導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題及答案導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題及答案16/16導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題及答案導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)題答案1.以下函數(shù)在給定區(qū)間上能否知足羅爾定理的全部條件？如知足，懇求出定理中的數(shù)值。(1)f(x)2x2x3[1,1.5]；(2)f(x)1[2,2]；1x2(3)f(x)x3x[0,3]；(4)f(x)ex21[1,1]解：(1)f(x)2x2x3[1,1.5]該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)4x1，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且f(1)0，f(1.5)0，知足羅爾定理，最罕有一點(diǎn)(1,1.5)，使f( )410，解出1。4解：(2)f(x)1[2,2]1x2該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)2x，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且f(2)x2)2(1知足羅爾定理，最罕有一點(diǎn)(2,2)，使f( )20，解出0。2)2(1

11，f(2)，55解：(3)f(x)x3x[0,3]該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)3x，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且f(0)0，x2x3f(3)0，知足羅爾定理，最罕有一點(diǎn)(0,3)，使f()3230，解出2。解：(4)f(x)ex21[1,1]該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)2xex2，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且f(1)e1，f(1)e1，，使f( )2e20。知足羅爾定理，最罕有一點(diǎn)0，解出2.以下函數(shù)在給定地區(qū)上能否知足拉格朗日定理的全部條件？如知足，懇求出定理中的數(shù)值。(1)f(x)x3[0,a](a0)；(2)f(x)lnx[1,2]；(3)f(x)x35x2x2[1,0]解：(1)f(x)x3[0,a](a0)該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)3x2，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，知足拉格朗日定理?xiàng)l件，最罕有一點(diǎn)(0,a)，使f(a)f(0)f()(a0)，即a3032(a0)，解出a。3解：(2)f(x)lnx[1,2]該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)1，即在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，知足拉格朗日定理?xiàng)l件，最罕有x一點(diǎn)(1,2)，使f(2)f(1)f()(21)，即ln2ln11(21)，解出1。ln2解：(3)f(x)x35x2x2[1,0]該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為f(x)3x210x1，即在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，知足拉格朗日定理?xiàng)l件，最罕有一點(diǎn)(1,0)，使f(0)f(1)f()(01)，即2(9)(32101)(01)，解出543。3不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)答案：有三個(gè)根，分別在

