抽樣調(diào)查-第7章系統(tǒng)抽樣

1、7.1 引言 一、系統(tǒng)抽樣的定義系統(tǒng)抽樣（systematic sampling)是將N個總體單元按一定順序排列，先隨機(jī)抽取一個單元作為樣本的第一個單元，然后按某種確定的規(guī)則抽取其他樣本單元的一種抽樣方法。系統(tǒng)抽樣樣的特點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)抽樣樣是一種種被廣泛泛采用的的抽樣方方法，系系統(tǒng)抽樣樣比簡單單隨機(jī)抽抽樣易于于操作，但抽樣樣誤差的的估計(jì)比比較復(fù)雜雜。實(shí)踐踐中，各各種抽樣樣調(diào)查，如人口口調(diào)查、產(chǎn)品質(zhì)質(zhì)量調(diào)查查、城鄉(xiāng)鄉(xiāng)居民調(diào)調(diào)查等都都普遍采采用系統(tǒng)統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣樣中最簡簡單也是是最常用用的規(guī)則則是等間間隔抽取，這這種系統(tǒng)統(tǒng)抽樣又又稱等距抽樣樣。二、系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的的一般方方法1.直線等距距抽樣假設(shè)總體體單

2、元數(shù)數(shù)為N,樣本容量量為n,N是n的整數(shù)倍倍.首先計(jì)算抽樣間距,把總體分為n段,每段k個單元,然后在第第一段的的k個單元中中隨機(jī)抽抽出一個個單元,假設(shè)為r,然后每隔隔k個單元抽抽出一個個單元.即直到抽出n個單元.例如 某學(xué)院共有200個學(xué)生,要抽10個學(xué)生做樣本首先計(jì)算抽樣間距 然后在120中隨機(jī)抽出一個數(shù)字,假設(shè)抽中排在第3位的學(xué)生，則其余樣本單元依次為第23,43, 63,83,103,123,143,163,183位共10個學(xué)生抽取.2.循環(huán)等距距抽樣 當(dāng)N不是n的整數(shù)倍,即抽樣間距 不是整數(shù)時,實(shí)際抽取的樣本量是不確定的,每個總體單元入樣的概率也是不等的,這時用直線等距抽樣就有可能產(chǎn)生

3、偏倚,若采用循環(huán)等距抽樣則可以解決此問題. 其方法是將N個總體單元排成首尾相接的一個圓從1到N中隨機(jī)抽取一個起點(diǎn)作為起始單元,然后每隔k個單元抽出一個,直到抽出n個單元為止.循環(huán)等距距抽樣例如總體體有14個單元，欲抽取取n=3，則取與之最近的整數(shù)然后在總體中隨機(jī)抽取一個單元作為起點(diǎn)，假設(shè)抽中3，即依次抽取直到抽滿。因此樣本的編號為：3，8，13。811101331764529123.不等概系系統(tǒng)抽樣樣法不等概系統(tǒng)抽樣中每個單元的入樣概率不相等.最常用也是最簡單的不等概系統(tǒng)抽樣是 抽樣.即入樣概率 與單元大小 成比例的系統(tǒng)抽樣.令表示總體所有單元大小的總和,則實(shí)施不等等概系統(tǒng)統(tǒng)抽樣最最簡單的的方

4、法是是代碼法:下面以例7.1來說明【例7.1】設(shè)總體由10個行政村組成,N=10,每個行政村的人數(shù) 見下表.利用 系統(tǒng)抽樣抽取n=3個行政村.行政村編號人數(shù)(Mi)累計(jì)人數(shù)抽中代碼12345678910103432962468473205168146317103535631877961103412391407155318701007231346用 系統(tǒng)抽樣抽選行政村從1,k中隨機(jī)抽抽取一個個整數(shù)r=100,則代碼為為:r=100,r+k=100+623=723,r+2k=100+2623=1346,所對應(yīng)的的行政村村入樣,其序號依依次為1,4,8. 在系統(tǒng)抽樣中,對于特別大的單元一定要注意.如

