柯西不等式的應用(整理篇)

柯西不等式的證明及相關應用摘要結構巧妙，也是證明命題、研究最值問題的一個強有力的工具。關鍵詞：柯西不等式 柯西不等式變形式 最值一、柯西（Cauchy）不等式：abab

ab2a2a2a22b2b2a,bR,i,2n11 2

nn 1 2

n 1 2

n i i等號當且僅當aa1 2

an

0或bi

ka時成立（k為常數(shù)，i1,2n）i現(xiàn)將它的證明介紹如下：方法1 證明：構造二次函數(shù)f(x)axb2axb2axb21 1 2 2 n n =a2a2a2x22abababxb2b2b21 2

11 2

nn 1 2 n由構造知 fx0恒成立Qa2a2Lan01 2

2 4ababab

4a2a2a2b2b2b2011 22

nn 1 2

n 1 2 n

即ababab

a2a2a2b2b2b211 2

nn 1 2

n 1 2 n當且僅當axb

即1

a2Ln時等號成立 ai i b b b a1 2 n方法2 證明:數(shù)學歸納法當n1時 左=ab211顯然 左=右

=ab211當n2時 右式a2a2b2b2ab2ab2a2b2a2b21 2 1 2 11 22 21 12ab2ab22aab

ab2左式11 22故n1,2時不等式成立

1212

12 22假設nkk2時，不等式成立

即 ababa

a2a2a2b2b2b211 22

kk 1 2

k 1 2 k當bma，mik或aaL

0時等號成立i i 1 2 k設A=a2a2a2

B=b2b2b2

CababLab1 2 ABC2

1 2

11 22 kk 則Aa2 Bb2 ABAb2

Ba

a2b2k1

k1

k1C22Ca

k1 ka2b2

k1Ca b 2k1k1

k

k

k1k1a2a2La2a2

b2b2Lb2b2

abab

Laba b 21 2

k1 2

k k

11 2

kk k

k1當bma，m為常數(shù)，i1,2k1或aa

a

時等號成立i i 1 2

k1即nk1綜合12）可知不等式成立二、柯西不等式的簡單應用柯西不等式是一個非常重要的不等式，學習柯西不等式可以提高學生的數(shù)學探究能力、創(chuàng)新能力等，能進一步開闊學生的數(shù)學視野，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，提高學生的數(shù)學素質。靈活巧妙的應用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結構和諧，應用靈活廣泛，常通過適當配湊，直接套用柯西不等式解題，常見的有兩大類型：1、證明相關數(shù)學命題（1）證明不等式例1已知正數(shù)a,b,c滿足abc1 證明 a3b3c3

a2b2c23證明：利用柯西不等式 3

1 31 312 32 32 32a2b2c22a2a2b2b2c2c2a2b2c2abc a3b3c3abc2 Qabc又因為 a2b2c2abbcca 在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2b2c2得：a2b2c2a2b2c22abbc2acabc2 a2b2c22a3b3c3abc2a3b3c3a2b2c2故a3b3c3

a2b2c23（2）三角形的相關問題2p是VABCxyzp到三邊abcR是VABC外接圓的半徑，xyz12Ra2xyz12Ra2b2c2證明：由柯西不等式得：xyz1axa1byb1czcaxbyxyz1axa1byb1czcaxbyczg 111a b cS為VABC的面積，則gaxbycz2S2abcabcg4R 2Rxyzabc abbcca2R abcxyzabc abbcca2R abc12Rabbcca12Ra2b2c2故不等式成立。、求解有關數(shù)學問題 常用于求最值例3 已知實數(shù)a,b,c,d滿足abcd3，a22b23c26d25試求a的最值解：由柯西不等式得，有 b2c26d2111bcd2 2 3 6 即由條件可得，5a23a22b123c136d16解得，1a22b123c136d16代入b1,c

