古典概型 講義-高三數(shù)學一輪復習

古典概型一輪復習一、基礎知識：1、基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個不可再分的結果稱為一個基本事件。例如：在扔骰子的試驗中，向上的點數(shù)1點，2點，……，6點分別構成一個基本事件2、基本事件空間：一次試驗，將所有基本事件組成一個集合，稱這個集合為該試驗的基本事件空間，用表示。3、基本事件特點：設一次試驗中的基本事件為（1）基本事件兩兩互斥（2）此項試驗所產(chǎn)生的事件必由基本事件構成，例如在扔骰子的試驗中，設為“出現(xiàn)點”，事件為“點數(shù)大于3”，則事件（3）所有基本事件的并事件為必然事件由加法公式可得：因為，所以4、等可能事件：如果一項試驗由個基本事件組成，而且每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個基本事件互為等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一項試驗由個基本事件組成，且基本事件為等可能事件，則基本事件的概率為證明：設基本事件為，可知所以可得6、古典概型的適用條件：（1）試驗的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限多個（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等當滿足這兩個條件時，事件發(fā)生的概率就可以用事件所包含的基本事件個數(shù)占基本事件空間的總數(shù)的比例進行表示，即7、運用古典概型解題的步驟：①確定基本事件，一般要選擇試驗中不可再分的結果作為基本事件，一般來說，試驗中的具體結果可作為基本事件，例如扔骰子，就以每個具體點數(shù)作為基本事件；在排隊時就以每種排隊情況作為基本事件等，以保證基本事件為等可能事件②可通過計數(shù)原理（排列，組合）進行計算③要保證中所含的基本事件，均在之中，即事件應在所包含的基本事件中選擇符合條件的二、典例剖析題型一簡單古典概型的求法解題要點求古典概型概率的基本步驟：(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．例1我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．變式訓練1.袋中共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個白球，個紅球．從袋中任取個球，所取的個球中恰有個白球，個紅球的概率為A．B．C．D．題型二圖形類古典概型解題要點將概率問題轉為面積占比問題例2.如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為，，，則A． B．C． D．變式訓練2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A．B．C．D．題型三較復雜古典概型的概率解題要點求較復雜事件的概率問題的方法：(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解．例3某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．變式訓練3.已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結果．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學期望）．三、當堂練習1．從1，2，3，4，5中隨機抽三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為________．2．一枚硬幣連擲兩次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．3.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是________．4．若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________．5．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．四、課后作業(yè)（一）填空題1．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為________．2．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是________．3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是________．4．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是________．5．袋中有2個白球，2個黑球，若從中任意摸出2個，則至少摸出1個黑球的概率是________．6．從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同的字母，則取到字母a的概率為________．7．一名同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點落在直線2x＋y＝8上的概率為________．8．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．9．將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________．10．若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為________．11．有一質地均勻的正四面體，它的四個面上分別有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)將它連續(xù)拋擲3次，其底面落于桌面，記三次在正四面體底面的數(shù)字和為S，則“S恰好為4”的概率為__________．（二）解答題12．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．(1)用球的標號列出所有可能的摸出結果；(2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由．13．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．

2023屆古典概型一輪復習解析一、基礎知識：1、基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個不可再分的結果稱為一個基本事件。例如：在扔骰子的試驗中，向上的點數(shù)1點，2點，……，6點分別構成一個基本事件2、基本事件空間：一次試驗，將所有基本事件組成一個集合，稱這個集合為該試驗的基本事件空間，用表示。3、基本事件特點：設一次試驗中的基本事件為（1）基本事件兩兩互斥（2）此項試驗所產(chǎn)生的事件必由基本事件構成，例如在扔骰子的試驗中，設為“出現(xiàn)點”，事件為“點數(shù)大于3”，則事件（3）所有基本事件的并事件為必然事件由加法公式可得：因為，所以4、等可能事件：如果一項試驗由個基本事件組成，而且每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個基本事件互為等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一項試驗由個基本事件組成，且基本事件為等可能事件，則基本事件的概率為證明：設基本事件為，可知所以可得6、古典概型的適用條件：（1）試驗的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限多個（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等當滿足這兩個條件時，事件發(fā)生的概率就可以用事件所包含的基本事件個數(shù)占基本事件空間的總數(shù)的比例進行表示，即7、運用古典概型解題的步驟：①確定基本事件，一般要選擇試驗中不可再分的結果作為基本事件，一般來說，試驗中的具體結果可作為基本事件，例如扔骰子，就以每個具體點數(shù)作為基本事件；在排隊時就以每種排隊情況作為基本事件等，以保證基本事件為等可能事件②可通過計數(shù)原理（排列，組合）進行計算③要保證中所含的基本事件，均在之中，即事件應在所包含的基本事件中選擇符合條件的二、典例剖析題型一簡單古典概型的求法解題要點求古典概型概率的基本步驟：(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．例1我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)有種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率，故選C．變式訓練1.袋中共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個白球，個紅球．從袋中任取個球，所取的個球中恰有個白球，個紅球的概率為A．B．C．D．【答案】B【解析】基本事件總數(shù)為，恰有個白球與1個紅球的基本事件為，所求概率為．題型二圖形類古典概型解題要點將概率問題轉為面積占比問題例2.如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為，，，則A． B．C． D．【答案】A【解析】通解設直角三角形的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則區(qū)域I的面積即的面積，為，區(qū)域Ⅱ的面積，所以，由幾何概型的知識知，故選A．優(yōu)解不妨設為等腰直角三角形，，則，所以區(qū)域I的面積即的面積，為，區(qū)域Ⅱ的面積，區(qū)域Ⅲ的面積．