柯西不等式的應(yīng)用(整理篇)

柯西不等式的證明及相關(guān)應(yīng)用摘要結(jié)構(gòu)巧妙，也是證明命題、研究最值問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。關(guān)鍵詞：柯西不等式 柯西不等式變形式 最值一、柯西（Cauchy）不等式：abab

ab2a2a2a22b2b2a,bR,i,2n11 2

nn 1 2

n 1 2

n i i等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)aa1 2

an

0或bi

ka時(shí)成立（k為常數(shù)，i1,2n）i現(xiàn)將它的證明介紹如下：方法1 證明：構(gòu)造二次函數(shù)f(x)axb2axb2axb21 1 2 2 n n =a2a2a2x22abababxb2b2b21 2

11 2

nn 1 2 n由構(gòu)造知 fx0恒成立Qa2a2Lan01 2

2 4ababab

4a2a2a2b2b2b2011 22

nn 1 2

n 1 2 n

即ababab

a2a2a2b2b2b211 2

nn 1 2

n 1 2 n當(dāng)且僅當(dāng)axb

即1

a2Ln時(shí)等號(hào)成立 ai i b b b a1 2 n方法2 證明:數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n1時(shí) 左=ab211顯然 左=右

=ab211當(dāng)n2時(shí) 右式a2a2b2b2ab2ab2a2b2a2b21 2 1 2 11 22 21 12ab2ab22aab

ab2左式11 22故n1,2時(shí)不等式成立

1212

12 22假設(shè)nkk2時(shí)，不等式成立

即 ababa

a2a2a2b2b2b211 22

kk 1 2

k 1 2 k當(dāng)bma，mik或aaL

0時(shí)等號(hào)成立i i 1 2 k設(shè)A=a2a2a2

B=b2b2b2

CababLab1 2 ABC2

1 2

11 22 kk 則Aa2 Bb2 ABAb2

Ba

a2b2k1

k1

k1C22Ca

k1 ka2b2

k1Ca b 2k1k1

k

k

k1k1a2a2La2a2

b2b2Lb2b2

abab

Laba b 21 2

k1 2

k k

11 2

kk k

k1當(dāng)bma，m為常數(shù)，i1,2k1或aa

a

時(shí)等號(hào)成立i i 1 2

k1即nk1綜合12）可知不等式成立二、柯西不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，學(xué)習(xí)柯西不等式可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、創(chuàng)新能力等，能進(jìn)一步開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，常通過(guò)適當(dāng)配湊，直接套用柯西不等式解題，常見(jiàn)的有兩大類(lèi)型：1、證明相關(guān)數(shù)學(xué)命題（1）證明不等式例1已知正數(shù)a,b,c滿足abc1 證明 a3b3c3

a2b2c23證明：利用柯西不等式 3

1 31 312 32 32 32a2b2c22a2a2b2b2c2c2a2b2c2abc a3b3c3abc2 Qabc又因?yàn)?a2b2c2abbcca 在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2b2c2得：a2b2c2a2b2c22abbc2acabc2 a2b2c22a3b3c3abc2a3b3c3a2b2c2故a3b3c3

a2b2c23（2）三角形的相關(guān)問(wèn)題2p是VABCxyzp到三邊abcR是VABC外接圓的半徑，xyz12Ra2xyz12Ra2b2c2證明：由柯西不等式得：xyz1axa1byb1czcaxbyxyz1axa1byb1czcaxbyczg 111a b cS為VABC的面積，則gaxbycz2S2abcabcg4R 2Rxyzabc abbcca2R abcxyzabc abbcca2R abc12Rabbcca12Ra2b2c2故不等式成立。、求解有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題 常用于求最值例3 已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足abcd3，a22b23c26d25試求a的最值解：由柯西不等式得，有 b2c26d2111bcd2 2 3 6 即由條件可得，5a23a22b123c136d16解得，1a22b123c136d16代入b1,c

1 1,d 時(shí)， 3 62 1

2maxb1,c ,d 時(shí) 3 3

1min例4 空間中一向量a與x軸，y軸z軸正向之夾角依次（均非象限角，求 1 4

9的最小值。sin2 sin2 sin2解:由柯西不等式得：1 2 3[(sin)2(sin)2(sin)2](sin2sin2sin2)1 2 (sinsinsinsinsinsin)21 2 1 4 ( )( )( )](sin2sin2sin2)23)2sin2 sin2 sin21 4 ∵ sin2sin2sin22∴ 2( 1 4 9 )36 ( 1 4 9 )18sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2∴ 1 4

