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文檔簡介
17.1勾股定理(1)第1頁相傳25前,畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時,發(fā)覺朋友家用磚鋪成地面圖案反應了直角三角形三邊某種數(shù)量關(guān)系.
我們也來觀察右圖中地面圖案,看看能發(fā)覺些什么?重溫偉大發(fā)覺第2頁(圖中每一格代表一平方厘米)觀察左圖:(1)正方形P面積是
平方厘米。(2)正方形Q面積是
平方厘米。(3)正方形R面積是
平方厘米。121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2重溫偉大發(fā)覺上面三個正方形面積之間有什么關(guān)系?上面三角形ABC三邊之間有什么關(guān)系?第3頁ABCRQP把R看作是大正方形面積減去四個直角三角形面積。(圖中每一格代表一平方厘米)重溫偉大發(fā)覺第4頁ABCRQP把R看作是小正方形面積加上四個直角三角形面積。(圖中每一格代表一平方厘米)重溫偉大發(fā)覺第5頁ABCRQP(圖中每一格代表一平方厘米)觀察左圖:(1)正方形P面積是
平方厘米。(2)正方形Q面積是
平方厘米。(3)正方形R面積是
平方厘米。9方法二1625(1)你能用直角三角形邊長表示上述正方形面積嗎?(2)你能發(fā)覺直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎?SQ=AC2,SP=BC2,SR=AB2方法一AC2+BC2=AB2SQ+SP=SR重溫偉大發(fā)覺第6頁
在下列圖中用三角尺畫出兩條直角邊分別為5cm、12cm直角三角形,然后用刻度尺量出斜邊長,并驗證上述關(guān)系對這個直角三角形是否成立。52+122=132重溫偉大發(fā)覺第7頁勾股定理:直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方。ABC在ABC中,C=90AC2+BC2=AB2abc(a2+b2=c2)勾股弦在西方又稱為畢達哥拉斯定理……勾股定理ABCabc注意:勾股定理前提條件是直角三角形!!勾股定理背景資料第8頁勾股定理是“人類最偉大十個科學發(fā)覺之一”,是初等幾何中一個基本定理。勾股定理別稱有:畢達哥拉斯定理,商高定理,百牛定理,驢橋定理和埃及三角形等。這個定理有十分悠久歷史,幾乎全部文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究。
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前572?~公元前497?)于公元前550年首先發(fā)覺。中國古代對這一數(shù)學定理發(fā)覺和應用,遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早一部數(shù)學著作——《周髀算經(jīng)》開頭,記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識對話。周公與商高對話則能夠確定在公元前11左右西周時期,比畢達哥拉斯要早了五百多年。勾股定理歷史第9頁abc中國最早對勾股定理進行證實,是三國時期吳國數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”(左圖),用形數(shù)結(jié)合得到方法,給出了勾股定理詳細證實。趙爽這個證實可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識。這個圖也被后人稱為“趙爽弦圖”。大正方形面積能夠表示為:所以:化簡得:八年級下冊勾股定理證實在北京召開國際數(shù)學家大會(ICM-)會標,其圖案正是“弦圖”,它標志著中國古代數(shù)學成就.第10頁aaabbbccc大正方形面積能夠表示為:你能經(jīng)過下列圖證實勾股定理嗎?abc所以:化簡得:八年級下冊勾股定理證實第11頁加菲爾德證法(總統(tǒng)證法):aabbcc
s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)=a2+ab+b2s梯形=2×ab+c2=ab+c2∵s梯形=s梯形
∴a2+ab+b2=ab+c2
∴a2+b2=c2詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德
(1831~1881)
美國政治家、數(shù)學家,美國共和黨人,美國第20任總統(tǒng).他在數(shù)學方面貢獻主要是在勾股定理證實方面新成就,他也是美國歷史上唯一一位數(shù)學家出身總統(tǒng)。勾股定理證實第12頁前面我們利用面積法得到:即直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方CcbaABA面積+B面積=C面積a2+b2=c2
回顧
&小結(jié):?從而探索了直角三角形三邊關(guān)系,得到勾股定理:第13頁勾股定理利用勾股定理利用:
已知直角三角形任意兩條邊長,求第三條邊長.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2ACBbac第14頁例1如圖,在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB長.B24AC7假如將題目變?yōu)椋涸赗t△ABC中,AB=41,BC=40,求AC長.24∵Rt△ABC中,∠C是直角∴AC2+BC2=AB2∴勾股定理利用第15頁勾股定理利用練習:1.設直角三角形兩條直角邊分別為a,b,斜邊長為c.(1)已知a=6,c=10,求b.(2)已知a=5,c=12,求c.(3)已知c=25,b=15,求a.ACBbac第16頁勾股定理利用練習:2.如圖,圖中全部三角形都是直角三角形,四邊形都是正方形。已知正方形A,B,C,D邊長分別是12,16,9,12.求最大正方形E面積。第17頁勾股定理利用練習:
3.在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,(1)已知∠C=90°,a=3,b=4,則c=______;(2)已知∠B=90°,a=3,b=4,則c=_____;55或ABCACB343454.已知Rt△ABC中,a=3,b=4,則c=_____________;第18頁勾股定理利用例2.如圖,在△ABC中,∠A=45°,AB=+1,求:邊BC長。D練習:如圖,在△ABC中,∠ACB=900,CD是高,若
AB=13cm,AC=5cm,求CD長;ABCD第19頁勾股定理利用例3.△ABC中,周長是24,∠C=90°,且b=6,則三角形面積是多少?ABCabc解:∵周長是24,且b=6∴a+c=24-6=18設a=x,則c=18-x∵∠C=90°,∴a2+b2=c2∴x2+62=(18-x)2解得:x=8第20頁勾股定理利用拓展練習:如圖(1),已知小正方形ABCD面積為1,把它各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D
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