f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)實(shí)根及根所在的范圍。(1,2),(2,3),(3,4)4證明：當(dāng)x1時(shí)，恒等式2arctanxarcsin2x建立1x2證：設(shè)F(x)2arctanxarcsin2x1x2當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)連續(xù)，當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)可導(dǎo)且F(x)212(1x2)2x2x220(1x2)21x21x21x21(2x2)21x即當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)C，即F(x)F(1)224故當(dāng)x1時(shí)，2arctanxarcsin2x1x25設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)0，證明在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使cf(c)2f(c)f(c)．證明：令F(x)(x1)2f(x)，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且因f(0)0，則F(0)0F(1)即F(x)在[0,1]上知足羅爾定理的條件，則最少存在c(0,1)使F(c)0又F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)，即2(c1)f(c)(c1)2f(c)0而c(0,1)，得cf(c)2f(c)f(c)6.已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)1,f(1)0，證明在(0,1)內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使得f( )f( )．證明：令F(x)xf(x)，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)0F(1)即F(x)在[0,1]上知足羅爾定理的條件，則最少存在(0,1)使F( )0又F(x)f(x)xf(x)，即f( )f( )0，故f( )f( )．7.證明不等式：sinxsinxxx2121證明：設(shè)函數(shù)f(x)sinx，，x1,x2R，不如設(shè)x1x2，該函數(shù)在區(qū)間[x1,x2]上連續(xù)，在(x1,x2)上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有f(x2)f(x1)f( )(x2x1)，(x1x2)即sinx2sinx1cos(x2x1)，故sinx2sinx1cos(x2x1)，因?yàn)閏os1，所以有sinx2sinx1x2x18.證明不等式：nbn1(ab)anbnnan1(ab)(n1,ab0)證明：設(shè)函數(shù)f(x)xn，在[b,a]上連續(xù)，在(b,a)內(nèi)可導(dǎo)，知足拉格朗日定理?xiàng)l件，故anbnnn1(ab)，此中0ba，所以bn1n1an1有nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)利用洛必達(dá)法例求以下極限：(1)limexex；x0x解：limexexlimex+ex2x0xx01(2)limlnx；x1x1lnx1解：limlimx1x1x1x11(3)limx33x22；x1x3x2x1x33x223x26x解：lim3x2x1lim22x1x1xx13xln(x)(4)lim2；tanx21ln(x)x22cosx(sinx)解：lim2lim2limcosxlim0tanx1x1xxxx22cos2x222(5)limxn0,n為正整數(shù)）eax(ax解：limxnlimnxn1limn!0axaeaxanaxxexxe(6)limxmlnx(m0)；x0lnx1xm解：limxmlnxlimxlim0limmxm1mx0x0xmx0x0(7)lim(11)；x0xex1解：lim(1ex1)limex1xlimex1limexxexlim11x0x1x0x(ex1)x0ex1xexx0exexx02x21(8)lim(1sinx)x；x011sinx解：lim(1sinx)xlim(1sinx)sinxxex0x0limxsinx；0lnx1sin2xsinxsinxsinxlimsinxlnxlimlimxlimlim01x2xcosx解：limxx0ex0sinx0sinex0xcosxx0xcosxeeee1x0ln(1kx)x0，若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，求k與f(0)的值。10.設(shè)函數(shù)f(x)x1x0解：因?yàn)楹瘮?shù)在x0處可導(dǎo)，所以函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，由連續(xù)的見(jiàn)解有l(wèi)imln(1kx)limkxkf(0)1，即k1x0xx0x按導(dǎo)數(shù)定義有f(x)f(0)ln(1x)1ln(1x)x11111f(0)limlimxlimlimxlimx0xx22xx)2x0x0x0x0x02(11cosxx0x211.設(shè)函數(shù)f(x)kx0，當(dāng)k為什么值時(shí)，f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。11x0xex1解：函數(shù)連續(xù)定義，limf(x)limf(x)f(0)，x0x0limf(x)lim(111)limex1xlimexex1limexexxexlim11x0x0xexx0x(ex1)x01xexx0exx02x2limf(x)1cosx1f(0)klimf(x)1limx2，而；x0x02x021時(shí)，函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。即當(dāng)k2求以下函數(shù)的單一增減區(qū)間：(1)y3x26x5；解：y6x60，有駐點(diǎn)x1，因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)

1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一減少；1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一增添；(3)yx42x22；解：y4x34x4x(x21)，令y0，有x0,x1,x1，當(dāng)x1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一較少；當(dāng)1x0時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一增添；當(dāng)0x1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一較少；當(dāng)x1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一增添(3)yx21；x解：y2x(1x)x22xx2，令y0，有x0,x2，其余有原函數(shù)知x1，(1x)2(1x)2當(dāng)x2時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一增添；當(dāng)2x1時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一減少；當(dāng)1x0時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一減少；當(dāng)x0時(shí)，y0，此時(shí)函數(shù)單一增添；13.證明函數(shù)yxln(1x2)單一增添。證明：y12x(1x)20，x21x21等號(hào)僅在x1建立，所以函數(shù)yxln(1x2)在定義區(qū)間上為單一增添。14.證明函數(shù)ysinxx單一減少。解：ycosx10，等號(hào)僅在孤立點(diǎn)x2n(n0,1,2LL)建立，所以函數(shù)ysinxx在定義域內(nèi)為單一減少。15.證明不等式：2x31(x0,x1)x證明：設(shè)f(x)2x311時(shí)，f(1)0，且f(x)11xx1，，在xxx2x2x當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)單一增添，所以f(x)f(1)0；當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)單一減少，所以f(x)f(1)0；1所以對(duì)全部x0，且x1，都有f(x)0，即2x3(x0,x1)x16.證明：當(dāng)

x

0時(shí)，

ex

1x解：設(shè)

f(x)

ex

1

xf(x)

ex

1，當(dāng)

x

0,f

(x)

0

f(x)

,所以

x

0,f(x)

f(0)