5、果出現(xiàn) ,該單元肯定被抽入樣本,而且還可能被重復(fù)抽到.為了避免這種情況,可以事先將這些單元抽出直接入樣.三、總體體單元的的排序系統(tǒng)抽樣樣時N個總體單單元的排排序情況況大致有以以下三種種：（1）按無關(guān)關(guān)標(biāo)志排排隊(duì)（2）按有關(guān)關(guān)標(biāo)志排排隊(duì)（3）介于上上述兩者者之間四、系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的的優(yōu)缺點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)抽樣樣的優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)：1.簡便易行行，容易易確定樣樣本單元元2.樣本單元元在總體體中分布布比較均均勻系統(tǒng)抽樣樣的缺點(diǎn)點(diǎn):1.如果單元元的排列列存在周周期性的的變化,而抽樣者對此缺缺乏了解解或缺乏乏處理經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，抽抽取的樣樣本的代表性性就可能能很差。2.系統(tǒng)抽樣樣的方差差估計(jì)較較為復(fù)雜雜，一般般不存在無偏估估計(jì)量。五、

6、系統(tǒng)統(tǒng)抽樣、整群抽抽樣和分分層抽樣樣的關(guān)系系系統(tǒng)抽樣樣既可以以看成一一種特殊殊的整群群抽樣，又可以看看成一種種特殊的的分層抽抽樣。下下面以一一般的等距抽抽樣為例例說明：假設(shè)抽樣樣間距為為k,總體單元元數(shù)為N=nk。將總體的N個單元排排列成k行n列，如下下表所示示。表中中的每一行單元元都是系系統(tǒng)抽樣樣的一個個樣本。系統(tǒng)抽樣樣的總體體單元1 2 j n平均12rk1 2 j n群平均12rk層平均令得下表：如果將每每一行單單元視為為一個群群，則總總體由k個群組成成每個群的大小都是n。系統(tǒng)抽樣就是從 中任選一個單元元,被選中單單元所在在行的所所有單元元就構(gòu)成成系統(tǒng)抽抽樣的一個樣樣本。7.2等概率系系

7、統(tǒng)抽樣樣估計(jì)量量一、符號號說明第r行第j列的單元指標(biāo)值：總體單元元數(shù)：N樣本單元元數(shù)：n系統(tǒng)樣本平均數(shù)：系統(tǒng)樣本均值估計(jì)量：層 均 值： 總體方差：系統(tǒng)樣本內(nèi)方差：樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù)：層內(nèi)方差：同一系統(tǒng)內(nèi)對層均值離差的相關(guān)系數(shù)：二、估計(jì)計(jì)量假設(shè)起始始值為R，相應(yīng)系統(tǒng)統(tǒng)樣本的的平均值值為：取系統(tǒng)樣本的平均數(shù)作為總體均值 的估計(jì)量：性質(zhì)1當(dāng)N=nk時，有k個可能樣樣本：因此 是無偏估計(jì)量。是有偏的的。個可能樣本所包含的單元數(shù)不全相等，因此但是當(dāng)時，采用直線等距抽樣得到的三、估計(jì)計(jì)量方差差的不同同表示形形式為方便起見，以后均假定時，系統(tǒng)樣本的平均數(shù)作為總體均值的估計(jì)是無偏的。它的方差差按定義義為：下面給

8、出出方差的的三種不不同的表表示形式式。形式一 用樣本內(nèi)方差表示系統(tǒng)抽樣估計(jì)量的方差。式中，為總體方差；為樣本內(nèi)方差。如果從總總體N中直接抽抽取樣本本量為n的簡單隨隨機(jī)樣本，則總體均值 的估計(jì)量 的方差為：式中， 為總體方差；n為樣本量；f為抽樣比。 對于固定總體，總體方差是惟一確定的，因此，系統(tǒng)樣本內(nèi)的方差 越大，系統(tǒng)抽樣的精度越高.為了提高系統(tǒng)抽樣的精度，總體單元的排列應(yīng)盡可能增大樣本內(nèi)方差。比較等距抽樣方差 和簡單隨機(jī)抽樣方差 ，形式二 系統(tǒng)抽樣可看作一種特殊的整群抽樣系統(tǒng)抽樣估計(jì)量的方差可以用樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù) 表示：式中，為樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù)。系統(tǒng)樣本本內(nèi)正相相關(guān)越大大，即系系統(tǒng)內(nèi)單單元越相似