1 1,d 時， 3 62 1

2maxb1,c ,d 時 3 3

1min例4 空間中一向量a與x軸，y軸z軸正向之夾角依次（均非象限角，求 1 4

9的最小值。sin2 sin2 sin2解:由柯西不等式得：1 2 3[(sin)2(sin)2(sin)2](sin2sin2sin2)1 2 (sinsinsinsinsinsin)21 2 1 4 ( )( )( )](sin2sin2sin2)23)2sin2 sin2 sin21 4 ∵ sin2sin2sin22∴ 2( 1 4 9 )36 ( 1 4 9 )18sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2∴ 1 4

9的最小值為18sin2 sin2 sin2三、巧用柯西不等式的變形解題很多高考數(shù)學問題的解決，如果僅從基礎知識、基本公式的正面人手，就很難取得知識性的突破，而如果對基礎知識、基本公式稍作變形，就會大大降低問題的難度，達到化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的目的．而學習柯西不等式，僅了解柯西不等式的基本公式還是不夠的，學生還必須掌握下面這個柯西不等式的變形公式，此公式也是權方和不等式的一種特殊情況，這樣我們就可以在解題過程中更快更準地解決問題．柯西不等式的變形公式：約定bR,i1,2nia2 a2

a2 aaa

a a a有 1

2n

1

n 當且僅當12n等號成立b b b

bb

b

b b b1 2 n 1 2 n 1 2 na2 a2

a2 2分析：由柯西不等式可得

12

nbbb aaab b

b1 2 n 1 2 n1 2 n例1 設x,x,,xR,且xxx1，1 2 n 1 2 nx2 x2

x2 1x11 2

2xx2

n1x xn1

n xx 2n 1x2 x2 x2 x2證明：由變形公式得：x11 2

2xx2

n1x xn1

nxxn 1xxx2 1x

x1

2x

nx

x2 1 2 2

3 n 1求1／2a+1 22/求1／2a+1 22/2最小值2/21221 1解析a，b>0，且a+b=1，由柯西不等:

12

32a b2/21 a 1,b22/22222

a b11

ab 2322當且僅當

a b即

時等號成立

2a b 2 mina a a 1 1 1練習 設a,a,,

N且各不相同，證明a23n1 1 2 n

1 22 32

n2 2 3 n證明：將a,a,,a1 2 n則有

從新排序設為

a'a'a'1 2 n∴n1

n1a'a'2,,a'

n 1 2

k akkkknak

n1 na

n1 n12而所需證目標：

k2k1

k1

k

kkkkk2kkk

k1

k結合柯西不等式得：n12

12

na

n1 n

n1akak akak

k

k k得結論k

kakk2

k

k1k

k

k2

ak

k

k2

kkk柯西不等式在解題中的幾點應用一、引言柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學中應給予極大的重視。本文僅就使用柯西不等式的技巧做一粗略歸納。主要就是使用一些方法構造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達到使用柯西不等式證明有關的不等式人民教育高中《代數(shù)》下冊“不等式”一章的習題中有這樣一道題P、15練習第2題：求證：ac+bd

a2a2b2c2d2acbda2b2*c2d2acbda2bacbda2b2*c2d2acbda2b2*c2d2aca2aca2b2*c2d2bda2b2*c2d2=1 a2 c

a2c2a2b2 c2d2*a2c2a2b2 c2d2*b2d2a2b2 c2d2* 2a2b2=1

c2d2

2a2b2

c2d2a2b2c2d2故ac+bdacbdacbda2b2c2d2柯西不等式的一般形式為：對任意的實數(shù)aa1 2

,,an

及b,b1

,,b有nn 2

n ab

a2 b2,

in

ii

i

i

ii1n或i1

abii

*nnai12ia a

b2, (3)ia其中等號當且僅當1 b 1 2

n時成立（當bbkbn

0時，認為ak

0,1kn).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。二、柯西不等式在解題中的應用利用柯西不等式證明恒等式11a21b21b2