0所以x0,ex1x當(dāng)x0,f(x)0f(x),所以x0,f(x)f(0)0所以x0,ex1xx0,ex1x.17.證明：當(dāng)x0時(shí)，ln(1x)x1x解：設(shè)()ln(1)xfxx1xf(x)11x，當(dāng)x0,f(x)0f(x),1x(1x)2(1x)2所以x0,f(x)f(0)0，即x0,ln(1x)xx118.證明方程x33x10在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。證明：令f(x)x33x1，f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)1,f(1)1,由零點(diǎn)定理存在(0,1)，使f( )0，所以是方程x33x10在(0,1)內(nèi)的一個(gè)根。又因?yàn)閒(x)3x233(x21)，當(dāng)x(0,1)時(shí)f(x)0，函數(shù)單一遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)f()0，當(dāng)x時(shí)，f(x)f()0，所以在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根或用羅爾定理證明只有一個(gè)實(shí)根。求以下函數(shù)的極值：(1)yx33x27；解：y3x26x3x(x2)，令y3x26x3x(x2)0，解出駐點(diǎn)為x0;x2，函數(shù)在定義域內(nèi)的單一性與極值見(jiàn)圖表所示：x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)單一增添極大7單一減小極小3單一增添2010f(x)210123410x2x(2)y；1x2解：y2(1x)(1x)，駐點(diǎn)為x1,x1，函數(shù)的單一性與極值見(jiàn)表(1x2)2x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)極小極大f(x)單一減小1單一增添1單一減少f(x)42f(x)42(3)yx2ex；解：yex(2)，駐點(diǎn)為x0,x2，xx二階導(dǎo)數(shù)為yex(x24x2)，明顯y(0)2,y(2)2x00，在x2處取極大值4。2，函數(shù)在點(diǎn)取極小值2ee

2211024102412x2x21.51f(x)0.510123x(4)y33(x2)2；2，函數(shù)在x2處不能夠?qū)?，以此點(diǎn)為界區(qū)分區(qū)間并給出函數(shù)單一性與極值。解：y13(x2)3x(,2)2(2,)f(x)不存在f(x)單一增添極大3單一減少

3f(x)2.5g(x)211.5012345x(5)y(x1)3x2；y5x220，函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的單一性見(jiàn)表格所解：函數(shù)導(dǎo)數(shù)為1，解出駐點(diǎn)為x，不能夠?qū)c(diǎn)為x3x35示。x(,0)0(0,2)2(2,)555f(x)不存在0f(x)單一增添極大0單一減少極小單一增添332025(6)yx3(x1)2解：yx2(x3)，駐點(diǎn)為x0,x3，不能夠?qū)c(diǎn)為x1，區(qū)分區(qū)間并判斷增減性與極值(x1)3x(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)f(x)00極小無(wú)極f(x)單一增添單一增添單一減少27單一增添值4100f(x)502101234x20.設(shè)yln(1x2)，求函數(shù)的極值，曲線的拐點(diǎn)。2x0，解出x0，x0,y0,y解：yx21x0,y0,y，極小值f(0)02(1x2)0，解出x1，yx2)2(1x(,1)1(1,1)1(1,)y0+0y凸ln2凹ln2凸拐點(diǎn)(1,ln2),(1,ln2)利用二階導(dǎo)數(shù)，判斷以下函數(shù)的極值：(1)y(x3)2(x2)；解：y(3x7)(x3)，y2(3x8)，駐點(diǎn)：x73，，x3yx73