9、，則則估計(jì)量量方差越越大，等等距抽樣樣精度越越差。形式三、系統(tǒng)抽樣可看做一種特殊的分層抽樣，系統(tǒng)抽樣估計(jì)量的方差可以用層內(nèi)方差 表示：式中，為層內(nèi)方差；為同一系統(tǒng)樣本內(nèi)對層均值離差的相關(guān)系數(shù)。比較系統(tǒng)抽樣方差 與比例分配的分層隨機(jī)抽樣方差，比例分配的分層隨機(jī)抽樣總體均值估估計(jì)量的的方差。因此當(dāng)系統(tǒng)抽樣的精度低于分層隨機(jī)抽樣；系統(tǒng)抽樣的精度與各層抽取一個單元的分層隨機(jī)抽樣相同；系統(tǒng)抽樣的精度高于分層隨機(jī)抽樣?！纠?.3】設(shè)某總個個體N=30個單元，總體單單元排列列如下表，我們要要產(chǎn)生一一個樣本本量n=5為的系統(tǒng)統(tǒng)樣本，試與其他他抽樣方方法的結(jié)結(jié)果進(jìn)行行比較。下面通過過一個模模擬的例例子說明明系統(tǒng)

10、抽抽樣與其其他抽樣方法的的聯(lián)系，并對不不同抽樣樣方法的的效果進(jìn)進(jìn)行比較較。N=30，k=6, n=45等距樣本本數(shù)據(jù)12345群平均群內(nèi)方差1111213141513.002.52111213141513.002.53111213141513.002.54111213141513.002.55111213141513.002.56111213141513.002.5層平均11.0012.0013.0014.0015.0013.002.5層內(nèi)方差0000002.07從上表可計(jì)算出：總體方差平均群（行）內(nèi)方差平均層（列）內(nèi)方差下面我們們按不同同的抽樣樣方法計(jì)計(jì)算總體體均值估計(jì)量的的方差。(1)以行

11、為群群的整群群抽樣或或以行為為“系統(tǒng)統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽抽樣k=6,n=5.(1)以行為群群的整群群抽樣或或以行為為“系統(tǒng)統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽抽樣k=6,n=5.(2)以列為群群的整群群抽樣或或以列為為“系統(tǒng)統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽抽樣k=5,n=6.（3）以行為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=6,n=6,f=6/30.（4）以列為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=5,n=5,f=5/30.（5）簡單隨機(jī)抽樣n=5,f=5/30.（6）簡單隨機(jī)抽樣n=6,f=6/30.【評價】從上面的的結(jié)果可可以看出出：（1）像整群群抽樣一一樣，系系統(tǒng)抽樣樣的估計(jì)計(jì)精度幾幾乎完全取決于于其“系系統(tǒng)樣本本”內(nèi)差差異與

12、總總體差異異的對比比。（2）系統(tǒng)抽抽樣與其其他抽樣樣方法相相比其優(yōu)優(yōu)劣難以以定論，可能好也也可能差差，這完完全取決決于其“系統(tǒng)樣樣本”內(nèi)內(nèi)差異與總體差差異的對對比，而而這個對對比則取取決于系系統(tǒng)抽樣樣中的總體單單元排列列順序。（3）另外三三種方法法的比較較同樣難難定優(yōu)劣劣，都需需要具體情況具具體分析析。我們下面面將上表表中總體體單元的的順序重重新排列列，來研研究總體單單元不同同排列對對系統(tǒng)抽抽樣的影影響。依某種隨隨機(jī)化程程序?qū)⒖偪傮w單元元重新排排列12345群平均群內(nèi)方差1111211121513.002.692111211121513.002.693111213141513.002.5041

