典型例題：概率的計算3

1、PAGE10典型例題例1甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）兩個人都譯不出密碼的概率；（3）恰有1個人譯出密碼的概率；（4）至多1個人譯出密碼的概率；（5）至少1個人譯出密碼的概率分析：我們把“甲獨立地譯出密碼”記為事件，把“乙獨立地譯出密碼”記為事件，顯然為相互獨立事件，問題（1）兩個都譯出密碼相當于事件、同時發(fā)生，即事件問題（2）兩人都譯不出密碼相當于事件問題（3）恰有1個人譯出密碼可以分成兩類：發(fā)生不發(fā)生，不發(fā)生發(fā)生，即恰有1個人譯出密碼相當于事件問題（4）至多1個人譯出密碼的對立事件是兩個人都未譯出密碼，即事件由于、是獨

2、立事件，上述問題中，與，與，與是相互獨立事件，可以用公式計算相關(guān)概率解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件，“乙獨立地譯出密碼”為事件，、為相互獨立事件，且（1）兩個人都譯出密碼的概率為：（2）兩個人都譯不出密碼的概率為：（3）恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為：（4）“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“有兩個人譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為：（5）“至少有1個人譯出密碼”的對立事件為“兩人未譯出密碼”，所以至少有1個人譯出密碼的概率為：說明：如果需要提高能譯出密碼的可能性，就需要增加可能譯出密碼的人，現(xiàn)

3、在可以提出這樣的問題：若要達到譯出密碼的概率為99，至少需要像乙這樣的人多少個我們可以假設(shè)有個像乙這樣的人分別獨立地破譯密碼，此問題相當于次獨立重復(fù)試驗，要譯出密碼相當于至少有1個譯出密碼，其對立事件為所有人都未譯出密碼，能譯出密碼的概率為，按要求，故，可以計算出，即至少有像乙這樣的人16名，才能使譯出密碼的概率達到99例2如圖，開關(guān)電路中，某段時間內(nèi)，開關(guān)開或關(guān)的概率均為，且是相互獨立的，求這段時間內(nèi)燈亮的概率分析：我們把“開關(guān)合上”記為事件，“開關(guān)合上”記為事件，“開關(guān)合上”記為事件C，是相互獨立事件且由已知，它們的概率都是，由物理學知識，要求燈亮，有兩種可能性，一個是、兩開關(guān)合上，即事件

4、發(fā)生，另一個是開關(guān)合上，即事件發(fā)生，也就是燈亮相當于事件發(fā)生解：分別記“開關(guān)合上”、“開關(guān)合上”、“開關(guān)合上”為事件，由已知，是相互獨立事件且概率都是開關(guān)、合上或開關(guān)合上時燈亮，所以這段時間內(nèi)燈亮的概率為：說明：本題的解題過程中，靈活使用了概率中的一些符號，比如，表示事件與事件同時發(fā)生，表示事件與事件至少有一個發(fā)生，表示與至少有一個發(fā)生，所以分成了三個互斥事件：發(fā)生不發(fā)生，不發(fā)生發(fā)生，與都發(fā)生，而其中不發(fā)生發(fā)生即，又不發(fā)生即與至少有一個不發(fā)生，從而又分成了三個互斥事件：、，符號語言的正確理解與使用，不僅是提高數(shù)學能力的需要，而且也使數(shù)學解題過程簡便明了，一些數(shù)學結(jié)論表述更加方便我們可以嘗試理解

5、并領(lǐng)會下列結(jié)論：，例3擲三顆骰子，試求：（1）沒有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點的概率；（2）恰好有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點的概率分析：我們把三顆骰子出現(xiàn)1點或6點分別記為事件，由已知，是相互獨立事件問題（1）沒有1顆骰子出現(xiàn)1點或6點相當于，問題（2）恰有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點可分為三類：，三個事件為互斥事件問題（1）可以用相互獨立事件的概率公式求解，問題（2）可以用互斥事件的概率公式求解解：記“第1顆骰子出現(xiàn)1點或6點”為事件，由已知是相互獨立事件，且（1）沒有1顆骰子出現(xiàn)1點或6點，也就是事件全不發(fā)生，即事件，所以所求概率為：（2）恰好有1顆骰子出現(xiàn)1點或6點，即發(fā)生不發(fā)生不發(fā)生或不發(fā)生發(fā)生不發(fā)生