20，所以在x7點(diǎn)函數(shù)取極大值4；327yx320，所以在x3點(diǎn)函數(shù)取極小值0；(2)y2exex解：y2e2x1，y2exex，駐點(diǎn)為xln2，ex2因?yàn)閥220，所以在xln222。x1ln2處函數(shù)獲得極小值2222.曲線yax3bx2cxd過(guò)原點(diǎn)，在點(diǎn)(1,1)處有水平切線，且點(diǎn)(1,1)是該曲線的拐點(diǎn)，求a,b,c,d解：因?yàn)榍€yax3bx2cxd過(guò)原點(diǎn)，有d0，在點(diǎn)(1,1)處有水平切線，f(1)3a2bc0，點(diǎn)(1,1)是該曲線的拐點(diǎn)，f(x)6ax2b，f(1)6a2b0，又因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在曲線上，abcd1聯(lián)立方程組解出a1,b3,c3,d0求以下函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：(1)yx42x25[2,2]；解：y4x34x4x(x1)(x1)，令y0，得駐點(diǎn)為x0,x1,x1，計(jì)算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)地方有的函數(shù)值為y(2)13,y(1)4,y(0)5,y(1)4,y(2)13，比較上述函數(shù)值，知最大值為y(2)y(2)13；最小值為y(1)y(1)4。(2)yln(x21)[1,2]；解：y2x，令y0，得駐點(diǎn)為x0，計(jì)算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)地方有的函數(shù)值為x21y(1)ln2,y(0)0,y(2)ln5，比較上述函數(shù)值，知最大值為y(2)ln5；最小值為y(0)0(3)yx2[1,1]；1x2解：y(x2)x，令y0，得駐點(diǎn)為x0,x2，計(jì)算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)地方有的函數(shù)值為(x1)2y(2)4,y(0)0,y(1)1,y(1)1，比較上述函數(shù)值，222知最大值為y(1y(1)1；最小值為y(0)0。)22(4)yxx[0,4]2x1y(0)0,y(4)6，解：y0，函數(shù)單一增添，計(jì)算端點(diǎn)處函數(shù)值為2x知最大值為y(4)6；最小值為y(0)024.已知函數(shù)f(x)ax36ax2b(a0)，在區(qū)間[1,2]上的最大值為3，最小值為29，求a,b的值。解：f(x)3ax212ax，令f(x)3ax212ax3ax(x4)0，解出駐點(diǎn)為x0,x（4舍），且f(1)b7a，f(0)b，f(2)b16a因?yàn)閍0，所以f(0)f(1)f(2)故f(0)b3為最大值，f(2)b16a為最小值，即f(2)b16a29，解出a2。25.欲做一個(gè)底為正方形，容積為108m3的長(zhǎng)方體張口容器，如何做所用資料最??？解：設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為x，高為h，則表面積為Sx24xh，又體積為Vx2h，有hVx2得Sx24Vx2432，dS2x4320，解出x6，h3xxdxx2即取底面邊長(zhǎng)為6，高為3時(shí)，做成的容器表面積最大。欲用圍墻圍成面積為216m2的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬采納多大的尺寸，才能使所用建筑資料最省？解：所用的建筑資料為L(zhǎng)3x2y，此中面積xy216，所以有L3x432，xdL4320，解出x12，即當(dāng)取寬為x12米，長(zhǎng)為y18米時(shí)所用建筑資料最省。3x2dx某廠生產(chǎn)某種商品，其年銷(xiāo)量為100萬(wàn)件，每批生產(chǎn)需增添準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件的庫(kù)存費(fèi)為0.05元，假如年銷(xiāo)售率是均勻的，且上批銷(xiāo)售達(dá)成后，立刻重生產(chǎn)下一批（此時(shí)商品庫(kù)存數(shù)為批量的一半），問(wèn)應(yīng)分幾批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫(kù)存費(fèi)之和最小？解：設(shè)100萬(wàn)件分x批生產(chǎn)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫(kù)存費(fèi)之和為y，則y1000x10000000.051000x25000，2xxy1000250000，解出x5，x2問(wèn)5批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫(kù)存費(fèi)之和最小。確立以下曲線的凹向與拐點(diǎn)：(1)yx2x3；解：y2x3x2,y26x，令y0,x13x(111,)(,)333f(x)0f(x)2凹27凸小(2)yln(1x2)；2x22x2令y0,x1解：y2,y22，1x(1x)x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)凸ln2凹ln2凸拐點(diǎn)拐點(diǎn)1(3)yx3；22x解：y1x3,y39xy1x2；