13、11213141513.002.505131413141513.000.706131413141513.000.70層平均11.6712.6712.3313.3315.0013.00層內(nèi)方差1.071.071.071.07002.07從上表可計(jì)算出：總體方差平均群（行）內(nèi)方差平均層（列）內(nèi)方差下面我們們按不同同的抽樣樣方法計(jì)計(jì)算總體體均值估計(jì)量的的方差。(1)以行為群群的整群群抽樣或或以行為為“系統(tǒng)統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽抽樣k=6,n=5.(2)以列為群群的整群群抽樣或或以列為為“系統(tǒng)統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽抽樣k=5,n=6.（3）以行為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=6,n=6,f=6/30.（4

14、）以列為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=5,n=5,f=5/30.（5）簡單隨機(jī)抽樣n=5,f=5/30.（6）簡單隨機(jī)抽樣n=6,f=6/30.【評價】將此結(jié)果果與上例例結(jié)果比比較我們們不難發(fā)發(fā)現(xiàn)：（1）簡單隨隨機(jī)抽樣樣的方差差未變，說明簡簡單隨機(jī)機(jī)抽樣的結(jié)果果與順序序無關(guān)；（2）系統(tǒng)抽抽樣、整整群抽樣樣以及分分層抽樣樣都與單單元順序有關(guān)關(guān)，這表表明在選選擇抽樣樣方式時時，必須須盡可能能多地掌握握有關(guān)單單元的順順序和總總體結(jié)構(gòu)構(gòu)和特點(diǎn)點(diǎn)。（3）本例中中分層抽抽樣方差差的結(jié)果果優(yōu)于簡簡單隨機(jī)機(jī)抽樣，而簡簡單隨機(jī)機(jī)抽樣優(yōu)優(yōu)于系統(tǒng)統(tǒng)抽樣和和整群抽抽樣?！纠?.5】設(shè)某個總總體有N=32個單元

15、，總體單單元排列顯然然有穩(wěn)定定上升的的趨勢。我們要要產(chǎn)生一一個樣本本量為4的等距樣樣本，將將總體單單元排列列如下表表，k=8,n=4,每一列都都是一個個等距樣樣本。共共8個等距樣樣本。層 等 距 樣 本 編 號層平均3.7511.521.87532.251234567817172718182838203031120314122434514243461625367162738總數(shù)5255616574778388-N=32，k=8, n=4等距樣本本數(shù)據(jù) 顯然,層內(nèi)有正相關(guān),前4個樣本與各層均值的離差都是正數(shù),后4個樣本與各層均值的離差都是負(fù)數(shù),由性質(zhì)4,當(dāng) 時,系統(tǒng)抽樣的精度低于分層隨機(jī)抽樣.層

16、內(nèi)方差與總方差分別為: 因此,簡單隨機(jī)抽樣均值估計(jì)的方差 、分層隨機(jī)抽樣均值估計(jì)的方差 以及等距抽樣均值估計(jì)的方差如下：【例7.3】利用例7.2的數(shù)據(jù),但將第二二層與第第四層的的觀察值次次序顛倒倒,數(shù)據(jù)見下下表:層 等 距 樣 本 編 號層均3.7511.521.87532.251234567811617381161836314203431220344112431582430682528772727總數(shù)7271716970676768- 顯然,等距樣本內(nèi)數(shù)據(jù)與各層均值得離差有正有負(fù),例如第一個等距樣本對各層均值的離差分別為-2.75,4.5,-4.875,5.75.該樣本內(nèi)六對離差組合中四對的

