為 ，相角為 ，則得傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為 令復(fù)數(shù)量 復(fù)傅里葉系數(shù) 復(fù)傅里葉系數(shù) 這就是求指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) 的公式。 任意周期信號 可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號 之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為 。這就是求指數(shù)形式傅里

12、葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) 的公式。 任 與 互為共軛。 與 的關(guān)系。 與 互為共軛。 與三角型傅里葉級數(shù)：物理含義：任意周期信號可以分解為許多不同頻率的正弦函數(shù)之和。三角型傅里葉級數(shù)：物理含義：任意周期信號可以分解為許多不同頻指數(shù)型傅里葉級數(shù)：物理含義：任意周期信號可以分解為許多不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。指數(shù)型傅里葉級數(shù)：物理含義：任意周期信號可以分解為許多不同頻思考:負頻率的含義?思考:負頻率的含義?復(fù)傅里葉系數(shù) 與 ， ， 的關(guān)系（書上128頁）畫頻譜圖時要用.復(fù)傅里葉系數(shù) 與 ， ， 的 4.3 周期信號的頻譜一、 周期信號的頻譜二、 周期矩形脈沖的頻譜三、 周期信號的功率 4.3 周期信號的頻譜

13、一、 周期信號的頻譜二、 周一、 周期信號的頻譜 如果將 的關(guān)系繪成下面的線圖，便可清楚而直觀地看出信號包含哪些頻率成分,各頻率分量的相對大小及各分量的相位，分別稱為幅度譜和相位譜（單邊）。單邊譜：一、 周期信號的頻譜 如果將 （a)單邊幅度譜*每條豎線代表該頻率分量的幅度，稱為譜線。*連接各譜線頂點的曲線稱為包絡(luò)線。 (b) 單邊相位譜包絡(luò)線譜線（a)單邊幅度譜*每條豎線代表該頻率分量的幅度，稱為譜線。(如果將 的關(guān)系繪成下面的線圖，同樣可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，也分別稱為幅度譜和相位譜（雙邊）。雙邊譜：如果 為實數(shù)，那么可以用 的正負來表示相位0或 ，這時常將幅

14、度譜和相位譜畫在一張圖上。如果將 的關(guān)系繪成下面的線（c）雙邊幅度譜(d) 雙邊相位譜*信號分解為各虛指數(shù)函數(shù)，圖中的每一條譜線表示各分量的幅度 （稱為雙邊幅度譜）。 其中 。（c）雙邊幅度譜(d) 雙邊相位譜*信號分解為各虛指數(shù)函數(shù)， 對于同一個信號而言，單雙邊頻譜之間存在確定的關(guān)系。已知其中一種就應(yīng)該能夠畫出另外一種。下面我們總結(jié)一下周期信號頻譜的特點。 幅度譜： 或 相位譜： 對于同一個信號而言，單雙邊頻譜之間存在確定的周期信號頻譜的共同特點 :下面我們來看一下周期矩形脈沖信號的頻譜。第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二

15、為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有的各次諧波分量n ，而決不含有非的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨n的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著n的增大而逐漸減小。當n時， 。周期信號頻譜的共同特點 :下面我們來看一下周期矩形脈沖信號的二、 周期矩形脈沖的頻譜圖 4.3-2 周期矩形脈沖1 設(shè)有一幅度為1，脈沖寬度為 的周期性矩形脈沖，其周期為 ，求其復(fù)傅里葉系數(shù) ,并畫出頻譜圖。二、 周期矩形脈沖的頻譜圖 4.3-2 周期矩形脈沖1 11該周期性矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為： 下面我們畫出周期性矩形脈沖信號的雙邊譜。該周期性矩形脈沖的

16、指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為： 下面我們畫出-取樣函數(shù) 1.它是偶函數(shù)。 2. 當 時， 。3.當 時，函數(shù)值為0。它是無限拖尾的衰減振蕩。取樣函數(shù)的特性:-取樣函數(shù) 1.它是偶函數(shù)。 圖4.3-3 周期矩形脈沖的頻譜（T=4）先畫為間隔進行離散，畫出譜線圖。再以圖4.3-3 周期矩形脈沖的頻譜（T=4）先畫為間隔進行圖4.3-3 周期矩形脈沖的頻譜（T=4）圖4.3-3 周期矩形脈沖的頻譜（T=4）第一個零點時譜線的序號：零點的位置：相鄰譜線的間隔：第一個零點的位置：第一個零點時譜線的序號：零點的位置：相鄰譜線的間隔：第一個零 周期性矩形脈沖信號的頻譜具有一般周期信號頻譜的共同特點 :第一為離

17、散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有的各次諧波分量n ，而決不含有非的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨n的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著n的增大而逐漸減小。當n時，|Fn|0。 周期性矩形脈沖信號的頻譜具有一般周期信號頻譜的共同特點 :1、各譜線的幅度按包絡(luò)線 的規(guī)律變化。在 各處，即 的各處，包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線，亦即相應(yīng)的頻譜分量也等于零。2、周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，也就是說，它可分解為無限多個頻率分量。周期性矩形脈沖信號的頻