根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得，，所以，，，故選A．變式訓練2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A．B．C．D．【答案】B【解析】設正方形的邊長為，由題意可知太極圖的黑色部分的面積是圓的面積的一半，根據(jù)幾何概型的概率計算，所求概率為．選B．題型三較復雜古典概型的概率解題要點求較復雜事件的概率問題的方法：(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解．例3某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．【解析】（Ⅰ）設續(xù)保人本年度的保費高于基本保費為事件，．（Ⅱ）設續(xù)保人保費比基本保費高出為事件，．（Ⅲ）解：設本年度所交保費為隨機變量．平均保費，∴平均保費與基本保費比值為．變式訓練3.已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結果．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學期望）．【解析】（1）記“第一次檢查出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件．．（2）的可能取值為．．．．故的分布列為．三、當堂練習1．從1，2，3，4，5中隨機抽三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為________．答案eq\f(2,5)解析從1，2，3，4，5中隨機抽三個不同的數(shù)共有(1，2，3)、(1，2，4)、(1，2，5)、(1，3，4)、(1，3，5)、(1，4，5)、(2，3，4)、(2，3，5)、(2，4，5)、(3，4，5)共10種情況，其中(1，2，4)、(1，3，5)、(2，3，4)、(2，4，5)中三個數(shù)字和為奇數(shù)，所以概率為eq\f(2,5).2．一枚硬幣連擲兩次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．答案eq\f(1,2)解析一枚硬幣連擲兩次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中只有一次出現(xiàn)正面的概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是________．答案eq\f(1,2)解析從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，共有的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共有6種不同的情形，其中2個數(shù)之差的絕對值為2的情形有(1,3)，(2,4)共兩種不同的情形，其概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________．答案eq\f(9,10)解析五人錄用三人共有10種不同方式，分別為：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情況有9種.5．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．答案eq\f(5,6)解析這兩只球顏色相同的概率為eq\f(1,6)，故兩只球顏色不同的概率為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).四、課后作業(yè)（一）填空題1．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為________．答案0.6解析5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結果有6種，則其概率為p＝eq\f(6,10)＝0.6.2．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是________．答案eq\f(2,5)解析基本事件為：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，紅1)，(黑1，紅2)，(黑2，黑3)，(黑2，紅1)，(黑2，紅2)，(黑3，紅1)，(黑3，紅2)，(紅1，紅2)共10個結果．同色球為(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(紅1，紅2)共4個結果，∴P＝eq\f(2,5).3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是________．答案eq\f(1,3)解析從A、B中各任取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6種情況，其中兩個數(shù)之和為4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是________．答案eq\f(1,5)解析基本事件的個數(shù)有5×3＝15，其中滿足b>a的有3種，所以b>a的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．袋中有2個白球，2個黑球，若從中任意摸出2個，則至少摸出1個黑球的概率是________．答案eq\f(5,6)解析該試驗中會出現(xiàn)(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6種等可能的結果，事件“至少摸出1個黑球”所含有的基本事件為(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5種，據(jù)古典概型概率公式，得事件“至少摸出1個黑球”的概率是eq\f(5,6).6．從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同的字母，則取到字母a的概率為________．答案eq\f(2,5)解析從a，b，c，d，e中任取兩個，共有如下10種不同的情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共有4種不同的情形，其概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).7．一名同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點落在直線2x＋y＝8上的概率為________．答案eq\f(1,12)解析依題意，以(x，y)為坐標的點有6×6＝36個，其中落在直線2x＋y＝8上的點有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3個．故所求事件的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).8．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．答案eq\f(4,9)解析兩人玩游戲，共有6×6＝36種不同的情形，其中滿足|a－b|≤1的情形有：若a＝1，b＝1,2；若a＝2，b＝1,2,3；若a＝3，b＝2,3,4；若a＝4，b＝3,4,5；若a＝5，b＝4,5,6；若a＝6，則b＝5,6.共有16種不同的情形，∴他們“心有靈犀”的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).9．將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________．答案eq\f(2,3)解析記2本數(shù)學書分別記為1,2,1本語文書記為3，將其排成一行，共有如下6種不同的情形(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中2本數(shù)學書相鄰的有(1,2,3)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)共4種不同的情形，∴其概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).10．若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為________．答案eq\f(2,3)解析三人站成一排，有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共6種，其中甲乙相鄰的有4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).11．有一質地均勻的正四面體，它的四個面上分別有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)將它連續(xù)拋擲3次，其底面落于桌面，記三次在正四面體底面的數(shù)字和為S，則“S恰好為4”的概率為__________．答案eq\f(3,64)解析本題是一道古典概型問題．用有序實數(shù)對(a，b，c)來記連續(xù)拋擲3次得到的數(shù)字，總事件中含4×4×4＝64個基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好為4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三個基本事件，則P(S恰好為4)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(3,64).（二）解答題12．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