17、乘積是負(fù)數(shù).因此,由性質(zhì)4, ,系統(tǒng)抽樣的精度高于分層隨機(jī)抽樣. 數(shù)據(jù)順序的這種改變不會影響簡單隨機(jī)抽樣均值估計(jì)的方差 和分層隨機(jī)抽樣均值估計(jì)的方差 。這時等距抽樣均值估計(jì)的方差為： 本例中，等距抽樣比簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣都更有效。 由此可見，相對于分層隨機(jī)抽樣和簡單隨機(jī)抽樣來說，系統(tǒng)抽樣的效率很大程度上取決于總體性質(zhì)。即使是相同的總體數(shù)據(jù)，對于不同的單元排列順序，就有不同的樣本群內(nèi)方差 或相關(guān)系數(shù) 從而系統(tǒng)抽樣估計(jì)量的方差也就不同。 因此，若要有效地采用系統(tǒng)抽樣，必須先了解總體的特征。6.3方差估計(jì)計(jì)及其改改進(jìn)一、方差差的近似似估計(jì)雖然有各各種各樣樣的估計(jì)計(jì)量方差差的理論論公式，但難以

18、得到到抽樣估估計(jì)量方方差的無無偏估計(jì)計(jì)，這是是系統(tǒng)抽抽樣的最大大的缺點(diǎn)點(diǎn)。因此此，許多多從事抽抽樣設(shè)計(jì)計(jì)的業(yè)者者在決定是是否采用用系統(tǒng)抽抽樣時往往往猶豫豫不決。為此，我我們分別別針對幾幾種不同同總體模模型，介介紹幾種近似似估計(jì)方方法，以以期選擇擇較為合合適的估估計(jì)量。（1）隨機(jī)次次序排列列的總體體按照無關(guān)關(guān)標(biāo)志排列的總總體單元元，可以以看著是是隨機(jī)排列列的。在這種情情況下，系統(tǒng)抽抽樣方差差與簡單單隨機(jī)抽樣方差差是相等等的。即即總體單單元按隨隨機(jī)排列列順序時，就可可以采用用簡單隨隨機(jī)抽樣樣的方差差作為系系統(tǒng)抽樣的方差差估計(jì)。方差估計(jì)為：估計(jì)量的方差為：趨勢排列列情形當(dāng)總體存存在或很很易找到到與研

19、究究變量相相關(guān)程度度較高的輔助助變量作作為排序序依據(jù)時時，或是是自然的的排列順順序與總體體單元的的變量值值的大小小分布呈呈現(xiàn)某種種相依或或相悖的趨趨勢時，總體單單元的排排列順序序就處于于趨勢排排列狀態(tài)，其中線線性趨勢勢最為典典型。對于來自自趨勢排排列總體體的等概概系統(tǒng)樣樣本，通通常可視為分分層樣本本，其整整體均值值的估計(jì)計(jì)為：抽樣方差的無偏估計(jì)為：二、線性性排列情情形抽樣樣與估計(jì)計(jì)的改進(jìn)進(jìn)1.線性趨勢勢的總體體 若總體單元按指標(biāo)值從小到大順序排列或按某個與其有線性相關(guān)的輔助變量的大小順序排列,此時指標(biāo)值 與單元序號 也線性相關(guān).這種按有關(guān)標(biāo)志排列的總體稱為線性趨勢的總體,如下圖所示. 我們先假

20、定一種簡單的線性趨勢總體,即單元指標(biāo)值 是單元序號i的線性函數(shù),即經(jīng)過線性性變換后后，記以下仍用 表示系統(tǒng)抽樣在具有線線性趨勢勢總體下下，比較較系統(tǒng)抽樣樣的方差、簡單隨機(jī)抽樣的方差、分層隨機(jī)抽樣的方差它們的差別。當(dāng)時，有故總體均值總體方差從而簡單隨機(jī)抽樣的方差：分層隨機(jī)抽樣的方差：系統(tǒng)抽樣的方差：比較三式可知等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立。2.對線性趨趨勢總體體的系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法法的改進(jìn)進(jìn)雖然嚴(yán)格格的線性趨勢勢排列總總體在實(shí)實(shí)際問題題中很難難成立,但其結(jié)論論在定性性上還是是適合的的.為了使系系統(tǒng)抽樣樣法達(dá)到到更高的的精度,有必要對線性趨趨勢總體體的系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法法進(jìn)行改改進(jìn).主要有兩個途徑徑:一種是抽抽樣方法