18、譜還有自己的特點 : 通常把頻率范圍 稱為周期矩形脈沖 信號的帶寬，用符號 表示，即周期矩形脈沖信 號的頻帶寬度為 。1、各譜線的幅度按包絡(luò)線 的規(guī)3、周期相同，脈沖寬度不同,信號的頻譜： 譜線間隔不變，但零點位置變化。 周期不同，脈沖寬度相同, 信號的頻譜： 零點位置不變，譜線間隔變化。 相鄰譜線的間隔 零，周期信號的 離散頻譜 非周期信號的連續(xù)頻譜。見圖見圖3、周期相同，脈沖寬度不同,信號的頻譜： 圖4.3-4 脈沖寬度與頻譜的關(guān)系1/1602/4/Fnf (t)tT0=T/ 8f (t)tT0 =T/402/8/1/ 8Fn4/02/16/1/ 4Fn4/8/tT0=T/16f (t)返

19、回圖4.3-4 脈沖寬度與頻譜的關(guān)系1/1602/4/f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=8f (t)tT0T=16f (t)t0T02/4/1/ 4Fn02/4/TFn02/4/1/16Fn02/4/1/ 8Fn圖4.3-5 周期與頻譜的關(guān)系返回f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=三、 周期信號的功率周期信號是功率信號，歸一化平均功率為 :這是時域上的表達式。將 的傅里葉級數(shù)展開式代入上式得：下面我們來討論頻域上的表達式:三、 周期信號的功率周期信號是功率信號，歸一化平均功率為 : 將被積函數(shù)展開，在展開式中具有形式 的余弦項，其在一個周期內(nèi)的積分

20、等于零；具有 形式的項，當 時，其積分值為零，對于 的項，其積分值為 ，因此上式的積分為： 將被積函數(shù)展開，在展開式中具有形式 上式等號右端的第一項為直流功率，第二項為各次諧波的功率之和。因此，周期信號的功率等于直流功率與各次諧波功率之和。 由于 是 的偶函數(shù)，且 ，上式可改寫為：上式等號右端的第一項為直流功率，第二項為各次諧波的功率之和。上兩式稱為帕斯瓦爾恒等式。 它表明，對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在頻域中求得的信號功率相等。上兩式稱為帕斯瓦爾恒等式。 它表明，對于周期信號，在時域中求例 4.3-1 試計算下圖所示信號在頻譜第一個零點以內(nèi)各分量的功率所占總功率的百分比。 解 ：

21、由上圖可求得信號 的功率：f (t)01-1-0.10.1 t1將 展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)：例 4.3-1 試計算下圖所示信號在頻譜第一個零點以內(nèi)各分量其頻譜如下圖所示，頻譜的第一個零點在 ，這時 0.2其頻譜如下圖所示，頻譜的第一個零點在 根據(jù)式在頻譜第一個零點內(nèi)的各分量的功率和為:即第一個零點以內(nèi)各分量的功率占總功率的 。根據(jù)式在頻譜第一個零點內(nèi)的各分量的功率和為:即第一個零點以內(nèi)例4.2-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。1思考：借用周期性矩形脈沖的頻譜如何理解方波不含有偶次諧波？例4.2-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。1思考： 4.4 非周期信號的頻譜一、傅里葉變換二、

22、奇異函數(shù)的傅里葉變換 4.4 非周期信號的頻譜一、傅里葉變換二、奇異函數(shù)的傅里 前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續(xù)頻譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。 令稱 為頻譜密度函數(shù)。一、傅里葉變換 前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔.當周期 趨近于無限大時， 趨近于無窮小，取其為 ，而 將趨近于 ， 是變量，當 時，它是離散值，當 趨近于無限小時，它就成為連續(xù)變量，取為 ，求和符號改為積分。 由式 ， 可得如何求頻譜密度函數(shù)？.當周期 趨

23、近于無限大時， 趨近于無窮小于是當 時，式成為（1）式稱為函數(shù) 的傅里葉變換 。（2）式稱為函數(shù) 的傅里葉逆變換。 稱為 的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù). 稱為 的原函數(shù)。 簡記為 于是當 時，式成為（1）式稱為函數(shù) 下面來看一下為什么稱其為頻譜密度函數(shù)？在討論這個問題時要用到性質(zhì)中的奇偶性，所以我們先來看一下頻譜密度函數(shù)的實部，虛部，模，相角的奇偶性。是 的偶函數(shù)。是 的奇函數(shù)。下面來看一下為什么稱其為頻譜密度函數(shù)？在討論這個問題時要用到下面就來看一下為什么稱其為頻譜密度函數(shù)？下面就來看一下為什么稱其為頻譜密度函數(shù)？上式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的余弦“分量”所組成，它包含了頻率從零到無限

24、大的一切頻率“分量”。由式可見， 相當于各“分量”的振幅，它是無窮小量。 所以信號的頻譜不能再用幅度表示，而改用密度函數(shù)來表示。類似于物質(zhì)的密度是單位體積的質(zhì)量，函數(shù) 可看作是單位頻率的幅度，稱 為頻譜密度函數(shù)。上式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的余弦“分 例4.4-1 下圖所示為門函數(shù)（或稱矩形脈沖），用符號 表示，其寬度為 ，幅度為 。求其頻譜函數(shù)。0例4.4-1 下圖所示為門函數(shù)（或稱矩形脈沖），用符號0解： 如圖所示的門函數(shù)可表示為其頻譜函數(shù)為解： 如圖所示的門函數(shù)可表示為其頻譜函數(shù)為圖 4.4-1 門函數(shù)及其頻譜1.如果頻譜函數(shù)是實函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線即可。 為負代表相

