2020年甘肅省天水市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第27頁（共27頁）2020年甘肅省天水市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)選出來）1．（4分）下列四個實(shí)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義、乘方的定義、絕對值的性質(zhì)及負(fù)數(shù)和正數(shù)的概念判斷可得．【解答】解：．，是正數(shù)，不符合題意；．，是正數(shù)，不符合題意；．，是正數(shù)，不符合題意；．是負(fù)數(shù)，符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義、乘方的定義、絕對值的性質(zhì)及負(fù)數(shù)和正數(shù)的概念．2．（4分）天水市某網(wǎng)店2020年父親節(jié)這天的營業(yè)額為341000元，將數(shù)341000用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3．（4分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對面上的漢字是A．文 B．羲 C．弘 D．化【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特點(diǎn)，得出相對的面，進(jìn)而得出答案．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開圖可知，“相間、端是對面”，因此“伏與化”相對，“弘與文”相對，“揚(yáng)與羲”相對，故選：．【點(diǎn)評】本題考查正方體的表面展開圖的特征，掌握正方體展開圖的對面的判定方法是正確選擇的前提．4．（4分）某小組8名學(xué)生的中考體育分?jǐn)?shù)如下：39，42，44，40，42，43，40，42．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41【分析】先將數(shù)據(jù)按照從小到大重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為39，40，40，42，42，42，43，44，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為42，中位數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．5．（4分）如圖所示，、分別與相切于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接、，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，，則利用四邊形內(nèi)角和計(jì)算出，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．【解答】解：連接、，如圖，、分別與相切于、兩點(diǎn)，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓心角定理．6．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．7．（4分）若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)和在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知，對稱軸在軸的右側(cè)可知，再由函數(shù)圖象交軸的正坐標(biāo)可知，利用排除法即可得出正確答案．【解答】解：由函數(shù)圖象交軸的正坐標(biāo)可知，反比例函數(shù)的圖象必在一、三象限，故、錯誤；據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知，對稱軸在軸的右側(cè)，，函數(shù)的圖象經(jīng)過一三四象限，故錯誤，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿高，測得，，則建筑物的高是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計(jì)算出的長，從而可以解答本題．【解答】解：，，，，，，，，，，解得，，即建筑物的高是，故選：．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（4分）若關(guān)于的不等式只有2個正整數(shù)解，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】先解不等式得出，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出，解之可得答案．【解答】解：，，則，不等式只有2個正整數(shù)解，不等式的正整數(shù)解為1、2，則，解得：，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的基本步驟和依據(jù)，并根據(jù)不等式的整數(shù)解的情況得出某一字母的不等式組．10．（4分）觀察等式：；；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件和，將按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，，，，求和，即可用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．只要求填寫最后結(jié)果）11．（4分）分解因式：．【分析】先提出公因式，再利用平方差公式即可解答．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法和公式法進(jìn)行分解因式，解決本題的關(guān)鍵是熟記提公因式法和公式法．12．（4分）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長為13．【分析】先利用因式分解法解方程，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【解答】解：，，，，三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程的根，，，三角形的第三邊長是6，該三角形的周長為：．故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．13．（4分）已知函數(shù)，則自變量的取值范圍是且．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：且，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，考慮被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．14．（4分）已知，，則的值為1．【分析】用方程減去，即可得出，進(jìn)而得出．【解答】解：①，②，②①得，解得．故答案為：1．【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵．15．（4分）如圖所示，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則的值是．【分析】如圖，連接．證明是等腰直角三角形即可解決問題．【解答】解：如圖，連接．，，，，是等腰直角三角形，，，故答案為．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．（4分）如圖所示，若用半徑為8，圓心角為的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個圓錐的底面半徑是．【分析】根據(jù)半徑為8，圓心角為的扇形弧長，等于圓錐的底面周長，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查弧長的計(jì)算方法，明確扇形的弧長與圓錐底面周長的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由正方形的中心對稱的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接、交于點(diǎn)．四邊形是正方形，，，，在與中，，，．，．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案是：．【點(diǎn)評】考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．18．（4分）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．若，則的長為2．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，然后即可得到，，然后根據(jù)題目中的條件，可以得到，再根據(jù)，和勾股定理，可以得到的長，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，，解得，，即，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題（本大題共3小題，共28分．解答時寫出必要的文字說明及演算過程）19．（8分）（1）計(jì)算：．（2）先化簡，再求值：，其中．【分析】（1）先代入三角函數(shù)值、去絕對值符號、計(jì)算零指數(shù)冪、化簡二次根式、計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算乘法、去括號，最后計(jì)算加減可得；（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將的值代入計(jì)算可得．【解答】解：（1）原式；（2）原式，當(dāng)時，原式．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．20．（10分）為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在某個小區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)．將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合圖中的信息，解決下列問題：（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為50人；（2）請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“滿意”部分的圓心角為度；（4）該興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性．