9的最小值為18sin2 sin2 sin2三、巧用柯西不等式的變形解題很多高考數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，如果僅從基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的正面人手，就很難取得知識(shí)性的突破，而如果對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式稍作變形，就會(huì)大大降低問(wèn)題的難度，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉的目的．而學(xué)習(xí)柯西不等式，僅了解柯西不等式的基本公式還是不夠的，學(xué)生還必須掌握下面這個(gè)柯西不等式的變形公式，此公式也是權(quán)方和不等式的一種特殊情況，這樣我們就可以在解題過(guò)程中更快更準(zhǔn)地解決問(wèn)題．柯西不等式的變形公式：約定bR,i1,2nia2 a2

a2 aaa

a a a有 1

2n

1

n 當(dāng)且僅當(dāng)12n等號(hào)成立b b b

bb

b

b b b1 2 n 1 2 n 1 2 na2 a2

a2 2分析：由柯西不等式可得

12

nbbb aaab b

b1 2 n 1 2 n1 2 n例1 設(shè)x,x,,xR,且xxx1，1 2 n 1 2 nx2 x2

x2 1x11 2

2xx2

n1x xn1

n xx 2n 1x2 x2 x2 x2證明：由變形公式得：x11 2

2xx2

n1x xn1

nxxn 1xxx2 1x

x1

2x

nx

x2 1 2 2

3 n 1求1／2a+1 22/求1／2a+1 22/2最小值2/21221 1解析a，b>0，且a+b=1，由柯西不等:

12

32a b2/21 a 1,b22/22222

a b11

ab 2322當(dāng)且僅當(dāng)

a b即

時(shí)等號(hào)成立

2a b 2 mina a a 1 1 1練習(xí) 設(shè)a,a,,

N且各不相同，證明a23n1 1 2 n

1 22 32

n2 2 3 n證明：將a,a,,a1 2 n則有

從新排序設(shè)為

a'a'a'1 2 n∴n1

n1a'a'2,,a'

n 1 2

k akkkknak

n1 na

n1 n12而所需證目標(biāo)：

k2k1

k1

k

kkkkk2kkk

k1

k結(jié)合柯西不等式得：n12

12

na

n1 n

n1akak akak

k

k k得結(jié)論k

kakk2

k

k1k

k

k2

ak

k

k2

kkk柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用一、引言柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。本文僅就使用柯西不等式的技巧做一粗略歸納。主要就是使用一些方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達(dá)到使用柯西不等式證明有關(guān)的不等式人民教育高中《代數(shù)》下冊(cè)“不等式”一章的習(xí)題中有這樣一道題P、15練習(xí)第2題：求證：ac+bd

a2a2b2c2d2acbda2b2*c2d2acbda2bacbda2b2*c2d2acbda2b2*c2d2aca2aca2b2*c2d2bda2b2*c2d2=1 a2 c

a2c2a2b2 c2d2*a2c2a2b2 c2d2*b2d2a2b2 c2d2* 2a2b2=1

c2d2

2a2b2

c2d2a2b2c2d2故ac+bdacbdacbda2b2c2d2柯西不等式的一般形式為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)aa1 2

,,an

及b,b1

,,b有nn 2

n ab

a2 b2,

in

ii

i

i

ii1n或i1

abii

*nnai12ia a

b2, (3)ia其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1 b 1 2

n時(shí)成立（當(dāng)bbkbn

0時(shí)，認(rèn)為ak

0,1kn).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。二、柯西不等式在解題中的應(yīng)用利用柯西不等式證明恒等式11a21b21b2