25、位為 ， 為正代表相位為 。00實偶實偶2.門函數(shù)的帶寬 ，脈沖寬度越窄，其占有的頻帶越寬。圖 4.4-1 門函數(shù)及其頻譜1.如果頻譜函數(shù)是實函數(shù)例4.4-2 求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù).0t圖 4.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)解: 將單邊指數(shù)函數(shù)的表示式 代入到式 中得：例4.4-2 求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù).0t圖 4課件：信號與系統(tǒng)第四章幅度譜和相位譜分別為：頻譜圖如下圖所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位頻譜圖 4.4-3 單邊指數(shù)函數(shù)01/(a) 振幅頻譜幅度譜和相位譜分別為：頻譜圖如下圖所示： ()0- 例 4.4-3 求下圖所示雙邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù)。 et10

26、tf1 (t)e-t解：上圖所示的信號可表示為：或者寫為例 4.4-3 求下圖所示雙邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù)。 et1將 代入到式 ，可得其頻譜函數(shù)為：將 代入到式 其頻譜圖如下所示 ：F1(j)02/實偶實偶et10tf1 (t)e-t其頻譜圖如下所示 ：F1(j)02/實偶實偶et10例4.4-4 求下圖所示信號的頻譜函數(shù)。-et10tf2 (t)e-t-1解: 上圖所示的信號可寫為 ：（其中 ) 例4.4-4 求下圖所示信號的頻譜函數(shù)。-et10tf2-et10tf2 (t)e-t-1-et10tf2 (t)e-t-1其頻譜圖如下圖所示：X2()01/-1/實奇虛奇-et10tf2 (t)e

27、-t-1其頻譜圖如下圖所示：X2()01/-1/實奇虛奇-e二、 奇異函數(shù)的傅里葉變換1、沖激函數(shù) 的頻譜 2、沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的頻譜 3、單位直流信號的頻譜4、符號函數(shù) 的頻譜 5、階躍函數(shù) 的頻譜 只有滿足絕對可積條件的信號，才能用定義進行計算。因此象直流、階躍、符號函數(shù)等要借用前面例題中函數(shù)的極限來求。二、 奇異函數(shù)的傅里葉變換1、沖激函數(shù) 的頻譜 2、沖1、沖激函數(shù)的頻譜 即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù) ，如下圖所示。其頻譜密度在區(qū)間 處處相等，常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。 0t (t )01F(j)(a)(b)圖 4.4-6 單位沖激函數(shù)的頻譜1、沖激函數(shù)的頻譜 即單位沖激函數(shù)的頻譜是

28、常數(shù) ，如下2、沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜 根據(jù)定義,沖激函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的頻譜函數(shù)為 ：按沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義 ：即 同理可得2、沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜 根據(jù)定義,沖激函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的頻譜函數(shù)3、 單位直流信號的頻譜幅度等于1 的直流信號可表示為：顯然，該信號不滿足絕對可積條件，但其傅里葉變換卻存在。它可以看作是函數(shù) 當 時的極限 。則直流信號的頻譜函數(shù)也應(yīng)是 的頻譜函數(shù) 當 時的極限。 0et1tf1 (t)e-t3、 單位直流信號的頻譜幅度等于1 的直流信號可表示為：顯然所以 當 趨近于零時我們已經(jīng)知道 的頻譜函數(shù)為：所以 當 趨近于零時我們已經(jīng)知道 f1 (t)0t1234(a)432102 ()(b)圖

29、4.4-7 求 1的極限過程02 ()(b)0t1(a)圖 4.4-8 直流信號的頻譜f1 (t)0t1234(a)4321024、符號函數(shù)的頻譜 符號函數(shù)定義為顯然,該函數(shù)也不滿足絕對可積條件。 函數(shù) 可看作函數(shù)：當 時的極限。4、符號函數(shù)的頻譜 符號函數(shù)定義為顯然,該函數(shù)也不滿足絕對可則它的頻譜函數(shù)也是 的頻譜函數(shù) ，當 時的極限。 我們已知 的頻譜函數(shù)為：它是 的奇函數(shù)，在 處 。 因此，當 趨近于零時，有 ：則它的頻譜函數(shù)也是 的頻譜函數(shù) 于是得它在 處的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b) 圖 4.4-9 sgn(t)及其頻譜于是得它在 處的值等于零。0tSg5、階躍

30、函數(shù)的頻譜 5、階躍函數(shù)的頻譜 圖 4.5-11 (t)及其頻譜0 ()R()X()0R() ()-1/ X()0-1/ 1/ 20t10t1/ 20t-1/ 21/ 2 Sgn(t)其頻譜的實部和虛部分別為: 頻譜的虛部是 的奇函數(shù)，在 處其值等于零。 圖 4.5-11 (t)及其頻譜0 ()R(附錄四（414頁）列出了常用信號的傅里葉變換。附錄四（414頁）列出了常用信號的傅里葉變換。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 任一信號可以有兩種描述方法：時域的描述頻域的描述 本節(jié)將研究在某一域中對函數(shù)進行某種運算，在另一域中所引起的效應(yīng)。 為簡便，用 表示時域與頻域之間的對應(yīng)關(guān)系，即 4.5傅里葉變換的性質(zhì)

31、 任一信號可以有兩種描述方法：時一、 線性 * 二、 奇偶性三、 對稱性 *四、 尺度變換（時頻展縮） *五、 時移特性（延時特性） *六、 頻移特性 *七、 卷積定理 *八、 時域微分和積分 *九、 頻域微分和積分十、 相關(guān)定理一、 線性 * 二、 奇偶性三、 對稱性 *四、 尺度變換（一、 線性 若則對于任意常數(shù) 和 ，有傅里葉變換的線性性質(zhì)可以推廣到有多個信號的情況。 一、 線性 若則對于任意常數(shù) 和 線性性質(zhì)有兩個含義： 1、齊次性 它表明，若信號 乘以常數(shù) （即信號增大 倍），則其頻譜函數(shù)也乘以相同的常數(shù) （則其頻譜函數(shù)也增大 倍）； 2、可加性 它表明，幾個信號之和的頻譜函數(shù)等于各

