2023年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試卷

2023年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試卷題號一二三合計(jì)〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕得分評卷員考生注意：⒈用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；⒉不準(zhǔn)使用計(jì)算器；⒊考試用時(shí)120分鐘，全卷總分值150分．一、選擇題：本大題共4小題，每題6分，共24分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．請將正確選項(xiàng)前的字母代號填在該小題后的括號內(nèi)．1．假設(shè)集合有4個(gè)子集，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．RC．RD．且R2函數(shù)那么等于()A．B．C．D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、，那么三棱錐的體積是〔〕A．2B．3C．6D．104.直線與圓R有交點(diǎn),那么的最小值是()A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每題6分，共36分．把答案填在題中橫線上．5.△的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為,假設(shè),那么.6．直角梯形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，那么實(shí)數(shù)的值是.7.在數(shù)列中，＝2，N，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么的值為.8．三點(diǎn)在同一條直線上，為直線外一點(diǎn)，假設(shè)0，R，那么.9．一個(gè)非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對，如果在做的加法時(shí)不用進(jìn)位，那么稱為“奧運(yùn)數(shù)對〞，稱為“奧運(yùn)數(shù)對〞的和，那么和為的“奧運(yùn)數(shù)對〞的個(gè)數(shù)有___________個(gè).10.如圖1所示,函數(shù)的圖象是圓心在點(diǎn),半徑為1的兩段圓弧,那么不等式的解集是.三、解答題：本大題共5小題，共90分．要求寫出解答過程．圖111．〔本小題總分值15分〕函數(shù)(R，)的局部圖象如圖2所示．(1)求的值；〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．圖212．〔本小題總分值15分〕如圖3所示,在三棱柱中,底面，.〔1〕假設(shè)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)請根據(jù)以下要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體.簡單地寫出一種切割和拼接方法，并寫出拼接后的長方體的外表積〔不必計(jì)算過程〕.圖313．〔本小題總分值20分〕點(diǎn)，是橢圓：上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.〔1〕求直線的方程；〔2〕假設(shè)線段的垂直平分線與橢圓交于點(diǎn)、，試問四點(diǎn)、、、是否在同一個(gè)圓上，假設(shè)是，求出該圓的方程；假設(shè)不是，請說明理由.14．〔本小題總分值20分〕在數(shù)列中，，(R,R且0,N).〔1〕假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，求與滿足的條件；〔2〕當(dāng)，時(shí)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動，從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，第1次向右運(yùn)動，第2次向上運(yùn)動，第3次向左運(yùn)動，第4次向下運(yùn)動，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運(yùn)動，設(shè)第次運(yùn)動的位移是，第次運(yùn)動后，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn),求數(shù)列的前項(xiàng)和.15．〔本小題總分值20分〕函數(shù)R，且.〔1〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；〔2〕當(dāng)且時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2023年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽參考答案一、選擇題：本大題共4小題，每題6分，共24分．1．D2．C3．A4．B二、填空題：本大題共6小題，每題6分，共36分．5．6．7．8．09．2710．三、解答題：本大題共5小題，共90分．要求寫出解答過程．11．〔本小題總分值15分〕解：(1)由圖象可知函數(shù)的周期為()=，∴．函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴且.∴解得：.∴.〔2〕由〔1〕得.當(dāng)時(shí)，，得.令，那么.故關(guān)于的方程在內(nèi)有解等價(jià)于關(guān)于的方程在上有解.由，得.，∴.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.12．〔本小題總分值15分〕〔1〕證法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得、.∴，，.∴.∴.平面，平面，.∴平面.證法二：連結(jié)，底面，平面，∴.，分別為棱的中點(diǎn)，∴.，∴Rt△Rt△.∴.,∴.∴.∴，∴平面.∴.，∴平面.平面，∴.同理可證.，∴平面.〔2〕切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體〔該長方體的一個(gè)底面為長方形如圖①所示，〕，此時(shí)所拼接成的長方體的外表積為16.圖甲圖①切割拼接方法二：如圖乙所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，以四點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體〔該長方體的一個(gè)底面為正方形〕，此時(shí)所拼接成的長方體的外表積為.圖乙圖②13．〔本小題總分值20分〕解一：〔1〕點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，∴，.以上兩式相減得：，即，，∵線段的中點(diǎn)為，∴.∴，當(dāng)，由上式知，那么重合，與矛盾，因此，∴.∴直線的方程為，即.由消去，得，解得或.∴所求直線的方程為.解二:當(dāng)直線的不存在時(shí),的中點(diǎn)在軸上,不符合題意.故可設(shè)直線的方程為,.由消去，得(*).的中點(diǎn)為,..解得.此時(shí)方程(*)為,其判別式.∴所求直線的方程為.〔2〕由于直線的方程為，那么線段的垂直平分線的方程為，即.由得，由消去得，設(shè)那么.∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).∴.∴.∵，，∴四點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)，半徑為，其方程為.14．〔本小題總分值20分〕解:〔1〕，，0，①當(dāng)時(shí)，，顯然是等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，.數(shù)列是等比數(shù)列，∴，即，化簡得.此時(shí)有，得，由，0,得〔N)，那么數(shù)列是等比數(shù)列.綜上，與滿足的條件為或〔〕.〔2〕當(dāng)，時(shí)，∵，∴，依題意得：，，…，∴.∴.∴.∴.令①②①-②得.∴.∴.15．〔本小題總分值20分〕解：〔1〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域是，∴.函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有無窮多個(gè)解.∴關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，關(guān)于的不等式在上總有無窮多個(gè)解.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為.要使關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.必須，解得，此時(shí).綜上所述，的取值范圍為.另解：別離系數(shù)：不等式在上有無窮多個(gè)解，那么關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解，∴，即，而.∴的取值范圍為.〔2〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域是，∴.令，得，即，，