21、法的改進(jìn)進(jìn);(如中心位置置抽樣法和對稱系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法法)另一種是是估計(jì)方方法的改改進(jìn)(如首尾校正正法).(1)中心位置置抽樣法法初始樣本本不是隨隨機(jī)抽取取,而是直接接取第一一段的n個單元中中處于中中間位置置的單元元.中點(diǎn)取奇數(shù)時，當(dāng) k為偶數(shù)時，當(dāng) k為中點(diǎn)取(2)對稱系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法Sethi對稱系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法（P206）Singn對稱系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法（P207）(3)首尾校正正法Yates首尾校正正法Bellhouse和Rao首尾校正正法(見P205)Bellhouse和Rao首尾校正正法如果初始始單元編編號r較大，滿滿足r+(n-1)kN,則有越過過單元N的樣本單單元有n2個，相應(yīng)應(yīng)的權(quán)數(shù)數(shù)如下：【

22、例7.4】總體有23個單位,擬抽取n=5， 則 取與之最近的整數(shù)k=5。然后在總體中隨機(jī)抽取一個單位作為起點(diǎn),假設(shè)抽中r=19,樣本單位的順序編號分別為：19，1，6，11，16。首樣本單元為 ，尾單元為 。求相應(yīng)單元的權(quán)數(shù)。,6.4=nNk解:由于其他3個樣本單單元的權(quán)權(quán)數(shù)為:0.2首樣本單元 的權(quán)數(shù)為:尾樣本單元 的權(quán)數(shù)為:三、周期期波動的的總體周期性波波動是指指總體單單元指標(biāo)標(biāo)值按其其順序程程周期性變化化.例如商店店的日銷銷售額以以7天為周期期變化,一般周末末為銷售售高峰期期,周一、周周二下降降；城市市交通量以24小時為周周期變化化，上下下班時間間為高峰峰期。對于周期期性波動動總體，使用

23、系系統(tǒng)抽樣樣一定要要特別注注意。系系統(tǒng)抽樣樣的估計(jì)計(jì)效果與與抽樣間間距k及單元指指標(biāo)值的的變化周周期直接接的關(guān)系系。7.4系統(tǒng)抽樣樣的方差差估計(jì)系統(tǒng)抽樣樣法的缺缺點(diǎn)之一一，就是是很難得得到估計(jì)計(jì)方差的無無偏估計(jì)計(jì)。本節(jié)節(jié)介紹幾幾種形式式相對簡簡單的估計(jì)方方法，這這些方差差估計(jì)方方法只能能進(jìn)行近近似計(jì)算而且且不同的的方法適適應(yīng)于不不同的總總體模型型。一、等概概系統(tǒng)抽抽樣的方方差估計(jì)計(jì)我們討論用估計(jì)總體均值 時的方差的估計(jì)。（一）系系統(tǒng)樣本本來自隨隨機(jī)排列列總體系統(tǒng)樣本本可視為為簡單隨隨機(jī)樣本本，從而而可用簡單隨機(jī)機(jī)抽樣下下的抽樣樣方差的的無偏估估計(jì)：（二）系系統(tǒng)樣本本分層隨隨機(jī)抽取取如果把系統(tǒng)樣本本看成從從各層抽抽取兩個個單位分分層隨機(jī)抽抽樣，可可采用以以下方法法。1。從第二二個樣本本單元開開始，每每個樣本本單元與與前一個個樣本單元元組成一一對，共共n-1對，第I對的樣本本單元的的對n-1個方差估計(jì)為進(jìn)行平均，再乘以得 的估計(jì)：2.設(shè)N為偶數(shù)，將樣本本單元按按順序兩兩兩分成成一組，共組，第I對樣本單元