32、個信 號的頻譜函數(shù)之和。線性性質(zhì)有兩個含義： 1、齊次性 2、可加性 二、 奇偶性下面研究時間函數(shù)與其頻譜的奇、偶、虛、實關(guān)系。 如果 是時間 的實函數(shù)，那么根據(jù)： 二、 奇偶性下面研究時間函數(shù)與其頻譜的奇、偶、虛、實關(guān)系。 其中頻譜函數(shù)的實部和虛部分別為：頻譜函數(shù)的模和相角分別為：1、若 f(t) 是時間 t 的實函數(shù)，則頻譜函數(shù) 的實部 是角頻率 的偶函數(shù)，虛部 是角頻率 的奇函數(shù)， 是 的偶函數(shù)， 是 的奇函數(shù)。其中頻譜函數(shù)的實部和虛部分別為：頻譜函數(shù)的模和相角分別為：12、如果 是時間 的實函數(shù)，并且是偶函數(shù)，則 頻譜函數(shù) 等于 ，它是 的實偶函數(shù)。 3、如果 是時間 的實函數(shù)，并且是

33、奇函數(shù)，則 頻譜函數(shù) 等于 ，它是 的虛奇函數(shù)。 2、如果 是時間 的實函數(shù)，并且4、 的傅里葉變換令 ，得考慮到 是 的偶函數(shù)， 是 的奇函數(shù)，故：若 f(t) 是時間 t 的實函數(shù)4、 的傅里葉變換令 將以上結(jié)論歸納起來是： 如果 是 的實函數(shù)，且設(shè)則有（1） （2） （3） 實偶 實偶實奇 虛奇將以上結(jié)論歸納起來是： 如果 是 如果 是 的虛函數(shù)，則有（1） （2） 如果 是 的虛函數(shù)，則有（1） （2）已知思考： 做逆變換對應(yīng)的是什么函數(shù)？ 做逆變換對應(yīng)的是什么函數(shù)？（用 表示）已知思考： 做逆變換對應(yīng)的是什么函數(shù)？ 三、對稱性若 則 證明: 傅里葉逆變換式將上式中的自變量 換為 ，得

34、將上式中的 換為 ，將原有的 換為 ，得上式表明，時間函數(shù) 的傅里葉變換為 。 三、對稱性若 證明: 傅里葉逆變換式將上式中的自變量 例如，時域沖激函數(shù) 的傅里葉變換為頻域的常數(shù) ；由對稱性可得：例如，時域沖激函數(shù) 的傅里葉變換為頻例4.5-1 求取樣函數(shù) 的頻譜函數(shù)。 解: 我們已知，寬度為 ，幅度為 的門函數(shù) 的頻譜函數(shù)為 ，即 取 ，即 則：根據(jù)傅里葉變換的對稱性質(zhì): 例4.5-1 求取樣函數(shù) 其波形如下圖所示 ：1/2 g2(t)01/2 t1-1Sa()01-11g2()0Sa(t) t01圖 4.5-1 函數(shù) Sa(t) 及其頻譜其波形如下圖所示 ：1/2 g2(t)01/2 t1

35、-1Sa例4.5-2 求函數(shù) 和 的頻譜函數(shù)。解 （1）函數(shù)我們已知 ：由對稱性并考慮到 是 的奇函數(shù)，可得：例4.5-2 求函數(shù) 和 的頻譜函數(shù)由對稱性并考慮到 ，得 根據(jù)線性性質(zhì)，時域頻域分別乘以 得：（2）函數(shù)我們已知： 由對稱性并考慮到 四、 尺度變換（時頻展縮）尺度變換特性為 ：若 上式表明，若信號 在時域壓縮或擴展到原來的 ，那么其頻譜函數(shù)在頻域?qū)⒄箤捇驂嚎s 倍，同時其幅度變?yōu)榈皆瓉淼?,此特性稱為尺度變換特性或時頻展縮特性。 則對于實常數(shù) ，有 四、 尺度變換（時頻展縮）尺度變換特性為 ：若 上式表明，若2/-2/0圖 4.5-2 尺度變換002/-2/0圖 4.5-2 尺度變換

36、00證明：設(shè) ，則展縮后的信號 的傅里葉變換為:令 ,則 , ,當 時證明：設(shè) 當 時 :若令 ，得當 時 :若令 五、 時移特性（延時特性） 若且 為常數(shù)，則有:上式表示，在時域中信號沿時間軸右移（即延時 ），其在頻域中所有頻率“分量”相應(yīng)落后一相位 ，而其幅度保持不變。 五、 時移特性（延時特性） 若且 為常數(shù)，則有:上式令 ，則上式可以寫為 同理可得： 證明：若 ，則延遲信號的傅里葉變換為令 ，則上式可以寫為 同理如果信號既有時移又有尺度變換則有： 設(shè) 和 為實常數(shù)，且 .如果信號既有時移又有尺度變換則有： 設(shè) 和 例4.5-3 如下圖（a）所示的函數(shù)是寬度為 的門函數(shù),即 其傅里葉變換