1,求證：a2b21。證明：由柯西不等式，得1b21a1b21a2a b a21a2b21b2 111b211a2

a 時(shí)，上式取等號(hào)，1a2ab 11a2 a2b21a21b2,于是 a2b21。利用柯西不等式解無(wú)理方程（或方程組）用柯西不等式解無(wú)理方程，是先把方程的（含有無(wú)理式的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程x21x2x1 x21x2x1 2 1x12xx1x21xx21x2x21x12x2x21x2 1x12x12由柯西不等式知x21xx21x2

x2x12 x x1x1 xxxx21x21(xx21x21(x(x2x(x1)(x(x21(xx21x22 1x(x1)當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)有x(x 1 成立，即x(x1)x2x10（無(wú)實(shí)根）或x2x10，即1 1 521 1 5用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號(hào)的條件，從而求得方程組的解。例：解方程組xyz9xw6x4x2(y2z2w2)w2(y2w2)486解：原方程組可化為xyz9xw6(x2y2z2)(x2w2)486運(yùn)用柯西不等式得92(x2y2z2) 923

,x2w2

62182兩式相乘，得

x2y2z2x2w2486當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為x=y=z=w=3.柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說(shuō)明怎樣利用柯西不等式證明不等式。就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說(shuō)明。例：設(shè)aaaa ,求證：1 2 n n11aa

1aa

1aa

1 0a a1 2 2

n

n1 1分析：這道題初看似乎無(wú)法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：aa1

1 1 1 aa aa aa 1 2 2 3 n n1證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將aa 寫(xiě)成1 n1aa aaa 于是1 n1 1 2 2 3 n n1

1 1 1 aa aa a

1 2 2

n

aa1

aa2

aan

n1n21.aa

1 1 1

11 即

aa1

aa2

aan

n1 1aa1 2

1aa2

an

1an1

1aa1

,n1故 1

1 1

1 0.aa1 2

aa2

aan

n1

an1 1右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來(lái)證明。例：求證：

y2y2

xy

2

y2.x2x2x2x21 2y2y21 22 y2y21 2證明：

x2x2

x2x2y2y22 x2x2y2y21 2由柯西不等式得

1 2 1 2

1 2 1 2 2x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 22其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1

ky1

，xky2

時(shí)成立。 x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 222 x1

x22

y2y1 2

x21

x2

y1

y2

2xy11

xy2 2x1

y1

x2

y22 x1

x22

y2y1 2

x1

y1

x2

y2.2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1

ky1

，xky2

時(shí)成立。巧拆常數(shù)：例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。2求證： 2

2 2 9ab bc ca abc分析：∵a、b、c均為正∴為證結(jié)論正確只需證：2(abc)[1

1

1]9ab bc ca而2(abd)(ab)(bc)(ca)又9(111)2證明2(abc)(1 1 1)ab bc ca[(ab)(bc)(ca)](1 1 1)ab bc ca129又a、b、c各不相等，故等號(hào)不能成立∴原不等式成立。重新安排某些項(xiàng)的次序：a、bab=1xx1 2

R(ax1

bx2

)(bx1

ax2

)xx12abRxx1 2

R，每個(gè)兩項(xiàng)式可以使柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論，當(dāng)把節(jié)二個(gè)小括號(hào)的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。(ax1

bx2

)(bx1

ax)xx12xxxx12xx12(ax1

bx2

)(ax2

bx)1

b )2(ab)2xx12

xx12（∵a+b=1）結(jié)構(gòu)的改變從而達(dá)到使用柯西不等式：例若a>b>c1求證： 1 41ab bc ac分析：初見(jiàn)并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了ac(ab)(bc) ac ∴ ac0∴結(jié)論改為(ac)(1 1)4ab bc證明(ac)(1 1)[(ab)bc)](1 1)ab bc ab bc(11)24∴ 1 1 4ab bc ac添項(xiàng)：例：a,b,cRa求證：

c 3bc ca ab 2a b c分析：左端變形bc1ca1ab1(abc)(1 1 1)bc ca ab∴只需證此式9即可2a b c a b c證明bccaCb3(bc1)(ac1)(cb1)(abc)(1 1 1)bc ca ab1[(bc)(ca)(ab)](1 1 1)1 2 bc ca a1 11)22 2a b c 9 3 3bc ac ab 2 2aba、bR，則ab2ab1 1推論：(ab)(ab)41)2 其中a、bR1 1 1(abcabc911)2 其中a、b、cR例.已知a,a,a,…,a，b,b,…,b為正數(shù)，求證：證明：左邊=1 2 3 n 1 2 n證明：左邊=例.對(duì)實(shí)數(shù)a,a,…,a,求證：證明：左邊=1 2 n證明：左邊=例.設(shè)為正數(shù)，且=證明：左邊=====例.若n2證明：由柯西不等式有于是：所以求證式等價(jià)于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例.設(shè)x,x,…,x都是正(n32)且， 求證：又由柯西不等式有<1 2 n證明：不等式左端即 (1)∵ ，取 則 (2)由柯西不等式有 (3)綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：即綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：用柯西不等式證明條件不等式22柯西不等式中有三個(gè)因式na22

