高中數(shù)學(xué)第四屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩大賽 兩角差的余弦公式教案 必修4

課：角的弦式三目：知目：通過(guò)讓學(xué)生猜想、探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式單與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)變式訓(xùn)練，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解；培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。能目：運(yùn)用兩角差的余弦公式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)的求值、化簡(jiǎn)、證明；體會(huì)化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，使學(xué)生樹(shù)立聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點(diǎn)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。情目：本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，使學(xué)生驗(yàn)科學(xué)探索的過(guò)程，感受科學(xué)探索的樂(lè)趣，激勵(lì)科學(xué)探索的勇氣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和良好的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。重難：教重：通過(guò)探究得到兩角差的余弦公式教難：探索過(guò)程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。教過(guò)：一走生引入同們?cè)诘谝徽挛覀儗W(xué)了同角三角函數(shù)式的變換天我們將一起探

生究一種包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式的變換角差的余弦公式讓我們走入生活看活實(shí)一個(gè)例子：

例引例所示,一個(gè)斜坡的高為6m,坡的水平長(zhǎng)度為8m,已作用在物體上的力入體F與水平方向的夾角為60°,且小為10N,在力F的用下物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了m,現(xiàn)數(shù)求力F作在物體上的功W．解：W=

)

F

S

學(xué)與實(shí)際=30

cos(60

．

6m

生活的聯(lián)提問(wèn)：、決問(wèn)題需要求什?

系，增2、你能找到哪些與關(guān)條?

8m

強(qiáng)學(xué)3、能否利用這些條件求出

c

？如果能，提出你的猜想．

生的4、怎樣檢驗(yàn)這些猜想是否正確？二合探

應(yīng)用意識(shí)，

1scs1scs從特殊情況去猜測(cè)公式的結(jié)構(gòu)形式．

激發(fā)令

學(xué)生令

2

,則

2

的學(xué)習(xí)熱分析：可見(jiàn)，我們的公式的形式應(yīng)該與

cos

in

均有關(guān)系？他

情，同們之間存在怎樣的代數(shù)關(guān)系呢？會(huì)不會(huì)是“＋下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜想．用具體值檢驗(yàn)猜想的合理性．

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)時(shí)也讓學(xué)生體令

30cos(cos(120900

會(huì)數(shù)三角函數(shù)

cos30

sin120

sin30

學(xué)知識(shí)的三角函數(shù)值

12

12

產(chǎn)生、學(xué)生再舉特例進(jìn)行驗(yàn)證抒見(jiàn)）利用幾何畫(huà)板，對(duì)更多的情況加以驗(yàn)證。

發(fā)展過(guò)程．三提猜：

cos(cos

師：要讓猜想更有說(shuō)服力，我們還要進(jìn)行理論證明．四理證：引導(dǎo)探究研三角函數(shù)問(wèn)題我常用的一種方法就是利用單位圓在單位圓中，角的余弦值可用余弦線(xiàn)來(lái)表示．

鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)我們先來(lái)討論最簡(jiǎn)單的情況：

y1

P

揮想為角且方法一用角函數(shù)線(xiàn)）證明：在單位圓中作OX1

，

AiC

P

象力，大膽猜測(cè)，交單位圓于點(diǎn)，POP，1

然后OBM1x再去則

．過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于，

于A1

，過(guò)點(diǎn)

驗(yàn)證點(diǎn)A作OM于點(diǎn)

，過(guò)點(diǎn)

P作PC于點(diǎn)

，則：

其合理性，cos

，

AP，1

(cos(cos增強(qiáng)OMOBBMOBCP

sin

cos

sin

學(xué)生探索∴

cos(cos銳角，且

）

問(wèn)題、方法小結(jié)：在整個(gè)證明過(guò)程中，我們通過(guò)幾何的手段，得到了一個(gè)代數(shù)公式，這挑戰(zhàn)運(yùn)用到了在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中一種重要的思想方法：數(shù)形結(jié)合．