37、 ，求圖（b）和（c）中函數(shù) 和 的傅里葉變換。例4.5-3 如下圖（a）所示的函數(shù)是寬度為 的門函數(shù)解 （1）圖（b）中函數(shù) 可寫為：根據(jù)傅里葉變換的線性和時移特性可得 的傅里葉變換：解 （1）圖（b）中函數(shù) 可寫為：根據(jù)傅（2）圖（c）中的函數(shù) 是 的壓縮，可寫為：由尺度變換性質(zhì)：（2）圖（c）中的函數(shù) 是 顯然 也可寫為 ：由時移特性可得到相同的結(jié)果。 顯然 也可寫為 ：由時移特性可得到相同例4.5-4 若有5個相同的脈沖，其相鄰間隔為T，如圖所示，求其頻譜函數(shù)。- T0t1T- 2T2TT=4n=5解：設(shè)位于坐標原點的單個脈沖表示式為 ，其頻譜函數(shù)為 ，則圖中的信號可表示為：根據(jù)線性和

38、時移特性，它的頻譜函數(shù)為：例4.5-4 若有5個相同的脈沖，其相鄰間隔為T，如圖- 上式為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式及歐拉公式得： 上式為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式及歐拉公當 （m=0，1，2，）時，也就是說，在 處 ，其頻譜函數(shù)的幅度是 的5倍，這是由于在這些頻率處,5個單個脈沖的各頻率“分量”同相的緣故。當 （m=0，1，2，另外，當 （m為整數(shù)，但不等于5的倍數(shù)）時，式中分子為零，從而 ，這是由于5個單脈沖的各頻率“分量“相互抵消的緣故。另外，當 （m為整數(shù)，但不等圖4.5-4 5個矩形脈沖的頻譜4/T-2/T6/T2/T2/0圖4.5-4 5個矩形脈沖的頻譜4/T-2/T6/T

39、 當脈沖個數(shù)無限增多時（這時就成為周期信號）， 則除 的各譜線外， 其余頻率“分量”均等于零，從而變成離散譜。 由圖可見，當多個脈沖間隔為T重復(fù)排列時，信號的能量將向 處集中，在該頻率處頻譜函數(shù)的幅度增大，而在其他頻率處幅度減小，甚至等于零。2/4/T-2/T6/T2/T0 當脈沖個數(shù)無限增多時（這時就成為周期信號）， 由 一般，若有N個波形相同的脈沖（N為奇數(shù)，中間一個，即第 個位于原點），其相鄰間隔為T，則其頻譜函數(shù)為 :式中 為單個脈沖的頻譜函數(shù)。 一般，若有N個波形相同的脈沖（N為奇數(shù)，中六、 頻移特性 上式表明:將信號 乘以因子 ,對應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿 軸右移 ;將信號 乘以因子 ,對

40、應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿 軸左移 。頻移特性也稱為調(diào)制特性。它可表述為:若 且 為常數(shù)，則六、 頻移特性 上式表明:將信號 乘以因子 證明:同理:證明:同理:根據(jù)時移特性： 根據(jù)尺度變換，令 ，得 再由頻移特性得 例4.5-5 如已知信號 的傅里葉變換為 ，求信號 的傅里葉變換。解:按 的順序求它們的 傅里葉 變換。 根據(jù)時移特性： 根據(jù)尺度變換，令 頻移特性在通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，如調(diào)幅，同步解調(diào)、混頻等都是在頻譜搬移基礎(chǔ)上實現(xiàn)的。實現(xiàn)頻譜搬移的原理如下圖所示： 頻移特性在通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，如調(diào)幅，同步解它是將信號 （常稱為調(diào)制信號）乘以所謂載頻信號 或 ，得到高頻已調(diào)信號 ，即顯然，若信號 的頻譜

41、為 ，則高頻已調(diào)信號 或 的頻譜函數(shù)為：它是將信號 （常稱為調(diào)制信號）乘以所謂載頻信號顯頻譜搬移的原理：同理：頻譜搬移的原理：同理：例如，若 是幅度為 的門函數(shù) ，則例如，若 是幅度為 的門函數(shù)010(a) 門函數(shù)及其頻譜圖 4.5-6 高頻脈沖的頻譜(b) 高頻脈沖及其頻譜0 /201 /2- /2010(a) 門函數(shù)及其頻譜圖 4.5-6 高頻脈頻譜搬移的理論基礎(chǔ):頻譜搬移的理論基礎(chǔ):七、 卷積定理時域卷積定理若 頻域卷積定理 若 則 式中 則 七、 卷積定理時域卷積定理若 頻域卷積定理 若 則 式中 則例4.5-7 求斜升函數(shù) 和函數(shù) 的頻譜函數(shù)。解: （1） 的頻譜函數(shù)我們已知 根據(jù)頻

42、域卷積定理，可得 的頻譜函數(shù) 即 例4.5-7 求斜升函數(shù) （2） 的頻譜函數(shù)因為而利用線性性質(zhì)可得 （2） 的頻譜函數(shù)因為而利用線性性質(zhì)可得 八、 時域微分和積分設(shè)時域微分定理 若 則 證明： 八、 時域微分和積分設(shè)時域微分定理 若 時域積分定理 若 則 證明 ：這里時域積分定理 若 則 證明 ：這里若 , 則 這個性質(zhì)經(jīng)常用來求某些復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。即先將所求的函數(shù)求導(dǎo)，求出其導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換，再利用積分特性求出所求信號的頻譜。若 , 則 *在求某函數(shù) 的傅立葉變換時，常常先將其求導(dǎo)，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為 ，它的傅立葉變換為 ，再利用積分特性求得所求函數(shù) 的傅立葉變換。 但對某些函數(shù)，雖有 ，但