，nb

，

ab而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)因式，為了運(yùn)用柯西不ii1

ii1

iii1等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量a ，bi i

具有廣泛的選擇余地，任意兩個(gè)元素ai

a （或bbj i

） 的交換，可以得到不例：已知a,bR，a+b=1,x,x1 2

R,1

bx2

bx1

ax2

xx12分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，情況就不同了。1

bx2

bx1

ax2=1

bx2

ax2

bx1 xx12xx12a xx12xx12=ab2xxxx 。12 12例、設(shè)x,x1 2

,,xn

R,求證：x2 x x x21 nxxxx x x x 1 2 n2 3 n 1（1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式x2

xx3

x，也即嵌以因式1xx1 2

xn

，由柯西不等式，得x2 x x x2 1 n (xxxx)x x x x 2 3 n 12 3 n 1x

x

x

x 2

1x21x2

L

x 2

x 2L

x 2 2 2x3n1xnnx1x2x2x3n1xnnx1x2x

x3nx3n1xn

2 xnxn x

n 1 1x22x31x22x3

L x1n 1x1xx1 2

Lxn

2,x2 x x x2于是1 nxxx .x x x x 1 2 n2 3 n 1利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問(wèn)題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過(guò)程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說(shuō)明怎樣利用柯西不等式來(lái)求解一些極值問(wèn)題。例設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù),1 2

n

滿足122

1,求nn12

11n

_1

n

11

n1

的最小值。（1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克度題）解：易驗(yàn)證

1(

) 212

11n

+1=

1 2 21

21同理可得

2 211

11

+1=22

,,1222

n

n1

+1=2nnn令y12

11n

_1

n

11

n12 2 2故yn21

22

+

2n為了利用柯西不等式，注意到(2a)(2a1

)(2an

)2n(aa1

an

)2n1, (2n( 121

122

+

12)n=(2a)(2a1 2

)(2an

)(

121

122

+

12)n2a2a22a2a2a2a12a11

22a2

n222anyn

2n2

,y

2n2

n n .2n1 2n1 2n11 n等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)aa1 2

an

y有最小值n 2n 1例設(shè)x,x1 2

,,xn

都是正數(shù)，n,且nxii1

1,求證：n x

nxi1xii1xi

.（1989年全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）i1

n1i證明：令yi

1x(i1,2,n),由柯西不等式，得xixixi(xi

)2n

n, 即i

n.iii1yi同理，得yi

)2n

ni

(1x)n(n1),i即nyii1

i1 n(n

ii又由柯西不等式，得ynyinn 1yiyiiyiyi

(ni1

)2n24y4y14yin2故i1

n2

,n(nn(nii1從而n xi1i1

ni i

n 11yiyyi 1yiyy

nyiyi1nnn1nnn1n(nnn1nn1xii1ni1n16，利用柯西不等式解三角問(wèn)題。三角問(wèn)題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問(wèn)題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問(wèn)題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。例 在ABC中，求證：sinAsinB5sinC 1982201(20140證明：sinAsinB5sinC2sinABcosAB10sinCcosC2 2 2 22cosC(cosAB5sinC2 2 22cosC(15sinC).2 2當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立。ycos5sinx)(0xy2cos25sinx2的最值。由柯西不等式，

，于是引進(jìn)參t0求2 1 2y2cos2x15sinx225cos2x sinx5 =25cos2x1

2tsinxt2 5 cos2x12 25

5t2 5

t2t

sin2x25t21 cost2

xt

sin2x.又由平均值不等式ab

ab2,得425t21cos2xt2sin2x2y2t2

2 2 2=21t21 . （1）4t2當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=t2sin2x時(shí)等號(hào)成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0<x< ,求y a

b的最小值。23b2解：利用柯西不等，得 3b2

sinx cosx3