困難提問(wèn)：

取任意角的時(shí)候，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？（展示下一張幻燈片

的勇思考一下學(xué)思考的時(shí)間要求學(xué)生說(shuō)出自己的思考結(jié)果．若學(xué)生說(shuō)出來(lái)要給予及時(shí)的肯定，若沒(méi)能說(shuō)出則作為課后思考作業(yè)方法二用量）啟發(fā)思考我來(lái)仔細(xì)觀察猜想結(jié)構(gòu)式的左邊是差角的余弦們?cè)谑裁?/p>

氣．依地方見(jiàn)到過(guò)類(lèi)似結(jié)構(gòu)？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法）（學(xué)生：向量的數(shù)量積

A

y1

B

(cos

,sin

據(jù)特殊情況進(jìn)行猜-1

0

1

x

想往往是人們-1證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作位圓，以O(shè)x為始邊作角邊與單位圓O的點(diǎn)分別為A、B，則：

，它們終

探索問(wèn)題的第OA=

，OB=(cos

,sin

一步．

OAOA|

(cos

,sin

)(cos

,sin

鼓=

勵(lì)學(xué)∴

cos(=cos

cos

sin

（0≤）

生對(duì)方法小結(jié)對(duì)比一下兩種證明方認(rèn)為哪種更簡(jiǎn)單？向量在我們數(shù)學(xué)探究過(guò)程中是一種非常簡(jiǎn)潔有效的工具后的學(xué)習(xí)中我們還將繼續(xù)領(lǐng)悟向量在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中的魅力！

各種可能的情

思考：、兩量的夾角，有沒(méi)有限制條件？

況進(jìn)2、如果

不在［０，

］這個(gè)區(qū)間內(nèi)，我們的結(jié)論還會(huì)成立嗎？怎

行探樣給出證明？（展示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生找到間的關(guān)系）推廣完善：令、OB的角，

索，培養(yǎng)他們的①當(dāng)

時(shí)，則

交流cos(cossin

合作意識(shí)，②當(dāng)

時(shí)，則存在

k、mZ，使得

在探

索的過(guò)程無(wú)論哪種情況，都有

中獲即os(sin

得成小結(jié)：兩角差的余弦公式：

cos(

cos

sin

sin

就感．（其中

任意角，簡(jiǎn)記為

C

(

）

引思考：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下公式的結(jié)構(gòu)，說(shuō)說(shuō)公式的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？應(yīng)怎導(dǎo)學(xué)樣記憶？（對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)肯定）五知運(yùn)1、解決引例中的問(wèn)題．

生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的2、學(xué)以致用：已知

sin

4,,52

是第三象限角，

思想求．（運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍）

給出證明．3、公的逆用求4、拓廣延伸：已知in

cos45,(0,cos513

是第三象限角，

加強(qiáng)新舊知求

cos(

（此題根據(jù)學(xué)生的接受情況，作為后備練習(xí)）

識(shí)的

10105、公式活用：

111,,且，求714

．

聯(lián)系．（此題根據(jù)學(xué)生的接受情況，作為后備練習(xí)）六回總師：我們一起來(lái)回顧總結(jié)一下今天這節(jié)課的收獲．1、公式探究的一般步驟：特殊→猜想→證明2、在運(yùn)用兩角差的余弦公式時(shí)注意：（1）根據(jù)角的范圍，確定兩角、余弦值的正、負(fù)．（2）適當(dāng)逆用公式，可達(dá)到化計(jì)算的目的．（3）靈活選取兩角的形式，活公式．七課后考

使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)適當(dāng)變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取

，你能得到哪些結(jié)

識(shí)．論？八作：必做：2、3、4選做：sin

4cos,5

讓學(xué)生求

)

經(jīng)歷用向量知識(shí)解出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)

向量方法的作用．統(tǒng)一對(duì)“恒等”要求的認(rèn)識(shí)．運(yùn)用分類(lèi)討論思

想．要求學(xué)生對(duì)公式的形式加以分