高考數(shù)學(xué)專題《直線與圓錐曲線》習(xí)題含答案解析

1、專題9.6 直線與圓錐曲線練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1（2021四川成都市成都七中高三月考（文）已知點是拋物線的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰在以、為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】B【分析】設(shè)切線方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由可求得的值，設(shè)點，利用韋達定理求出的值，利用雙曲線的定義求出的值，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點為，易知點，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，即，則，解得，設(shè)點，由韋達定理可得，以、為焦點的雙曲線的實軸長為，則，則，因此，該雙曲線的離心率為，故選：B.2（2022全國高三專題練習(xí)）直線4kx4yk0與

2、拋物線y2x交于A、B兩點，若|AB|4，則弦AB的中點到直線x0的距離等于（ ）ABCD【答案】D【分析】分析可得直線恒過拋物線的焦點，根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)|AB|x1x2，可得弦AB的中點的橫坐標(biāo)是，即得解【詳解】直線4kx4yk0，即yk，即直線4kx4yk0過拋物線y2x的焦點設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2，故x1x2，則弦AB的中點的橫坐標(biāo)是，所以弦AB的中點到直線x0的距離是故選：D3.（2020浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為ABC1D2【答案】C【解析】因為拋物線的焦點為，又直線經(jīng)過的

3、焦點，設(shè)直線，由得，設(shè)，則由題意可得：，同理，所以.故選C4.（2019天津高考真題（理）已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線x2a2y2bA.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為雙曲線的漸近線方程為y=b則有A(1,AB=2ba，2be=c故選D.5.【多選題】（2021河北滄州市高三月考）已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（ ）ABCD點在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標(biāo)可構(gòu)造方程求得，知A正確；將中點坐標(biāo)代入直線方程即可求得，知B正確；根據(jù)直線過拋物線焦點，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可

4、知C錯誤；根據(jù)長度關(guān)系可確定，由此可確定D錯誤.【詳解】對于A，設(shè)，由得：，又線段的中點為，解得：，A正確；對于B，在直線上，B正確；對于C，過點，為拋物線的焦點，C錯誤；對于D，設(shè)，則，又，在以為直徑的圓上，D錯誤.故選：AB.6（2021江蘇揚州高三月考）直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則_.【答案】8【分析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及即可求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.7（2022全國高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點F，且與該拋物

5、線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方若直線l的傾斜角為60，則OAF的面積為_【答案】【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)和直線的傾斜角得出直線的點斜式方程，然后利用直線和拋物線相交可得出A點坐標(biāo).繼而可求出.【詳解】解：由題意得：拋物線交點，直線l的傾斜角為60，直線l的方程為，即代入拋物線方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案為：8（2022全國高三專題練習(xí)）拋物線的焦點F是圓x2y24x0的圓心（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，若l與拋物線、圓依次交于A、B、C、D，求|AB|CD|【答案】（1）y28x；（2）6.【分析】（1）由圓的方程寫出圓心坐標(biāo)，進而可得拋

6、物線方程.（2）由題意知|AB|CD|AD|BC|，寫出直線l的方程，設(shè)A(x1,y1)、D(x2,y2)，聯(lián)立拋物線求x1x2、x1x2，即可求|AD|，進而求|AB|CD|【詳解】（1）由圓的方程知：圓心坐標(biāo)為(2,0)故所求的拋物線焦點為(2,0)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x（2）如圖，|AB|CD|AD|BC|，又|BC|4，只需求出|AD|即可由題意，AD所在直線方程為y2(x2)，與拋物線方程y28x聯(lián)立得：x26x40，設(shè)A(x1,y1)，D(x2,y2)，則x1x26，x1x24，|AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x246410，|AB|CD|AD|BC|69. （2

7、020廣西欽州高二期末（文）已知拋物線的頂點為，焦點坐標(biāo)為（1）求拋物線方程；（2）過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求線段的值【答案】（1）（2）【解析】（1）焦點坐標(biāo)為，拋物線的方程為（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立消元得，線段的值為10.（2021江蘇揚州高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點F的直線l交C于A，B兩點，線段的中點為M，分別過A，B作C的切線，且與交于點P，證明：O，P，M三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率及焦點求出即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程后結(jié)

8、合根與系數(shù)的關(guān)系計算即可證明三點共線.【詳解】（1），橢圓方程為.（2）由題意知斜率不為0，設(shè)直線l的方程為：，由，即.，.直線的方程為：，直線的方程為，即O，P，M三點共線.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.【多選題】（2021山東濟南高三月考）已知直線過拋物線的焦點，且直線與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)， .則下列選項正確的是（ ）AB以線段為直徑的圓與直線相離C當(dāng)時，D面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】求出拋物線的焦點及準(zhǔn)線，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，計算可判斷A；利用定義及直線與圓的位置可判斷B；由向量共線求出弦長判斷

9、C；求出點G的坐標(biāo)及面積的函數(shù)式即可判斷作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為，由消去y得：，于是得，A不正確；以線段AB為直線的圓的圓心，則，點到直線距離，由拋物線定義得，顯然，即以線段為直徑的圓與直線相離，B正確；當(dāng)時，有，即，而，于是得，C正確；由求導(dǎo)得，于是得拋物線C在A處切線方程為：，即，同理，拋物線C在B處切線方程為：，聯(lián)立兩切線方程解得，點到直線l：的距離，于是得面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，面積的取值范圍為，D正確.故選：BCD2.（2019全國高三月考（文）已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于M，N兩點，且以線段MN為直徑的圓過點F，則p=（ ）A.1B.2C