1,求證：a2b21。證明：由柯西不等式，得1b21a1b21a2a b a21a2b21b2 111b211a2

a 時，上式取等號，1a2ab 11a2 a2b21a21b2,于是 a2b21。利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程x21x2x1 x21x2x1 2 1x12xx1x21xx21x2x21x12x2x21x2 1x12x12由柯西不等式知x21xx21x2

x2x12 x x1x1 xxxx21x21(xx21x21(x(x2x(x1)(x(x21(xx21x22 1x(x1)當上式取等號時有x(x 1 成立，即x(x1)x2x10（無實根）或x2x10，即1 1 521 1 5用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。例：解方程組xyz9xw6x4x2(y2z2w2)w2(y2w2)486解：原方程組可化為xyz9xw6(x2y2z2)(x2w2)486運用柯西不等式得92(x2y2z2) 923

,x2w2

62182兩式相乘，得

x2y2z2x2w2486當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為x=y=z=w=3.柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結構的巧變、巧設數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。例：設aaaa ,求證：1 2 n n11aa

1aa

1aa

1 0a a1 2 2

n

n1 1分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結構，我們不妨改為證：aa1

1 1 1 aa aa aa 1 2 2 3 n n1證明：為了運用柯西不等式，我們將aa 寫成1 n1aa aaa 于是1 n1 1 2 2 3 n n1

1 1 1 aa aa a

1 2 2

n

aa1

aa2

aan

n1n21.aa

1 1 1

11 即

aa1

aa2

aan

n1 1aa1 2

1aa2

an

1an1

1aa1

,n1故 1

1 1

1 0.aa1 2

aa2

aan

n1

an1 1右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。例：求證：

y2y2

xy

2

y2.x2x2x2x21 2y2y21 22 y2y21 2證明：

x2x2

x2x2y2y22 x2x2y2y21 2由柯西不等式得

1 2 1 2

1 2 1 2 2x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 22其中等號當且僅當x1

ky1

，xky2

時成立。 x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 222 x1

x22

y2y1 2

x21

x2

y1

y2

2xy11

xy2 2x1

y1

x2

y22 x1

x22

y2y1 2

x1

y1

x2

y2.2其中等號當且僅當x1

ky1

，xky2

時成立。巧拆常數(shù)：例：設a、b、c為正數(shù)且各不相等。2求證： 2

2 2 9ab bc ca abc分析：∵a、b、c均為正∴為證結論正確只需證：2(abc)[1

1

1]9ab bc ca而2(abd)(ab)(bc)(ca)又9(111)2證明2(abc)(1 1 1)ab bc ca[(ab)(bc)(ca)](1 1 1)ab bc ca129又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。重新安排某些項的次序：a、bab=1xx1 2

R(ax1

bx2

)(bx1

ax2

)xx12abRxx1 2

R，每個兩項式可以使柯西不等式，直接做得不到預想結論，當把節(jié)二個小括號的兩項前后調(diào)換一下位置，就能證明結論了。(ax1

bx2

)(bx1

ax)xx12xxxx12xx12(ax1

bx2

)(ax2

bx)1

b )2(ab)2xx12

xx12（∵a+b=1）結構的改變從而達到使用柯西不等式：例若a>b>c1求證： 1 41ab bc ac分析：初見并不能使用柯西不等式，改造結構后便可使用柯西不等式了ac(ab)(bc) ac ∴ ac0∴結論改為(ac)(1 1)4ab bc證明(ac)(1 1)[(ab)bc)](1 1)ab bc ab bc(11)24∴ 1 1 4ab bc ac添項：例：a,b,cRa求證：

c 3bc ca ab 2a b c分析：左端變形bc1ca1ab1(abc)(1 1 1)bc ca ab∴只需證此式9即可2a b c a b c證明bccaCb3(bc1)(ac1)(cb1)(abc)(1 1 1)bc ca ab1[(bc)(ca)(ab)](1 1 1)1 2 bc ca a1 11)22 2a b c 9 3 3bc ac ab 2 2aba、bR，則ab2ab1 1推論：(ab)(ab)41)2 其中a、bR1 1 1(abcabc911)2 其中a、b、cR例.已知a,a,a,…,a，b,b,…,b為正數(shù)，求證：證明：左邊=1 2 3 n 1 2 n證明：左邊=例.對實數(shù)a,a,…,a,求證：證明：左邊=1 2 n證明：左邊=例.設為正數(shù)，且=證明：左邊=====例.若n2證明：由柯西不等式有于是：所以求證式等價于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例.設x,x,…,x都是正(n32)且， 求證：又由柯西不等式有<1 2 n證明：不等式左端即 (1)∵ ，取 則 (2)由柯西不等式有 (3)綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：即綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：用柯西不等式證明條件不等式22柯西不等式中有三個因式na22