43、有可能*在求某函數(shù) 的傅立葉變換時，常常先將其求課件：信號與系統(tǒng)第四章例 45-8 求三角形脈沖 的頻譜函數(shù)。 10例 45-8 求三角形脈沖 圖 4.5-8 f (t)及其導(dǎo)數(shù)解:如圖，將三角脈沖求兩次導(dǎo)變成0(c)0(b)首先思考兩個問題：1、求導(dǎo)后再積分是不是原來的函數(shù)；（考察被求導(dǎo)信號在負無窮遠點是否為零）2、在用積分特性時，被積信號的付里葉變換在頻率為0時， 其函數(shù)值是否為零。（考察被積分信號在整個時域積分值是否為零）積分積分10圖 4.5-8 f (t)及其導(dǎo)數(shù)解:如圖，將三角脈沖求圖 4.5-8 f (t)及其導(dǎo)數(shù)0(c)0(b)設(shè)則積分積分10圖 4.5-8 f (t)及其導(dǎo)數(shù)

44、0(c)0(b)設(shè)則積課件：信號與系統(tǒng)第四章010將此結(jié)果和門函數(shù)的頻譜進行對比。010將此結(jié)果和門函數(shù)的頻譜進行對比。例4.5-10 求下圖(a)和(b)所示信號的傅里葉變換。解: （1）方法一:圖（a）的函數(shù)為 例4.5-10 求下圖(a)和(b)所示信號的傅里葉變換。解圖（b）的函數(shù)可寫為 圖（b）的函數(shù)可寫為 方法二:先求導(dǎo),再積分的方法.由圖可見 和 的導(dǎo)數(shù)均如 圖（c）所示。 方法二:先求導(dǎo),再積分的方法.由圖可見 和根據(jù)得:根據(jù)得:九、 頻域微分和積分頻域微分： 頻域積分： 式中 如果有 ，則有 若則則若九、 頻域微分和積分頻域微分： 頻域積分： 式中 如果有 證明：頻域微分：

45、證明：頻域微分： 證明：頻域積分： 證明：頻域積分： 例4.5-11求斜升函數(shù) 的頻譜函數(shù)。 解: 單位階躍信號及其頻譜函數(shù)為 由式 可得 例4.5-11求斜升函數(shù) 的頻譜函例4.5-12 求函數(shù) 的頻譜函數(shù)。解: 由于 ，顯然有根據(jù)頻域積分特性:只要求出再積分求出 即可.例4.5-12 求函數(shù) 課件：信號與系統(tǒng)第四章例4.5-13 求 的值。 解: 一般遇到這樣的問題時，可考慮采用傅里葉變換及逆變換在特殊點的值例4.5-13 求 本題求 的值。 令 (a0)， 本題求 若 ，則 ，于是得到思考：若 ，則 十、相關(guān)定理 相關(guān)定理是要考慮相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換與各信號的傅里葉變換之間的關(guān)系。若則上

46、式很容易證明。若則結(jié)論：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方。十、相關(guān)定理 相關(guān)定理是要考慮相關(guān)函數(shù)的傅里葉例題1：求下列信號的頻譜函數(shù)。解: (a)(b)(b) (a)例題1：求下列信號的頻譜函數(shù)。解: (a)(b)(b) (例題2：求下列信號的頻譜函數(shù)。解：例題2：求下列信號的頻譜函數(shù)。解：解：解：解：解：解：0解：0 4.6能量譜和功率譜 信號的頻譜是頻域中描述信號特征的方法之一,此外還可用能量譜和功率譜來描述信號的頻域特征。一、能量譜 二、功率譜 4.6能量譜和功率譜 信號的頻譜是頻域中描述信號信號 在 上的能量 若信號的能量有限，則為能量信號。一、能量譜:若信號為實信號，則：

47、能量信號的能量在頻域的分布狀況可用能量譜來描述,稱為能量譜密度，簡稱能量譜。用 表示。信號 在 上的能量能量譜上式稱為帕斯瓦爾方程或能量等式。能量譜上式稱為帕斯瓦爾方程或能量等式。能量譜可見，信號的能量譜是 的偶函數(shù)，它只決定于頻譜函數(shù)的模，而與相位無關(guān)。即信號的能量譜與其自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。能量譜可見，信號的能量譜是 的偶函數(shù)，它只決定于二、功率譜 對功率信號，信號功率在頻域的分布狀況可用功率譜密度來描述，簡稱功率譜，用 表示。如果信號功率有限，則稱信號為功率信號，此時能量E無窮大。即:為此，從 中截取 的一段，得到一個截尾函數(shù) ，它是能量有限的信號。令 則：二、功率譜 如果信號功

48、率有限，則稱信號為功率信號，此時能類似與能量譜密度，我們定義功率譜密度 。同理，根據(jù)功率信號自相關(guān)函數(shù)的定義，可得到與能量譜相同的結(jié)論：功率信號的功率譜與其自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。 類似與能量譜密度，我們定義功率譜密度 。 能量譜 功率譜 1、二者均僅與幅度譜有關(guān)而與相位譜無關(guān)。2、均與自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。 能量譜 功率譜 4.7 周期信號的傅里葉變換一、 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換(兩種方法)三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換主要內(nèi)容：4.7 周期信號的傅里葉變換一、 正、余弦函數(shù)的傅里葉變一、 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)頻移特性得所以，正、余弦函數(shù)的傅里葉變