10、.4D.6【答案】B【解析】設(shè)，聯(lián)立，消去x得，由韋達定理可得：，以線段MN為直徑的圓的方程為，又其過點F，故選：B3（2020山西運城高三月考（理）已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準(zhǔn)線上的一動點，則的最小值為（ ）.ABCD【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，到準(zhǔn)線的距離為2，故點縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A4（2021重慶北碚區(qū)西南大學(xué)附中高三月考）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓、的面積為、，則的取值范圍是

11、_【答案】【分析】首先根據(jù)雙曲線以及切線性質(zhì)證明軸，然后根據(jù)三角形相似關(guān)系求出與之間的關(guān)系，再根據(jù)已知條件求出的取值范圍，進而求出的取值范圍，最后利用函數(shù)思想求出的取值范圍即可求解.【詳解】由雙曲線的方程可知，實半軸長，虛半軸長，且，設(shè)圓與分別切于，連接，如下圖所示：由圓的切線性質(zhì)可知，有雙曲線定義可知，即，設(shè)，故，解得，由切線性質(zhì)可知，與點坐標(biāo)都為，同理可知，圓也與軸也切于點，故軸，且、三點共線，又由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，、分別為和的角平分線，易得，從而可得，故，因為，所以，因為雙曲線的漸近線：，所以其傾斜角分別為和，又因為直線與雙曲線的右支交于，兩點，所以直線的傾斜角范圍為，易得所以，由

12、，不妨令，易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為，又因為，從而在上的值域為，所以的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍為.故答案為：.5（2020山東青島高三開學(xué)考試）已知直線：與拋物線：在第一象限的交點為，過的焦點，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_；_.【答案】 【解析】易知直線與軸的交點為，即拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，作軸于點，如圖，則，直線的斜率為故答案為：；6（2020江蘇如皋高二月考）已知是拋物線的焦點，為拋物線上任意一點，的最小值為，則_；若過的直線交拋物線于、兩點，有，則_.【答案】 【解析】過點作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，則點在拋物線內(nèi)，如下圖

13、所示：，當(dāng)點、共線時，取得最小值，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的焦點為，設(shè)點、，可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，恒成立，由韋達定理得，則，所以，可得，可得，因此，.故答案為：；.7（2021天津南開區(qū)南開中學(xué)高三月考）設(shè)橢圓：的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于點，兩點，且，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用橢圓的離心率，和過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，列出方程求解，可得橢圓的方程；(2)聯(lián)立直線CD和橢圓方程，利用韋達定理和向量

14、數(shù)量積的坐標(biāo)公式代入解出k的值【詳解】（1）設(shè)F(c，0)，由，知過點F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又，從而，c1，所以橢圓的方程為（2）設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260求解可得x1x2，x1x2因為A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2由已知得，解得k8（2021北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C

15、的焦點在y軸上，且拋物線上的點P(x0,4)到焦點F的距離為5.斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，及拋物線在P點處的切線方程；（2）若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M，N兩點（M，N位于直線l兩側(cè)），當(dāng)四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程.【答案】（1）；切線方程為或；（2）.【分析】（1）利用拋物線定義，結(jié)合已知即可求參數(shù)，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得P點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求P點處切線的斜率，即可寫出切線方程.（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線并整理，應(yīng)用韋達定理求，再根據(jù)中點公式求的中點，并寫出的垂直平分線方程，利用菱形的對稱性求N點坐標(biāo)，由點在直線

16、上求參數(shù)m，即可得直線l的方程.【詳解】（1）依題意,設(shè)拋物線C：， 由P到焦點F的距離為5，P到準(zhǔn)線的距離為5，又P(x0,4)，由拋物線準(zhǔn)線方程得：，即，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ，則，點P(4,4)，. (4,4)處拋物線切線方程為，即；(4,4)處拋物線切線方程為，即.綜上，點處拋物線切線方程為或. （2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線得： ，消y得 ，. ，則，即的中點為.的垂直平分線方程為.四邊形AMBN為菱形，關(guān)于對稱，則，又在拋物線上， ，即，故直線的方程為 .9. （2019天津高考真題（文） 設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)經(jīng)過點

17、且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程. 【答案】（I）；（II）.【解析】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I）知，故橢圓方程為，由題意，則直線的方程為，點的坐標(biāo)滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，因為點在軸的上方，所以，由圓心在直線上，可設(shè)，因為，且由（I）知，故，解得，因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，解得，所以橢圓的方程為：.10（2019全國高三月考（理）如圖，己知拋物線，直線交拋物線于兩點，是拋物線外一點，連接分別交地物線于點，且.（1）

18、若，求點的軌跡方程.（2）若，且平行x軸，求面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）解法1：，設(shè)，則，由可得，故，同理，故，代入拋物線得：，化簡得：，同理得：，所以為方程的兩根，又由，將代入且，將代入，得，故.故點P的軌跡方程為.解法2：同解法1知，設(shè)線段的中點分別為，易知三點共線，（為實數(shù)），所以.以下同解法1.（2）由為方程的兩根，可得：.由（1）得，因為，所以，故.軸且在拋物線上，關(guān)于軸對稱.，及，且.在拋物線上,，解得.設(shè)的中點為，則，所以，而.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1. （2021天津高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點，

19、交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點為，進而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.2.（2020全國高考真題（理）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為_.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：3.（2019浙江

20、高考真題）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_.【答案】【解析】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.4.（2020全國高考真題（文）已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，求的面積【答案】（1）；（2）.【解析】（1），根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點在上，點在直線上，且，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)

21、題意畫出圖形，如圖，又，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，設(shè)點為，可得點縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，當(dāng)點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；當(dāng)點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.5（2019江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（1、0），F(xiàn)2（1，0）過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1已知DF1=（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點E的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.將x