523令y不存在點(diǎn),x0，3x5x(,0)0(0,)f(x)不存在f(x)凹0凸拐點(diǎn)解：y22x2,y4x(x23)，(1x2)2(1x2)3令y0,x0,x3x(,3)3(3,0)0(0,3)3(3,)f(x)000f(x)3凹0凸3凹凸2拐點(diǎn)2拐點(diǎn)拐點(diǎn)(5)yxex；解：yex(1+),yex(2+x)，令y0,x=2xx(,2)2(2,)f(x)0f(x)2凸e2凹拐點(diǎn)(6)yex解：yex,yex0，所以yex在(,)內(nèi)是凹的，無(wú)拐點(diǎn)。某化工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日的生產(chǎn)總成本C（單位：元）是日產(chǎn)量x（單位：噸）的函數(shù)：CC(x)10007x50xx[0,1000]（1）求當(dāng)天產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊沿成本；（2）求當(dāng)天產(chǎn)量為100噸時(shí)的均勻單位成本。解：（1）邊沿成本C(x)725725，C(100)9.5x10（2）均勻單位成本AC(x)C(x)1000750C(100)100050xx，AC(100)100722x1001030.生產(chǎn)x單位某產(chǎn)品的總成本C為x的函數(shù)：CC(x)11001x2，求（1）生產(chǎn)900單位時(shí)的總1200成本和均勻單位成本；（2）生產(chǎn)900單位到1000單位時(shí)的總成本的均勻變化率；（3）生產(chǎn)900單位和1000單位時(shí)的邊沿成本。解：（1）C(900)1100190021775，1200C(900)17751.97900900（2）C(1000)C(900)1.581000900x（3）邊沿成本為C(x)，6009001000C(900)1.5,C(1000)1.6760060031．設(shè)生產(chǎn)x單位某產(chǎn)品，總利潤(rùn)R為x的函數(shù)：RR(x)200x0.01x2，求：生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的總利潤(rùn)、均勻利潤(rùn)和邊沿利潤(rùn)。解：總利潤(rùn)R(50)200500.0125009975，均勻利潤(rùn)R(x)2000.01x，R(50)2000.0150199.5，x50邊沿利潤(rùn)R(x)2000.02x，R(50)2000.025019932.生產(chǎn)x單位某種商品的利潤(rùn)是x的函數(shù)：L(x)5000x0.00001x2，問(wèn)生產(chǎn)多少單位時(shí)獲得的利潤(rùn)最大？解：L(x)10.00002x=0，解出x50000因今生產(chǎn)50000個(gè)單位時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？33.某廠每批生產(chǎn)某種商品x單位的開(kāi)銷(xiāo)為C(x)5x200，獲得的利潤(rùn)是R(x)10x0.01x2，問(wèn)每批生產(chǎn)多少單位時(shí)才能使利潤(rùn)最大？解：L(x)R(x)C(x)5x0.01x2200，令L(x)50.02x=0，解出x250所以每批生產(chǎn)250個(gè)單位時(shí)才能使利潤(rùn)最大。34.某商品的價(jià)錢(qián)P與需求量Q的關(guān)系為P10Q120及30時(shí)的總利潤(rùn)R、均勻5利潤(rùn)R及邊沿利潤(rùn)R；（2）Q為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？解：總利潤(rùn)函數(shù)R(Q)PQ(10Q)Q=10QQ255均勻利潤(rùn)函數(shù)R(Q)R(Q)10Q，Q5邊沿利潤(rùn)函數(shù)R(Q)=102Q5，（1）R(20)200400=120,R(30)300900=120，55R(20)R(20)1020=6,R(30)R(30)1030=4，20530540602,R(20)=10=2,R(30)=10=55(2)R(Q)=102Q=0,解出Q=25時(shí)總利潤(rùn)最大。535.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，日總成本為C元，此中固定成本為200元，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增添10元。該商品的需求函數(shù)為Q502P，求Q為多少時(shí)，工廠日總利潤(rùn)L最大？解：成本函數(shù)CC(Q)20010Q，L(Q)PQC(Q)50Q(20010Q)Q2200，2Q15Q2令L(Q)15Q=0，解得Q=15，所以Q=15，總利潤(rùn)L最大。高二數(shù)學(xué)（文）選修1-1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用回扣練習(xí)一、選擇題1．以下求導(dǎo)運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）A、(x1)11B、(log2￠1x2x3x)=xln2C、(x2Dx￠x￠、(3)=3log3ecosx)=-2xsinx2、