49、換為一、 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)頻移特性得所以，正、余弦函正、余弦信號的波形及頻譜如下圖所示0t1f (t)=cos0t0-00F(j)圖4.7-1正、余弦函數(shù)及其頻譜 (b) 正弦脈沖及其頻譜0t1f (t)= sin0t-X()0-00(a) 余弦脈沖及其頻譜正、余弦信號的波形及頻譜如下圖所示0t1f (t)=cos二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換一周期為 的周期函數(shù)方法一二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換一周期為 的周期函數(shù) 上式表明，周期信號的傅里葉變換（或頻譜密度函數(shù)）由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波角頻率 處，其強度為各相應(yīng)幅度 的 倍。 上式表明，周期信號的傅里葉

50、變換（或頻譜密度函例4.7-1 求周期性矩形脈沖信號 的頻譜函數(shù)。0 tT-T1解：例4.7-1 求周期性矩形脈沖信號 的pT(t)0-圖 4.7-2 周期矩形脈沖的傅立葉變換pT(t)0-圖 4.7-2 周期矩形脈沖的傅例4.7-2 求周期性單位沖激函數(shù)序列 的頻譜。解: tT(t )-2T-3T-T0T2T3T圖 4.7-3 周期沖激序列例4.7-2 求周期性單位沖激函數(shù)序列 可見：時域中周期為 的單位沖激序列，在頻域中是周期為 ，強度為 的沖激序列。其中-2-3-230 周期沖激序列的傅立葉變換 t-2T-3T-T0T2T3T圖 4.7-3 周期沖激序列可見：時域中周期為 的單位沖激序列

51、，在頻域中是-方法二設(shè)周期信號 ，從該信號中截取一個周期信號，令其為 。 這是求周期信號的傅里葉變換的另一種方法。 方法二設(shè)周期信號 ，從該信號中截取一個周期例4.7-3 求周期性脈沖 的頻譜函數(shù)。 解 ： 0 tT-TpT(t)1例4.7-3 求周期性脈沖 的頻譜函三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換可見，周期信號的傅里葉系數(shù)等于 在 處的值乘上 。 因此，傅里葉變換的許多性質(zhì)也可適用于傅里葉級數(shù)，這提供了求周期信號傅里葉系數(shù)的另一種方法。三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換可見，周期信號的傅里葉系數(shù)等于 例4.7-4 將下圖所示周期信號 展開成指數(shù)型傅里葉級數(shù)。解： 例4.7-4 將下圖所示周期信號 展開成指

52、數(shù)型傅 4.8 LIT系統(tǒng)的頻域分析一、頻率響應(yīng) 前面我們花了大量時間討論了信號的頻域分析，本節(jié)將研究系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系，即系統(tǒng)的頻域分析。 二、無失真?zhèn)鬏斎?理想低通濾波器的響應(yīng) 4.8 LIT系統(tǒng)的頻域分析一、頻率響應(yīng) 前面我一、頻率響應(yīng) 傅里葉分析是將信號分解為眾多不同頻率 的虛指數(shù)函數(shù)之和（或積分），因此首先討論虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)引起的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng)）。 再討論任意信號作用系統(tǒng)所引起的響應(yīng)，得出響應(yīng)的頻域求解方法；從而引出頻域中反映系統(tǒng)特性的函數(shù)-頻率響應(yīng)（函數(shù)）。一、頻率響應(yīng) 傅里葉分析是將信號分解為眾多不1、 研究虛指數(shù)函數(shù)作用于 LTI系統(tǒng)所引起 的響應(yīng)(

53、零狀態(tài)）？設(shè)虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)所引起 的響應(yīng)（零狀態(tài)）是系數(shù)為 的同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，僅是幅度及相位發(fā)生變化，但頻率不變。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是1、 研究虛指數(shù)函數(shù)作用于 LTI系統(tǒng)所引起 的響應(yīng)(零狀態(tài)當激勵為任意信號 ，由式 得2、討論輸入為任意信號時的響應(yīng)？若令響應(yīng) 的頻譜函數(shù)為 ，則由上式得當激勵為任意信號 ，由式 頻率響應(yīng)函數(shù)（也稱為系統(tǒng)函數(shù)）可定義為系統(tǒng)響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的傅里葉變換 與激勵的傅里葉變換 之比，即 令 則有3、頻率響應(yīng)的定義，幅頻特性，相頻特性？ 頻率響應(yīng)函數(shù)（也稱為系統(tǒng)函數(shù)）可定義為系令稱為系統(tǒng)的幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）稱為系統(tǒng)的相頻特性（或相頻響應(yīng)） 是 的偶函

54、數(shù)， 是 的奇函數(shù)。幅頻特性:代表系統(tǒng)對不同頻率輸入信號放大或衰減的倍數(shù).幅頻特性和相頻特性的物理含義:相頻特性:代表系統(tǒng)對不同頻率輸入信號相移的大小.稱為系統(tǒng)的幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）稱為系統(tǒng)的相頻特性（或相頻響 利用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)問題的方法，常稱為頻域分析法或傅里葉變換法。4、頻域分析？時域分析與頻域分析的關(guān)系如下圖所示。圖4.7-1 頻域分析示意圖LTI系統(tǒng) 利用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)問題的方法，常稱為頻域分析法或傅例4.8-1 某LTI系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) 和相頻響應(yīng) 如下圖所示。若系統(tǒng)的激勵 ，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 書上介紹了兩種方法,一種是傅里葉級數(shù)法;一種是傅里葉變換法;但對于周期信號還有另外一種