6、或不發(fā)生不發(fā)生發(fā)生，用符號表示為事件，所求概率為：說明：再加上問題：至少有1顆骰子出現(xiàn)1點或6點的概率是多少我們逆向思考，其對立事件為“沒有一顆骰子出現(xiàn)1點或6點，即問題（1）中的事件，所求概率為，在日常生活中，經(jīng)常遇到幾個獨立事件，要求出至少有一個發(fā)生的概率，比如例1中的至少有1個人譯出密碼的概率，再比如：有兩門高射炮，每一門炮擊中飛機的概率都是，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈，擊中飛機的概率是多少把兩門炮彈擊中飛機分別記為事件A與B，擊中飛機即A與B至少有1個發(fā)生，所求概率為例4某工廠的產(chǎn)品要同時經(jīng)過兩名檢驗員檢驗合格方能出廠，但在檢驗時也可能出現(xiàn)差錯，將合格產(chǎn)品不能通過檢驗或?qū)⒉缓细癞a(chǎn)品通過檢驗，對

7、于兩名檢驗員，合格品不能通過檢驗的概率分別為，不合格產(chǎn)品通過檢驗的概率分別為，兩名檢驗員的工作獨立求：（1）一件合格品不能出廠的概率，（2）一件不合格產(chǎn)品能出廠的概率分析：記“一件合格品通過兩名檢驗員檢驗”分別記為事件和事件，問題（1）一件合格品不能出廠相當于一件合格品至少不能通過一個檢驗員檢驗，逆向考慮，其對立事件為合格品通過兩名檢驗，即發(fā)生，而的概率可以用相互獨立事件的概率公式求解我們把“一件不合格品通過兩名檢驗員檢驗”分別記為事件和事件，則問題（2）一件不合格品能出廠相當于一件不合格品同時通過兩名檢驗員檢驗，即事件發(fā)生，其概率可用相互獨立事件概率公式求解解：（1）記“一件合格品通過第i名

8、檢驗員檢驗”為事件，“一件合格品不能通過檢驗出廠”的對立事件為“一件合格品同時通過兩名檢驗員檢驗”，即事件發(fā)生所以所求概率為（2）“一件不合格品能通過第i名檢驗員檢驗”記為事件，“一件不合格品能出廠”即不合格品通過兩名檢驗員檢驗，事件發(fā)生，所求概率為：例5某大學的校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗賽，校隊的實力比系隊強，當一個校隊隊員與系隊隊員比賽時，校隊隊員獲勝的概率為現(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式，提出了三種方案：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人三種方案中場次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利問：對系隊來說，哪一種方案最有利三種方案中，哪一種方案系隊獲勝的概率更大一些，

9、哪一種方案對系隊更有利進行幾場比賽相當于進行幾次獨立重復(fù)試驗，可以用n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生次的概率方式解題解：記一場比賽系隊獲勝為事件，事件的對立事件為校隊獲勝，所以用方案（1），發(fā)生兩次為系隊勝，發(fā)生3次也為系隊勝，所以系隊勝的概率為：用方案（2），發(fā)生3、4、5次為系隊勝所以系隊勝的概率為：用方案（3），發(fā)生4、5、6、7次為系隊勝所以系隊勝的概率為：比較可以看出，雙方各出3個人對系隊更有利，獲勝概率為實際上，對弱隊而言，比賽場數(shù)越少，對弱隊越有利，僥幸取勝的可能性越大說明：在日常生活中，經(jīng)常出現(xiàn)方案的比較問題，或者方案是否合理的論證問題，比如產(chǎn)品抽查，抽檢幾件比較合理，因為抽多了浪費人力，抽少了容易讓不合格產(chǎn)品出廠設(shè)備維修安排幾位維修工較合理，安排人員過多造成浪費，安排人員過少設(shè)備不能及時維修，這些問題都可以用本題的思維方法，先設(shè)計一個獨立重復(fù)試驗，然后抓某個事件發(fā)生的概率，看概率是否較小我們可以看例子：10臺同樣的設(shè)備，各自獨立工作，設(shè)備發(fā)