，nb

，

ab而一般題目中只有一個或兩個因式，為了運用柯西不ii1

ii1

iii1等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量a ，bi i

具有廣泛的選擇余地，任意兩個元素ai

a （或bbj i

） 的交換，可以得到不例：已知a,bR，a+b=1,x,x1 2

R,1

bx2

bx1

ax2

xx12分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結論。若把第二個小括號的前后項對調(diào)一下，情況就不同了。1

bx2

bx1

ax2=1

bx2

ax2

bx1 xx12xx12a xx12xx12=ab2xxxx 。12 12例、設x,x1 2

,,xn

R,求證：x2 x x x21 nxxxx x x x 1 2 n2 3 n 1（1984年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式x2

xx3

x，也即嵌以因式1xx1 2

xn

，由柯西不等式，得x2 x x x2 1 n (xxxx)x x x x 2 3 n 12 3 n 1x

x

x

x 2

1x21x2

L

x 2

x 2L

x 2 2 2x3n1xnnx1x2x2x3n1xnnx1x2x

x3nx3n1xn

2 xnxn x

n 1 1x22x31x22x3

L x1n 1x1xx1 2

Lxn

2,x2 x x x2于是1 nxxx .x x x x 1 2 n2 3 n 1利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤。這多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。例設非負實數(shù),1 2

n

滿足122

1,求nn12

11n

_1

n

11

n1

的最小值。（1982年西德數(shù)學奧林匹克度題）解：易驗證

1(

) 212

11n

+1=

1 2 21

21同理可得

2 211

11

+1=22

,,1222

n

n1

+1=2nnn令y12

11n

_1

n

11

n12 2 2故yn21

22

+

2n為了利用柯西不等式，注意到(2a)(2a1

)(2an

)2n(aa1

an

)2n1, (2n( 121

122

+

12)n=(2a)(2a1 2

)(2an

)(

121

122

+

12)n2a2a22a2a2a2a12a11

22a2

n222anyn

2n2

,y

2n2

n n .2n1 2n1 2n11 n等號當且僅當aa1 2

an

y有最小值n 2n 1例設x,x1 2

,,xn

都是正數(shù)，n,且nxii1

1,求證：n x

nxi1xii1xi

.（1989年全國數(shù)學冬令營試題）i1

n1i證明：令yi

1x(i1,2,n),由柯西不等式，得xixixi(xi

)2n

n, 即i

n.iii1yi同理，得yi

)2n

ni

(1x)n(n1),i即nyii1

i1 n(n

ii又由柯西不等式，得ynyinn 1yiyiiyiyi

(ni1

)2n24y4y14yin2故i1

n2

,n(nn(nii1從而n xi1i1

ni i

n 11yiyyi 1yiyy

nyiyi1nnn1nnn1n(nnn1nn1xii1ni1n16，利用柯西不等式解三角問題。三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。例 在ABC中，求證：sinAsinB5sinC 1982201(20140證明：sinAsinB5sinC2sinABcosAB10sinCcosC2 2 2 22cosC(cosAB5sinC2 2 22cosC(15sinC).2 2當且僅當A=B時等號成立。ycos5sinx)(0xy2cos25sinx2的最值。由柯西不等式，

，于是引進參t0求2 1 2y2cos2x15sinx225cos2x sinx5 =25cos2x1

2tsinxt2 5 cos2x12 25

5t2 5

t2t

sin2x25t21 cost2

xt

sin2x.又由平均值不等式ab

ab2,得425t21cos2xt2sin2x2y2t2

2 2 2=21t21 . （1）4t2當且僅當cos2x=t2sin2x時等號成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0<x< ,求y a

b的最小值。23b2解：利用柯西不等，得 3b2

sinx cosx3