55、方法-正、余弦函數(shù)響應(yīng)法。例4.8-1 某LTI系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) 和相解法三：正、余弦函數(shù)響應(yīng)法當激勵為余弦函數(shù)時：解法三：正、余弦函數(shù)響應(yīng)法當激勵為余弦函數(shù)時：課件：信號與系統(tǒng)第四章課件：信號與系統(tǒng)第四章本題 可見，輸入信號經(jīng)系統(tǒng)后，直流分量不變，基波分量幅度減半，且相移90度。二次諧波被濾除。本題 可見，輸入信號經(jīng)系統(tǒng)后，直流分量不變，基波分量幅度減例4.8-2 描述某系統(tǒng)的微分方程為 求輸入 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解: 令 ， 對方程兩端取傅里葉變換，得由上式可得該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)例4.8-2 描述某系統(tǒng)的微分方程為 解: 令 取傅里葉逆變換得取傅里葉逆變換得例4.8-3 如下圖所示的 電

56、路，若激勵電壓源 為 單位階躍函數(shù) ，求電容電壓 的零狀態(tài)響應(yīng)。解: 圖中網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)（或稱轉(zhuǎn)移函數(shù)）為+-+C10圖4.8-3例4.8-3 如下圖所示的 電路，若激勵電壓源 式中 。 式中 。 例4.8-4 如下圖所示的系統(tǒng)，已知乘法器的輸入 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ， 求輸出 。思路：先求出例4.8-4 如下圖所示的系統(tǒng)，已知思路：先求出解: 由圖可知，乘法器的輸出信號 ，依頻域卷積定理可知，其頻譜函數(shù) 令 ， 根據(jù)對稱性可得 解: 由圖可知，乘法器的輸出信號 的頻譜函數(shù) 的頻譜函數(shù) 課件：信號與系統(tǒng)第四章 取上式的傅里葉逆變換 ： 取上式的傅里葉逆變換 ：二、無失真?zhèn)鬏?所謂無失真?zhèn)鬏斒侵?/p>

57、輸出與輸入相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。問：LTI系統(tǒng)的 應(yīng)滿足什么條件，才能夠?qū)崿F(xiàn)無失真?zhèn)鬏斝盘枺?應(yīng)滿足： LTI二、無失真?zhèn)鬏?所謂無失真?zhèn)鬏斒侵篙敵雠c輸入相幅頻特性是常數(shù)；相頻特性是通過原點的直線（斜率的負值為延遲時間）圖 4.7-5 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性和相頻特性0理想條件 一般對帶限信號而言，只要在信號有限帶寬內(nèi)滿足該條件即可實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敗７l特性是常數(shù)；相頻特性是通過原點的直線（斜率的圖 4.7-三、 理想低通濾波器的響應(yīng) 一個系統(tǒng)，如果它的 對不同頻率成分的正弦信號， 有的讓其通過，有的予以抑制，則該系統(tǒng)稱為濾波器。 所謂理想濾波器，是指不允

58、許通過的頻率成分，一點也不讓它通過， 百分之百地被抑制掉；而允許通過的頻率成分，讓其順利通過， 百分之百地讓其通過。 三、 理想低通濾波器的響應(yīng) 一個系統(tǒng)，如果它的 具有如圖所示的幅頻特性和相頻特性的系統(tǒng)理想低通濾波器。 圖 4.7-6 理想低通濾波器的幅頻特性和相頻特性01-cc或具有如圖所示的幅頻特性和相頻特性的系統(tǒng)圖 4.7-6 理1、理想低通濾波器的沖激響應(yīng)01-cc 理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 是頻率響應(yīng)函數(shù) 的傅里葉逆變換，因此，理想低通濾波器的沖激響應(yīng) ：-11、理想低通濾波器的沖激響應(yīng)01-cc -1根據(jù)傅里葉變換的對稱性可知，由再由時移特性，得理想低通濾波器的沖激響應(yīng)： -1根

59、據(jù)傅里葉變換的對稱性可知，由再由時移特性，得理想低通其波形如下圖所示。由圖可見，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)的峰值比輸入的 延遲了 。(a) 沖激響應(yīng)其波形如下圖所示。由圖可見，理想低通濾波器的沖(a) 沖激響思考：為什么理想低通的沖激響應(yīng)會是取樣函數(shù)的形式？當 增大，對響應(yīng)有何影響？響應(yīng)趨于什么函數(shù)形式？01-cc(a) 沖激響應(yīng)思考：為什么理想低通的沖激響應(yīng)會是取樣函數(shù)的形式？當 2、理想低通濾波器的階躍響應(yīng) 2、理想低通濾波器的階躍響應(yīng) 令正弦積分， 下面就來畫出階躍響應(yīng)的波形。先畫出 ，再做尺度變換得到 最后畫出 。令正弦積分， 下面就來畫出階躍響應(yīng)的波形。先畫出 正弦積分， 正弦積分，

60、課件：信號與系統(tǒng)第四章圖 4.7-7 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)0t1td0.5g (t )tr-0.08951.08950ttdh (t )下面我們討論幾個問題:上升時間;最大值;吉布斯現(xiàn)象;因果性;圖 4.7-7 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)0t1t由上圖可見，在 處階躍響應(yīng)上升最快，如果定義信號的上升（或稱建立）時間 為 在 處的斜率的倒數(shù)，則上升時間 為：可見，濾波器的通帶愈寬，即截止頻率愈高，其階躍響應(yīng)上升時間愈短，波形愈陡峭。1、階躍響應(yīng)的上升時間與系統(tǒng)的通帶寬度成反比。由上圖可見，在 處階躍響應(yīng)上升最快，它與濾波器的通帶寬度無關(guān)。因此，增大濾波器的通帶，不能減小過沖