請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率．【分析】（1）由非常滿意的有18人，占，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出滿意的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（3）用乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案；（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）非常滿意的有18人，占，此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)：（人；故答案為：50；（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為：（人；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“滿意”部分的圓心角為：；故答案為：；（4）畫樹狀圖得：共有12種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為：．【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形與扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（10分）如圖所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限的點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，的面積為4．（1）分別求出和的值；（2）結(jié)合圖象直接寫出中的取值范圍；（3）在軸上取點(diǎn)，使取得最大值時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)的面積為4和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定的值，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，代入可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出、的值；（2）根據(jù)圖象直接寫出的解集；（3）求出點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，根據(jù)題意直線與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，求出直線的關(guān)系式，進(jìn)而求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）的面積為4，，解得，，或（不符合題意舍去），反比例函數(shù)的關(guān)系式為，把點(diǎn)和點(diǎn)代入得，，；答：，；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為或；（3）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，又，則直線與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，設(shè)直線的關(guān)系式為，則有，解得，，直線的關(guān)系式為，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和應(yīng)用，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入是求函數(shù)關(guān)系式常用方法，作對稱點(diǎn)是求線段和或差最小值的常用方法．四、解答題（本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）22．（7分）為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達(dá)處，此時測得燈塔在北偏東方向上．（1）求的度數(shù)；（2）已知在燈塔的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：，【分析】（1）由題意得，，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）作于，則是等腰直角三角形，，設(shè)海里，求出海里，在中，由三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由題意得，，，；（2）作于，如圖：則是等腰直角三角形，，設(shè)海里，由題意得：（海里），在中，，即，解得：，且符合題意，海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全．【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用方向角問題以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、．（1）試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求陰影部分的面積（結(jié)果保留．【分析】（1）連接，求出，求出，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，求出，得出，再分別求出和扇形的面積即可．【解答】（1）證明：連接，如圖：，，平分，，，，，即，又為的半徑，直線是的切線；（2）解：設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，，解得：，，，，，，陰影部分的面積．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算、含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．24．（10分）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為．理解運(yùn)用（1）若頂角為的等腰三角形的周長為，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形中，，在邊，上分別取中點(diǎn)，，連接．若，，求線段的長．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為．（用含的式子表示）【分析】性質(zhì)探究：如圖1中，過點(diǎn)作于．解直角三角形求出（用表示）即可解決問題．理解運(yùn)用：①利用性質(zhì)探究中的結(jié)論，設(shè)，則，構(gòu)建方程求出即可解決問題．②如圖2中，連接．求出，利用三角形中位線定理解決問題即可．類比拓展：利用等腰三角形的性質(zhì)求出與的關(guān)系即可．【解答】解：性質(zhì)探究：如圖1中，過點(diǎn)作于．，，，，，，．故答案為．理解運(yùn)用：（1）設(shè)，則，由題意，，，，，，．故答案為．（2）如圖2中，連接．，，，，，，，，是頂角為的等腰三角形，，．，．類比拓展：如圖1中，過點(diǎn)作于．，，，，，．故答案為．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（10分）天水市某商店準(zhǔn)備購進(jìn)、兩種商品，種商品每件的進(jìn)價比種商品每件的進(jìn)價多20元，用2000元購進(jìn)種商品和用1200元購進(jìn)種商品的數(shù)量相同．商店將種商品每件的售價定為80元，種商品每件的售價定為45元．（1）種商品每件的進(jìn)價和種商品每件的進(jìn)價各是多少元？（2）商店計(jì)劃用不超過1560元的資金購進(jìn)、兩種商品共40件，其中種商品的數(shù)量不低于種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進(jìn)貨方案？（3）“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件種商品售價優(yōu)惠元，種商品售價不變，在（2）的條件下，請?jiān)O(shè)計(jì)出的不同取值范圍內(nèi)，銷售這40件商品獲得總利潤最大的進(jìn)貨方案．【分析】（1）設(shè)種商品每件的進(jìn)價是元，根據(jù)用2000元購進(jìn)種商品和用1200元購進(jìn)種商品的數(shù)量相同，列分式方程，解出可得結(jié)論；（2）設(shè)購買種商品件，根據(jù)用不超過1560元的資金購進(jìn)、兩種商品共40件，種商品的數(shù)量不低于種商品數(shù)量的一半，列不等式組，解出取正整數(shù)可得結(jié)論；（3）設(shè)銷售、兩種商品共獲利元，根據(jù)商品的利潤商品的利潤，根據(jù)的值及一次函數(shù)的增減性可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)種商品每件的進(jìn)價是元，則種商品每件的進(jìn)價是元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：種商品每件的進(jìn)價是50元，種商品每件的進(jìn)價是30元；（2）設(shè)購買種商品件，則購買商品件，由題意得：，解得，為正整數(shù)，、15、16、17、18，商店共有5種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)銷售、兩種商品共獲利元，由題意得：，①當(dāng)時，，隨的增大而增大，當(dāng)時，獲利最大，即買18件商品，22件商品，②當(dāng)時，，與的值無關(guān)，即（2）問中所有進(jìn)貨方案獲利相同，③當(dāng)時，，隨的增大而減小，當(dāng)時，獲利最大，即買14件商品，26件商品．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程和一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程可不等式組求解，分式方程要注意檢驗(yàn)．26．（13分）如圖所示，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸為直線．點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)